數學“解題”的本質：轉化、化歸

龐燕

[摘 要] 數學解題以轉化為手段，以化歸為目的，轉化與化歸思想是解決數學問題的根本思想. 除極簡單的數學問題，大多數數學問題的解決都是通過轉化為已知問題來實現的. 解題的過程就是一步步地轉化的過程.

[關鍵詞] 高中數學；解題；轉化；化歸

提出發現問題、追本溯源

何為數學解題？

著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解的題轉化為已經解過的題”. 數學解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉化過程；就是一個不斷發展條件、改造結論的過程.

何為轉化、化歸？

簡單言之，就是將未知問題轉化到已知的可以解決的問題中來的一種方法.數學家羅莎彼得曾經用一個笑話對數學家眼中的轉化與化歸進行了形象生動的詮釋. 在面對“只有火柴、水龍頭、煤氣灶和水壺的條件下，如何燒開水”的問題，大家的回答仿佛都很一致，按照正常的程序，灌水、點氣、燒水. 但當面對“如果此時水壺中已經注滿水了，而其他條件不變的情況下怎么辦”這個問題時，當回答者理直氣壯地認為可以直接放水壺點煤氣時，數學家卻有了不同的意見，他認為只有物理學家才會有這樣的行為，而數學家則會直接將水倒掉，使得問題化歸到最初的問題中去.

就這樣，化歸的本質在羅莎看似荒誕和夸張的比喻中得到凸顯：在解決一個問題時人們的眼光并不落在問題的結論上，而是去尋覓、追溯一些熟知的結果，盡管向前走兩步，也許能達到目的，但我們也情愿退一步回到原來的問題上去. 利用化歸法解決問題的過程可以簡單地用以下框圖表示：

所謂數學解題的思維過程其實就是學生們對數學問題的探索過程，是他們思維從最初的困惑到嘗試理解，到問題轉換而最終使問題得到解決的活動軌跡. 數學解題過程可以分為四個步驟，即清楚問題—計劃解決問題—實施計劃—回顧解題過程. 新課改實施之后，廣大的數學教育工作者在創新方法與形式的基礎上，簡化提煉了這四個步驟的關鍵，將其濃縮為八個字，理解—轉化—實施—反思.

理解，就是讓學生讀懂題意，找到題目中隱藏的一些已知條件，這是學生們開啟解題思維的第一步，也是關鍵一步；轉化，則是學生讓自己的思維活躍起來，積極地調動已有經驗，搜索已有知識，然后將未知問題通過思維運動轉化為已知問題的過程. 問題轉化過程就是學生們積極探索和嘗試解題方法、發現新舊知識的聯系，自動將知識進行系統化組合的一個思維過程.

分析解決問題、滲透思想

總結歸納：此題可以利用“數形結合”的思想，進行轉化和化歸，先把條件和待求結論的代數式（或量）都化成形.

數形結合，就是通過數與形之間的對應和轉化，來解決數學問題.包含“以形助數”和“以數解形”兩個方面.一方面，許多數量關系、解析式，若賦予幾何意義，往往可以變得非常直觀、形象；另一方面，一些圖形的屬性，又可以通過數量關系的研究，使圖形的性質更豐富、更精確、更深刻. 通過數形結合，對問題進行轉化，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化.

條件最值問題種類很多，內涵豐富，解法靈活，解題的關鍵在分析和思考，因題而異，選擇恰當的方法. 數學常用方法有：消元法、不等式法、換元法和數形結合法等等.

反思剖析問題、淋漓盡致

數學解題的目的是為了理解概念、熟悉知識、掌握方法、領會思想、發展思維、學會思考，并提高分析問題和解決問題的能力. 解題時，面對一個新的問題，應該一步一步地分析，該怎樣轉化和化歸，由不會到會，由陌生到熟悉，并在解題過程中，鍛煉解題意志，克服困難，走向終點.

具體來說，第一步：先審題，然后向自己發問.通過反復讀題，思考題目讓我求什么？條件是什么？條件到結論怎樣轉化？試著結合條件畫出一個示意圖，此問題屬于哪方面的數學知識，是函數問題、解三角問題、數列問題、立體幾何問題、解析幾何問題？第二步：找條件和結論的聯系，找到關鍵詞，如最值、取值范圍等，聯想相關定理、公式、概念；結合結論，聯想相似的問題并利用之；試著用不同的方式重新敘述命題，找到問題的等價命題.能否把條件或結論特殊化？是否有隱含的條件沒用上？（運用數學思想方法，如數形結合等）. 第三步，具體求解時，檢驗每一步運算是否合理、正確. 第四步，解題后反思，總結.

在數學解題的轉化與化歸中，對基本知識、方法與技能的熟練掌握是重要的前提；認真細致的分析、豐富大膽的想象，對類比、比較等數學思維方法的靈活運用是轉化思想得以能夠順利實施的保障. 要想將轉化思想訓練培養成一種自覺行為，就要去深刻理解數學公式、定理以及法則的本質，要學會在典型習題的練習中不斷提煉和總結，有意識且有針對性地去找到事物之間存在的某種本質上的密切聯系. 數學解題的關鍵在于不但要牢固基礎，更要注重轉化.作為教育者，可以通過問題條件、問題結論、問題內部結構或者是外部形式等多種形式的變更，來開拓學生們這種既可以代數，也可以幾何的思維視角.

一個數學問題，我們可視其為一個數學系統或數學結構，組成其要素之間相互聯系的形式是多變的、多樣的，因此，解題時，需要我們依據問題本身所提供的信息，利用動態思維，尋找解決問題的途徑，遵循“多變—轉化—解決”的規律.