緊扣出發點撥動思維琴弦

【摘要】教學蘇教版四下《多邊形的內角和》時，教師可以讓學生在操作、觀察、猜想、驗證、歸納等活動中發現數學規律，建構求多邊形內角和的數學模型，感悟抽象、推理、建模等數學思想。教師可以引導學生將分割的起點由多邊形的某個頂點平移到多邊形內的某個點，再移到多邊形邊上的某個點，這有助于拓寬學生的思維，培養他們的創新意識，提升其數學核心素養。

【關鍵詞】起點；分割；推想；建構；核心素養

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）01-0054-03

【作者簡介】馮桂群，江蘇省南通師范第一附屬小學朝暉校區（江蘇南通，226001）教師，高級教師，南通市數學學科帶頭人。

【課前慎思】

《多邊形的內角和》是蘇教版四下的內容，目的是讓學生通過觀察、操作、歸納、類比等活動，發現多邊形內角和的計算方法。這節課是在學生認識了三角形內角和等于180°，了解了多邊形基本特征的基礎上教學的。教材重點是讓學生用分割法將一個多邊形分成幾個三角形，把求多邊形內角和的問題轉化成求若干個三角形內角總和的問題，進而使學生發現多邊形內角和與多邊形邊數之間的關系，獲得計算多邊形內角和的一般方法，從而使他們積累數學活動經驗，感悟類比、歸納、數形結合、轉化、建模等數學思想，初步形成問題意識、探索意識和創新意識。

在教學中，筆者發現，學生學習的難點在于如何巧妙地用最少的次數將一個多邊形分割成若干個三角形。筆者這樣解讀學習難點的依據是四年級上冊期末測試中的一道題：三角形的內角和是180°，五邊形的內角和是多少度？筆者在批閱試卷時發現，部分學生算出五邊形內角和大于正確值540°。經過調查，筆者了解到，學生不是不會將五邊形分割成三角形，而是受之前畫正五邊形的對稱軸和畫長方形的對角線等作圖活動的影響，將五邊形分割成了3個以上三角形。其實，最簡單的分割方法是從五邊形的一個頂點出發，依次和與它不相鄰的頂點連接起來，即分割2次得到3個三角形。因此，選擇好分割的出發點并使分割次數最少是學生學習的難點，巧妙地利用學生已有的認知經驗促進模型建構和實現適度拓展是教師教學的重點。筆者在多次試教與修改后，形成了以下較為流暢和深入的教學實踐。

【課堂教學】

一、樂玩游戲，激趣生疑

師：孩子們，喜歡玩游戲嗎？下面我們就來玩一個想象的游戲。請你們閉上眼睛，想象出兩個點，兩點之間只能畫幾條線段呢？

生：1條。

師：如果平均地對這條線段切一刀，線段會被分成幾小段？

生：2段。

師：如果平均地對這條線段切2刀，會得到3段；平均地切3刀，就得到4段……如果將切成的3條線段首尾相接，圍成的圖形是三角形；4條線段首尾相接，圍成的是四邊形；5條線段首尾相接，圍成的是五邊形……

師：睜大眼睛仔細看，6條線段首尾相接，圍成了六邊形。請你想一想，至少要幾條線段首尾相接才能圍成封閉圖形？

生：3條，圍成三角形。

師：三角形的內角和是多少度？

生：是180°。

師：你想知道多邊形的內角和怎樣計算嗎？今天我們就一起來研究“多邊形的內角和”。（板書課題）

二、優化方法，探索規律

1.嘗試解決，形成方法。

先從簡單的四邊形入手，引導學生進行探究。具體的做法是：為學生提供四邊形紙片，讓他們想辦法求出四邊形的內角和，并將思路標注在紙片上。然后讓學生在四人小組里交流，并做好上臺展示的準備。

2.小組合作，展示成果。

學生就上述問題進行匯報。

師：你們真能干，想到了好多方法。為什么有的同學用180°乘2來計算四邊形的內角和？

生：因為四邊形可以分成2個三角形，而三角形的內角和是180°。

師：把未知的問題轉化為已知的問題，然后利用已知推想出未知。你們真厲害！

師：將四邊形最少分割幾次就分成了2個三角形？

生：一次。

師：這最少的一次不僅可以從圖上看出來，還可以根據四邊形的頂點個數推算出來。如果以四邊形的某個頂點為出發頂點，只要向哪些頂點畫分割線就行了？

生（做手勢）：相對頂點。

師：四邊形的出發頂點有幾個相對頂點？最少要分割幾次？你能列式算出來嗎？

生：4-3=1（次），這里的3是指出發頂點和它的2個相鄰頂點。

師：看來，四邊形不管以哪個頂點為出發頂點，每個出發頂點都只有1個相對頂點，所以最少要分割1次，算式是4-3=1（次）。而分得的三角形個數比分的次數多1，列式表示就是1+1=2（個）。所以四邊形的內角和是180°×2=360°（如圖1）。

三、發現規律，建立模型

1.研究五邊形和六邊形的內角和。

師：由此大膽地推算一下，五邊形以某個點為出發頂點，它有幾個相對頂點？最少分幾次就能得到一些三角形？六邊形呢？好，下面就請大家先獨自分一分、算一算，再與同桌交流。

展示過程略。

小結：分割前要選好出發頂點，然后找它的相對頂點。有幾個相對頂點，就要分割幾次。分割得到三角形個數比分割次數多1。

反思：剛才通過畫圖與計算，我們成功地求出了四邊形、五邊形和六邊形的內角和。難怪數學家華羅庚說：數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。

2.研究其他多邊形的內角和。

師：借助數形結合，你還想研究其他多邊形的內角和嗎？我們來分工合作，一、二大組研究七邊形，三、四大組研究八邊形。

生1（上臺演示）：我將七邊形最少分4次得到了5個三角形（如圖2），求七邊形的內角和可以這樣列式：7-3=4（次），4+1=5（個），180°×5=900°。

生2（上臺演示）：我將八邊形最少分5次得到了6個三角形（如圖3），八邊形的內角和可以這樣列式：8-3=5（次），5+1=6（個），180°×6=1080°。

3.列表、觀察，發現多邊形內角和的計算公式。

師：我們借助數形結合求出了好幾個多邊形的內角和，得出的數據中是不是隱藏著什么規律呢？為了便于觀察和研究，我們可以通過列表來整理、研究數據。

學生報數據，教師填下表。

師：請大家觀察列表，在4人小組里交流觀察到的規律。

生：多邊形的邊數減3得到分割次數，分割得到三角形的個數比分割次數多1，所以分割得到三角形的個數可以用“邊數-3+1”來算，“-3+1”連起來看就是“-2”。

師：分割的三角形的個數知道了，再乘180°，多邊形的內角和就算出來了。所以，計算多邊形的內角和的公式是什么？（板書：多邊形的內角和=180°×（邊數-2））

師：利用計算公式求多邊形的內角和，感覺真方便。數學規律可以讓復雜的問題迎刃而解，這就是數學的神奇魅力。

四、反思總結，靈活拓展

拓展1：根據乘法分配律，“多邊形的內角和=180°×（邊數-2）”還可以變形。即，多邊形的內角和=180°×邊數-360°。這一公式除了根據定律推算出來，還可以畫出來。請同學們觀看圖4，如果將分割四邊形的出發點由某個頂點移到圖形內的任意一點，它有4個相對頂點，以它為出發點，可以將四邊形分成4個三角形，4個三角形的內角和是4乘180°。顯然，這4個三角形的內角和比四邊形的內角和多中間的4個角，一共是360°，所以要求四邊形的內角和就要再減去360°。

拓展2：除了從頂點或圖形內的某一點出發，還可以從邊上的某一點出發，向和它相對的頂點作分割線，會得到3個三角形（如圖5）。這3個三角形的內角和比四邊形的內角和要多，多的角就是邊上的180°，所以用180°×3-180°=360°。回顧以上3種分割方法，可見，數學學習不僅要追求一題多解，更要講究算法的優化。

【教后反思】

1.緊扣分割多邊形的出發點，讓學生將分割圖的直觀經驗提升到理性高度。

借助研究三角形內角和、畫圖形的對角線或對稱軸的學習經驗，學生自然想到了用量、分、撕等方法來求四邊形的內角和。在算法的對比求優中，筆者借助出發頂點、相鄰頂點和相對頂點三者之間的位置關系，讓學生明白了四邊形中的某個頂點只有一個相對頂點，所以將四邊形分割成三角形，最少只要分割一次，巧妙避開了畫2條對角線來分割四邊形的情況，并為后面的思維拓寬與深化埋下了伏筆。

2.緊扣分割多邊形的結果，讓學生在列表和觀察中建構數學模型。

借助“從某一個頂點出發，用最少的次數將多邊形分成幾個三角形”這一問題，筆者不僅將復雜的數學問題轉化為學生已經掌握的求幾個三角形內角總和的問題，滲透了轉化、數形結合的數學思想，更主要的是引導學生從數據中發現數學規律，建構起相應的數學模型，感悟到抽象、推理、建模等數學思想。

3.緊扣出發點的位置變化，讓學生在思維拓展中感受數學思維的靈活多變。

英國教育家懷特海說：“教育需要解決的問題就是使學生通過樹木看見森林。”引導學生將分割的起點由多邊形的某個頂點平移到多邊形內的某個點，再到多邊形邊上的某個點，不僅綜合運用了平移、乘法分配律、畫圖等已有知識，還巧妙地拓展了學生的思維，培養了他們的創新意識，為學生進入初中后深入地研究多邊形的內角和埋下了活思、活學、活用的種子，真正提升了他們的數學核心素養。<＼＼Ysc02＼d＼邱＼江蘇教育＼小學版＼2017＼01＼KT1.TIF>