解題品題

丁瑞芳

[摘 要] 解題是一種基本教學活動，它是指導教師提高教學基本功的必備路徑. 但是僅僅會解決問題還遠遠不夠，還要從解決問題中去發現問題、反思問題，才能不斷提高教師專業化的水平.

[關鍵詞] 解題；品題；探究；數學；拋物線；推廣

解題是數學教師必備的基本功，也是所有基本功里面最重要的一種技能. 數學教學離不開解題，學生數學學習離不開解題，數學能力的提高更需要不斷通過解題去積累經驗，所以要提高教師自身的解題能力既能幫助教師自身的專業化發展，也能有助于學生對于解題的新認識.

如何解題？這是波利亞提出的一個很寬泛的問題. 就一線教學來說，筆者認為如何解題需要做好兩方面的工作：第一是解決問題，問題的解決可以是不同方法、不同思想的滲透，這樣當然很好；第二是提高內涵，即對解決后的問題進行再思考，這種思考往往具備了問題的再開發，要繼續在原問題基礎上進行再開發，勢必將原問題的理解提高到一個新的層面，在無形中提高了知識的運用能力. 本文從筆者解的一道拋物線問題出發，談一談解題的探究活動.

解題

拋物線是中學數學中常見的函數圖象，其性質并不多，教材中介紹了其定義、頂點、對稱性、增減性、最大最小值等等. 由于拋物線的曲線形狀沒有圓形的規則，因此有關拋物線的問題很多是比較難以用初等方法來解決的. 本文是筆者在解決拋物線問題的過程中發現的一個拋物線性質并對它進行了推廣.

問題1：已知拋物線x2=4y，其焦點坐標為Q（0，1），準線方程為：y=-1，記準線與y軸交點為P，過點Q的直線與拋物線相交于A，B兩點，連AP，BP，則有：

結論1：PQ是∠APB的平分線.

顯然上述兩個結論的證明不僅僅適用于問題一中的特定拋物線，而是適用于所有頂點在原點的拋物線，而對于頂點不在原點的拋物線，通過適當的坐標系變換，總能把拋物線的頂點變換到原點，因此，對所有的拋物線上述結論總是成立的.由此我們可以得出一條拋物線的有趣的性質.

此性質是拋物線的固有性質，與拋物線的形狀、位置無關，也與直線的斜率無關.

對于上述性質，我們可否對其進行推廣呢？我們不妨把原拋物線向下平移幾個單位，然后過原點作一直線交拋物線于A，B兩點，在對稱軸上是否存在一點P，使得∠APB被對稱軸平分？

品題

此性質也與拋物線的形狀無關，由此我們還可以作這樣的猜想，是否與拋物線相交于對稱軸兩側兩點的直線都有這樣的性質呢？

問題3：形如y=ax2+c的拋物線與直線y=kx+b在對稱軸兩側有兩個交點A，B，直線與拋物線的對稱軸有交點為Q，則在拋物線的對稱軸上存在唯一的點P，使得∠APB被對稱軸平分，并且拋物線的頂點（0，c）是PQ的中點.

品題1：問題3中的△ABP的三邊被y軸所分得的四條線段，在y軸同側的兩線段之和與另一側的兩條線段之差的積是定值，并且這個定值是PQ2.

品題2：形如y=ax2+c的拋物線與直線y=kx+b在對稱軸兩側有兩個交點A，B，直線與拋物線的對稱軸有交點為Q，則在拋物線的對稱軸上存在唯一的點P，使得∠APB被對稱軸平分；并且拋物線的頂點（0，c）是PQ的中點；△ABP的三邊被對稱軸所分得的四條線段，在對稱軸同側的兩線段之和與另一側的兩條線段之差的積是定值，并且這個定值是PQ2.

以上性質的證明，也具有一般性，限于篇幅筆者不再做類似的證明展開，有興趣的讀者可以類比前面證明求解.對于其他更普通的拋物線，我們可以通過一定的坐標變換，總能轉化成y=ax2+c的形式，并適用于本文所證明的性質.

總之，問題的解決是依賴不斷的思索和實踐的，從原始問題1出發，將問題轉換為一般情形的研究，到品味問題更為一般化的性質，這種思索的途徑值得我們教師思考，從解題到品題，教師讓自身的數學思維又有了新的鍛煉，讓數學素養得到了提升.