普通高中促進學生“數學基本活動經驗”積累的實驗和思考

陸劍鋼

[摘 要] 為探索普通高中基礎薄弱的學生數學學業發展的途徑，開展教學微實驗研究.研究表明幫助學生獲得以歸納活動經驗和演繹活動經驗為主體的數學基本活動經驗，能使學生掌握歸納和演繹的思維方法，能激發學生數學學習的源動力，幫助其進入學數學、用數學的良性循環，是促進學生學業發展的有效途徑.

[關鍵詞] 基本數學活動；數學基本活動經驗

實驗的背景和意義

1. 數學基本活動經驗

史寧中先生在2015年全國優秀教師培訓技能提升研修班上題為“為什么要學習數學——兼論數學核心素養”的講座中提到了數學“四基”，即數學基礎知識、數學基本技能、數學基本思想和數學基本活動經驗.實際上，史先生提出數學“四基”可以追溯到2006年，當時便引起了張奠宙先生、王新民先生等有識之士的共鳴.

王新民先生認為：數學活動經驗是指學習者在參與數學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識.而最基本、最主要的數學活動是以邏輯為特征的演繹論證活動和以經驗為特征的歸納發現活動，其他的數學活動都是圍繞這兩種活動而展開的.因此可以把歸納活動經驗和演繹活動經驗稱為數學基本活動經驗.

2. 實驗的背景

筆者任教的高一班級數學中考平均分為95分，學生的數學素養和數學學習能力相對較為薄弱，以下一組通過考試測得的數據可以管窺一二.

（1）求函數y=Asin（ωx+φ）圖像上相鄰的最高點（x1，y1）和最低點（x2，y2）之間的距離d，83.7%的學生認為兩點間的距離d=x1-x2，說明學生對數學概念的認識不清晰.

（2）證明函數y=的單調性，93.0%的學生無法完成作差變形，說明學生欠缺數學運算的能力.

顯然，這些學生的“雙基”是薄弱的.調查顯示他們在初三數學學習的過程中，幾乎不主動參與歸納活動和演繹活動，且在活動中很少自主收獲成果，數學基本活動經驗非常缺乏.在此學情下，若繼續墨守成規，只會使得情況更糟.

3. 實驗的意義

史寧中先生認為“數學基本活動經驗”與數學“雙基”和“數學基本思想”是相互依存的，共同構成了學生的數學認知結構.數學基本活動經驗可以鞏固學生的“雙基”，可以直接影響學生數學思想方法的形成，對數學教學有著潛移默化的作用.本實驗旨在幫助教師革新教學模式，探索基礎薄弱的學生數學學習新的助力點，研究幫助學生獲得數學基本活動經驗的模式，幫助學生體悟數學方法和思維在現實問題解決過程中的意義和作用，幫助學生認識數學、理解數學和使用數學，以此促進學生的學業發展.

實驗假設

參與基本數學活動的學生，數學基本活動經驗，即歸納和演繹活動經驗會得到提高，數學思維的寬度、力度會有所發展，養成良好的數學修養，學業發展能優于其他學生.同時，他們能更好地體會數學的應用價值，具備一定的數學實踐能力，為終身發展奠定基礎.

實驗方法

1. 實驗設計

實驗采用等組前后測的設計，前測為中考數學成績，實驗時間為一個學期. 自變量為課外輔導方法，有兩個取值，分別是開展基本數學活動和無措施. 后測（因變量）為高一第一學期期末數學考試成績.

對實驗組組織基于第二課堂的，有步驟、有計劃、連貫性的基本數學活動，幫助學生在活動中解決問題，積累數學基本活動經驗，促使學生思考數學知識和數學思維對個人生涯發展的影響.控制組不進行任何課外輔導.

2. 被試

采用系統抽樣構成樣本，將班級學生按中考數學成績，用Excel從高到低排序，同分數的學生因excel自動排序故名次均不同，選取第5、10、15、20、25、30、35、40名的8位學生組成實驗組，將第4、9、14、19、24、29、34、39名的8位學生組成控制組.

3. 效度

被試均為高一學生，年齡、能力、智商無顯著差異. 實驗環境為自然學習環境，被試不知道本身正處于實驗階段.系統抽樣可減少統計誤差，即各組平均分的差異不會對實驗結果產生干擾.數學教學均由筆者擔任，教學時間和方法、作業量均統一，努力控制無關變量.

實驗目的

通過觀察被試學業成績的變化，對比分析數學基本活動經驗對數學學習的影響，探索適合普通高中基礎薄弱的學生的學業發展模式，并由此調整教師的教學思路和方法，形成學生想學能學、教師輕負的師生雙贏的教學模式.

實施階段

1. 通過概率實驗幫助學生獲得數學基本活動經驗

組織實驗組分析和解決三扇門問題、蒲豐投針實驗等. 在教師的引導下，通過概率實驗分析數據，歸納規律，尋找破題路徑或發現問題，嘗試解釋原因，并形成研究報告，著重讓學生在活動中主動獲得歸納和演繹的經驗.

例1（三扇門問題）：競猜者會看見三扇關閉的門，有且僅有一扇門后有禮物，選對門就可以贏得禮物. 當競猜者選定一扇門后，裁判不打開門，而是打開剩下兩扇門中沒有禮物的一扇門，讓競猜者看到. 這時，裁判會給競猜者一次重新選擇的機會，競猜者應該堅持原來的選擇還是要改變原來的決定選擇另一扇關上的門呢？（注：裁判知道禮物放在哪扇門后）

由此學生能直觀得出結論“應該改變原來的決定選擇另一扇關上的門”，并大膽猜測其概率為，再演繹問題本質，給出解釋：事件“改變原來的決定并選中禮物”相當于“最初從三扇門中選擇一扇沒有禮物的門”.

在類似的實驗過程中，學生能清晰地體會到歸納和演繹經驗所發揮的作用，能認識到歸納為演繹提供線索，而演繹為歸納正名.

2. 通過試題研究幫助學生獲得數學基本活動經驗

組織實驗組從定性和定量的角度開展試題研究活動.通過運用直覺、猜想、悖向探索、特例驗算等定性分析的思維形式，給出問題研究可能的方向，再通過演繹推理，給出問題的定量分析，力爭讓學生在活動中主動獲得歸納和演繹的經驗.

例2：如圖1，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則∠A′DB和α能否比較大小？

教師介紹相關數學概念后，學生通過自制模型，歸納出一種翻折現象：如圖2，紙面內有兩相交直線l和m，以直線m為棱折成二面角后，直線l在兩個半平面內的射線所構成的角不小于二面角.經過合作討論，在兩個模型中給出了問題的解答.

模型1：如圖3，在矩形ABCD中，E，F，G，H分別是所在邊的中點，AC和EF相交于點O，以EF為棱折成二面角. 如圖4，連接A′C，G′H，A′C和G′H交于點P. 在Rt△G′OP中，tan∠G′OP=；在Rt△A′OP中，tan∠A′OP=. 因為G′P

模型2：如圖5，在單位圓O中，EF，GH是互相垂直的直徑，AC是異于EF和GH的任一直徑，以EF為棱折成二面角G′-EF-H. 如圖6，當二面角G′-EF-H變化時，G′H的球面距離小于A′C的球面距離（學生描述為“弧”），所以∠G′OH<∠A′OC.

最后，學生在教師的啟發下，從定量的角度思考，得出角變化的數量關系，給出嚴格的證明，使學生深刻理解用數量來刻畫事物變化的邏輯結構的重要性和必要性，進一步認識到歸納和演繹經驗在探索世界、追求真理的過程中所起的重要作用.

3. 通過實踐調查幫助學生獲得數學基本活動經驗

組織實驗組開展實踐調查，研究生活中的數學現象，通過走訪調查獲取第一手的數據資料，并進行分析研究，歸納數據特征，提出結論，嘗試給出建議，形成調查報告，并交流和展示，培養學生獲取歸納和演繹經驗的行為習慣.

例3：為了研究人群手勢密碼習慣的差異，實驗組設計了《手勢密碼設置差異》的調查活動，在人流密集的區域進行問卷調查，統計分析數據，歸納得出結論：

（1）使用頻率最多的鍵為⑤，頻率最少的鍵為④⑥.

（2）男性大多愛使用①②⑤⑧，女性則集中在①②⑤⑨.

（3）單用左手的人更喜歡用①②③⑤⑧⑨，單用右手的人更喜歡用①②⑤；單用左手的人用⑤比單用右手的人少許多.

（4）左手托、右手點的人更喜歡使用②⑤⑧；右手托、左手點的人則喜歡使用①②③⑤⑦.

（5）大部分人的手勢密碼可以大致歸類為Z，N，L，G等字形.

……

實驗組嘗試推理和分析這些結果的成因，并且根據調查結論，成功破解了多部手機的手勢密碼，最后給出手勢密碼設置的若干建議.

目前，實驗組針對一些生活現象，已經非常善于用數據來尋找和刻畫規律，并且養成了能演繹推理這些規律成因的思維習慣. 雖然有些結論和論據還略顯稚嫩，但數學基本活動經驗無疑已經得到一定的積累.

實驗結果

一學期后，被試的后測信息如下：

將前測和后測均換算為百分制后，對兩組樣本進行配對樣本t檢驗分析，所得結果見表5和表6.

表5中的pre_t是前測，post_t是后測，可以看到，Mean均值之間的差值為3.917；Std.Deviation差值的標準差為8.120；Std.Error Mean差值的標準誤為2.871；95% Confidence Interval of the Difference均值差值的95%置信區間為（-2.872，10.705），包含0；t檢驗的t值為1.364，自由度df為7，雙尾t檢驗顯著性概率p=0.215>0.05. 可以認為開展基本數學活動后，學生的前測和后測沒有顯著差異.

表6顯示95% Confidence Interval of the Difference均值差值的95%置信區間為（8.391，20.442），不包含0；雙尾t檢驗顯著性概率p=0.001<0.05. 可以認為無措施對學生的學業發展也有顯著的影響. 但因為Mean均值之間的差值為14.417>0，說明后測顯著低于前測，所以這種影響是消極的.

從實驗結果看，實驗組前后測沒有顯著差異；控制組前后測差異明顯，且后測顯著低于前測. 因此從維持學生成績的角度看，積累數學基本活動經驗優于無措施.

實驗結果分析和討論

為什么實驗組前后測沒有顯著差異，成績僅僅維持原來水平呢？這是由初、高中數學學科固有的差異造成的，在高中考試中維持中考分數的水平是很困難的. 如中考考115分的學生要維持原有水平，在高中就要考到143.75分，這顯然是有一定難度的.

從表7看到，實驗組后測的平均分明顯高于控制組，說明整體存在較大的進步. （相對）優等生依然保持名列前茅，沒有出現均分回歸現象，其余學生進步明顯.

經觀察和試驗，實驗組的學生相對控制組的學生表現出了以下差異：

（1）對數學學習表現出興趣，有主動獲取數學知識的意愿.

（2）課堂學習中更注重知識產生的過程.

（3）在研究問題時更重視歸納和演繹思想的運用.

（4）能用歸納和演繹思想來解釋現實問題.

實驗結果表明：

（1）數學基本活動經驗的積累對普通高中基礎薄弱的學生學業發展有很大的促進作用. 一方面，能幫助學生掌握歸納和演繹的思維方法，能促使學生的數學思維變得更為有序和合理，能使學生理解數學基礎知識，提高數學基本技能，提高解決數學問題和實際問題的能力. 另一方面，能幫助學生形成用數學探究現象的科學態度，激發學生數學學習的源動力，促使其進入“學數學——用數學——學數學”的良性循環，為今后持續的學業發展乃至生涯發展奠定基礎.

（2）基于第二課堂的小課題研究有利于幫助學生獲得數學基本活動經驗. 本實驗設計包含概率實驗、試題研究和實踐調查三種方式，均采取第二課堂下的小團體自主選擇開展小課題研究的形式，這有利于激發學生的主觀能動性，有利于學生發揮自身的能力優勢、環境優勢. 有著問題導向的小課題合作研究，能讓學生在問題情境中親歷歸納和演繹經驗的產生及發展的過程，獲得解決問題的成功體驗，因而有助于學生自主地內化和提升數學基本活動經驗，能促使學生主動地從現實的“經歷”走向抽象概括的“經驗”.

對實驗的思考

1. 要重視數學基本活動經驗

隨著社會經濟的發展和我國教育改革的深入，國家對人才的現實需求和學生個體發展的客觀需要都要求教師要將眼光放得更遠，要形成正確的教學價值觀，要重視數學基本活動經驗的積累在學生生涯發展中的作用.無論是第一課堂還是第二課堂，教師都要創造幫助學生獲得數學基本活動經驗的機會.尤其是基礎薄弱的學生，由于數學基礎和學習能力的限制，一般地，練習講評會占據著更多的課堂教學時間，針對這種情況，教師更應在課堂教學中引導學生參與歸納和演繹活動，幫助學生獲得數學基本活動經驗.

2. 要研究基本數學活動的有效性

基本數學活動是學生生成、拓展和交流數學基本活動經驗的過程，同時也是學生獲得數學基礎知識、基本技能與基本思想的過程.為了幫助學生獲得有價值的數學基本活動經驗，教師要研究基本數學活動的有效性，避免出現活動熱鬧、收效甚微的結果.基本數學活動需要精心設計的問題情境，需要知識產生或運用的過程，需要高效暢通的交流平臺，以激活學生的歸納和演繹思維，使學生掌握思維的策略和方法，使自身的思維更具批判性和深刻性.

同時，教師還應引導學生深入思考基本數學活動的意義，完成經驗的創造、領悟、反思、內化、檢驗和重新創造.幫助學生形成自主獲得數學基本活動經驗的意識和能力，助力學生的可持續發展.