從教學教材的心理化視角談“用教材教”*
——以人教A版必修5“3.4基本不等式：≤”為例

從教學教材的心理化視角談“用教材教”*

☉湖南省株洲縣第五中學 方厚良

對教材的使用有兩個極端，一是機械地“照本宣科”，一是脫離教材，前者為大家所詬病，后者卻常被迷惑為“創造性使用教材”，其實都是對教材的不正確認識.從心理化視角研讀教材、使用教材，可以克服上述兩個極端的不好影響，發揮教材的最大效益，提高教學質量.教材心理化包括編寫教材的心理化和教學教材的心理化，編寫教材的心理化主要是對教材編寫者而言，包括“教學什么”，還包括“怎么教學”；教學教材的心理化主要針對教師和學生，基于對教材編寫意圖領會的基礎之上，融入教師的教材理解和學生理解.本文以人教A版必修5“3.4基本不等式：”為例，從教學教材的心理化角度談“用教材教”.

一、教學教材的心理化的內涵與表現

教學教材，狹義地講是指用之于教學的課本紙質教材，廣義的教學教材還包括音像、模具、課件、學生作業等材料.教學教材既是編制教材的擴展，也是對教材成效的檢驗.教學是對教材能動的改造加工過程，將課本靜態呈現的東西變為教學活動，特別是豐富生動的思維活動，這一過程實際上就是一個心理化的過程，當然從規范和科學的標準來要求教學教材的心理化，需要對其進行內涵界定和表現描述.

教學教材心理化主要是指教師基于對教科書的邏輯順序和心理順序的解讀、基于教師自身的數學理解以及教師對學生學習心理和認知發展的把握，將教材從靜態的結構展開為生動活潑的數學活動過程，并通過數學活動實現數學的課程功能和育人目標.教學教材的心理化主要針對教師和學生而言，它與編寫教材的心理化有聯系（教學教材的心理化需要正確把握編寫教材的心理化），但主體不一樣，看問題的角度也不一樣.教材是教與學的材料和載體，編者、教師和學生因教材而發生關系，編者要考慮教師的教和學生的學，教師的教要充分考慮編者的意圖和學生的學情，學生對教材的自學和在教師指導下的教材學習是不同的學習狀態，教師作為實施教學行為的主導者，在教學教材的心理化中起橋梁和紐帶作用.文［1］認為，教學教材的心理化主要集中在學習者認知策略及閱讀速度、教授策略及教材的選擇等方面.本文探討的數學教學教材的心理化主要表現在以下幾個方面：先行組織者策略、元認知策略、多元表征和轉換策略、最近發展區理論下的教材處理和變式教學等.

二、從教學教材的心理化視角談“用教材教”

1.先行組織者策略

先行組織者教學策略是奧蘇貝爾的意義學習理論的一個重要組成部分.有意義的接受學習是奧蘇貝爾所主張的主要學習形式.他特別強調個體的認知結構對學習的重要影響，而先行組織者是改進認知結構和促進新知識保持的主要手段.所謂先行組織者是指安排在學習任務之前提供給學習者的引導性材料，它比學習任務具有更高一層的抽象性和包攝性.提供先行組織者的目的就在于用先前學過的材料去解釋、整合和聯系當前學習任務中的材料（并幫助學習者區分新材料和以前學過的材料）.先行組織者可以是比較性的，也可以是講解性的，但是在呈現作為先行組織者的概念時，必須仔細解釋這些概念或者命題的基本特征.

重要不等式“a2+b2≥2ab”是基本不等式的先行組織者，學生初中學習過（至少有完全平方的經驗），教材設置“探究”，以北京召開的第24屆國際數學家大會的會標為問題背景，從中國古代數學家趙爽弦圖構造“風車”，引出幾何背景并仔細解釋該不等式的基本特征，為學習基本不等式提供了如下幾點準備：從一般與特殊的關系提供發現基本不等式的可能（代換法）；從類比的角度提供研究方法（代數的、幾何的、數形結合）和證明思路.需要指出，配方變形的技能，學生對于顯性的二次結構還好，但要看出a，b分別是，的平方這種隱性的“二次”關系是有困難的，教材對此有清醒的認識，先講清在a＞0，b＞0情況下，用，代替a，b，由a2+b2≥2ab得到a+b≥2，再變形得到基本不等式用分析法證明基本不等式時，采用填空的形式要學生獨立完成，需要學生反思上一步中的“代換法”，對基本不等式的結構再次分析、確認，找到與a2+ b2≥2ab的聯系.教學時要在學生獨立思考、探討交流的基礎上，重點、清晰地揭示以上關系，養成用聯系的眼光看待數學知識間的關系.

2.元認知策略指導

元認知是個體關于自己認知過程的知識和調節這些過程的能力，簡單點說就是關于認知的認知.元認知策略是一種典型的學習策略，指學生對自己的認知過程及結果的有效監視及控制的策略.元認知策略控制著信息的流程，監控和指導認知過程的進行，包括計劃策略、監控策略（注意策略）和調節策略.閱讀自學、獨立思考、問題探究等更需要元認知策略.

課本設置兩個“探究”和一個填空證明活動，有意引導學生觀察、比較、反思，調控自己的思維活動，這是好的，但對基本不等式的結構和用它求最值“一正二定三相等”條件的認識還需要教師通過精心設置問題和用元認知提示語給予強化.下面從教材習題中選取兩道，主要從“元認知策略”角度幫助學生對基本不等式的結構和應用深化認識.

題1（P54習題3.4A組6）已知a，b是互異的正數，A是a，b的等差中項，G是a，b的等比中項，A與G有無確定的大小關系？

說明：豐富基本不等式的背景和知識間的聯系，將基本不等式作為一個重要的模型來整體認識，并通過概念比較，進一步體會“一正二定三相等”條件.在應用中學會自我提醒，逐一檢驗條件的滿足，而不是粗糙、模糊地得出結論.

題2（P103復習參考題A組8）甲、乙兩地相距skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h.已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（單位：km/h）的平方成正比，且比例系數為b；固定部分為a元（a＜bc2）.為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

3.多元表征策略

布魯納認為，任何知識領域都可以用動作式表征、形象式表征和符號式表征來表示，這三種表征系統是學生認識和把握世界的三種不同的語言.大家知道數學有三種語言，即文字語言、圖形語言和符號語言，對同一個數學對象（概念、定理、公式等）可以用不同語言表示，不同語言之間又可以進行轉換.布魯納講的表征系統與數學語言的表征雖有差異，但精神有相通之處，多元表征能促進學生對數學對象本質的理解，也有助于數學結論的記憶和應用中的遷移.

再看復習參考題A組T7：在周長為定值P的扇形中，半徑是多少時扇形的面積最大？

解：設扇形的半徑是x，扇形的弧長為y，因為P=2x+ y，扇形的面積為時，可以取到S的最大值.故半徑為時扇形面積最大值為

教學觀察發現，不少學生不能把2x，y視為“元”（他們習慣于視x，y為元），從而不能將S=xy湊變為×（2x）y做不下去，要么就亂做一氣，如令x=y湊一個答案出來.

還有，多元表征可以和變式訓練結合.一方面，對基本不等式可以從和式（a+b）與積式（ab）進行轉化，如“和為定值積有最大值；積為定值和有最小值”，再如：已知a，b∈R+，ab=a+b+3，求a+b和ab的取值范圍.一方面，熟悉基本不等式的種種變式：ab≤等.這些變式有助于對基本不等式的結構的認識走向深刻，也便于從非標準形式中“看出”基本不等式來.

4.最近發展區理論

最近發展區是維果茨基對社會互動如何可能成為最有效地幫助學習者內化心理機能的一個概念，定義為學習者在某一領域內能夠獨立完成的任務，與這一學習者與成人或同伴一起工作時所能完成的的任務間的距離，這一距離或區域是學習者極有可能達到的一個區域，因為今天學習者在別人的幫助下能夠做的的事情，可能就是不久的將來他能夠獨立完成的事情.我們可以將處于最近發展區內的教學構想為輔導式的教學或提供合作式的解決問題的機會.

“教師教學用書”建議基本不等式這一小節安排3課時，后面的復習小結也安排3課時，至于具體如何安排內容，如何將任務分解到具體課時則沒有說明.

對基本不等式求最值需滿足“一正二定三相等”條件和一些變形技術教材沒有相應的例題，要學生自發領悟比較困難，前面提到的教材上的習題對學生來說就相當有難度，根據最近發展區理論，設置一節“基本不等式與雙勾函數”的小專題是比較適宜的，下面給出一份教學設計：

問題1下列函數中最小值為2的是（）.

說明：上述兩問題提供先行組織者作用，一是明確基本不等式求最值需滿足的“一正二定三相等”條件，養成逐步檢驗的習慣；二是進一步熟悉雙勾函數的圖像和性質，為后面的進一步討論提供支持.

問題3錯在哪兒？

請問，上述解答是否有問題，問題出在哪兒？如何更正？

說明：先要學生獨立思考，再交流、討論、反思、辨析，發現問題所在：兩次使用基本不等式，取等的條件不能同時滿足

正確解法2：由a+b=1，得b=1-a，又a，b∈R+，所以a∈（0，1），

問題4（P103復習參考題A組8）甲、乙兩地相距skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h.已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（單位：km/h）的平方成正比，且比例系數為b；固定部分為a元（a＜bc2）.為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

解：設汽車運輸成本為y，則y=（bv2+a）×=sbv+

說明：此題較好地體現了基本不等式與雙勾函數模型間的聯系，當基本不等式失效的情形下可用雙勾函數的單調性解決最值問題.

三、結束語

數學教材心理化是為了教材的科學化.強化教材的心理學基礎，強調重視學生的學習心理特點和心理發展特點，是理解學生、理解教學，甚至也是理解數學的基礎，中學數學教學在這塊還比較欠缺，故需大力提倡并踐行之.

1.曾天山.論教材的心理化［J］.西北師范大學報：社會科學版，1995，02.

2.托馬斯·費茲科，約翰·麥克盧爾著，吳慶麟等譯.教育心理學——課堂決策的整合之路［M］.上海人民出版社，2008，11.

3.曹才翰，章建躍.數學教育心理學［M］.北京師范大學出版社，2006，6.

4.拉爾夫·泰勒著，羅康張閱譯.課程與教學的基本原理［M］.中國輕工業出版社，2014，7.

5.維果茨基.維果茨基教育論著選［M］，人民教育出版社，2005，1.

*本文為湖南省教育科學“十二五”規劃2015年度基礎教育研究課題“普通高中數學教材的心理化研究”（課題編號：XJK015CZXX074，主持人：方厚良）的研究成果之一.