例談高中數學中的變式教學
——以一道高考題為例

例談高中數學中的變式教學
——以一道高考題為例

☉浙江省寧波市北侖區柴橋中學 鄭桂芬

新課程改革以來，變式教學或多或少、有意識或無意識地存在，變式教學為何如此受青睞，因為它可以使學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，可以幫助學生使所學的知識點融會貫通，深刻領悟數學思想方法，變式教學的確是深刻理解和掌握知識的有效手段.筆者結合平時的教學實踐，從一道高考題開始，談談變式教學在高中數學中的運用，不當之處，敬請指正.

一、題目及解答

1.題目

已知函數f（x）=ex+e-x，其中e是自然對數的底數.

（1）證明：f（x）是R上的偶函數；

（2）若關于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；

（3）已知正數a滿足：存在x0∈［1，+∞），使得f（x0）＜a（-+3x0）成立.試比較ea-1與ae-1的大小，并證明你的結論.

2.解答及變式設計

（1）這是2014年的高考試題.第一小題為基礎題，難度最低，基礎較差的考生不要放棄，相信自己能解答好本小題.利用偶函數的定義進行判斷，只要證明f（x）滿足f（-x）=f（x）即可.

本小題這樣考查了偶函數的定義，屬于容易題，命題者命制此小題是為了增強基礎較差的考生考試的信心，體現命題者的人文關懷.此外本小題易錯點是沒有考慮函數定義域關于原點對稱，定義域關于原點對稱是討論奇偶性的必要條件.

變式：已知函數f（x）=ex-e-x，其中e是自然對數的底數.證明：f（x）是R上的奇函數.

（2）此小題為基礎中等的考生命制，難度增加，基礎中等的考生通過努力思考，也能順利解答本題.

要使mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，只需使m（ex+e-x-1）≤e-x-1在（0，+∞）上恒成立，分離參數得m≤只滿足m≤g（x）恒成立，要使m≤g（x）恒成立，只需m≤gmin（x），這樣將原問題轉化求函數g（x）的最小值.

解法1：由于關于ex比較復雜，可令t=ex，由于x∈（0，+∞），則t＞1.所以2，所以g（x）時，即t=2，即x=ln2時，等號成立.所以m的取值范圍是

本小題考查分離參數法、等價轉化的思想，將恒成立問題轉化求函數的最大值的問題.本題易錯點是作代換t=ex后，沒有考慮t的范圍是t＞1.本考試思維受阻的地方是考生不會將，從而求不出最大值.因此為了避免出現錯誤，作代換后首先要考慮代換后字母的范圍.

變式當x∈［-2，1］時，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則求實數a的范圍.（2014年高考遼寧理科卷）

解法2：考慮不等式兩邊同乘ex，則不等式轉化為m［（ex）2+1］≤1+（m-1）ex在（0，+∞）上恒成立，令ex=t（t＞1），則問題可簡化為：mt2+（1-m）t+m-1≤0在t∈（1，+∞）上恒成立.構造函數g（t）=mt2+（1-m）t+m-1，由圖像易得當m≥0時不符合題意.

解法2就是將所求的問題轉化為二次函數在特定區間恒小于零的問題.考查了數形結合的思想.考生能順利地解答出第一、二小題，將會增強他們解第三小題的信心，他們就能乘勝追擊，一鼓作氣進行解決第三小題.

（3）破解第三小題，將其分解成兩個子問題，然后各個擊破，將壓軸題轉化常見的問題，使壓軸題不再可怕.本小題是為優秀的考生命制，難度大，可將本小題分解為兩個小問題：①即先求出參數a的范圍，②根據參數a的范圍比較ea-1與ae-1的大小.

先看問題①：命題者設置“已知正數a滿足：存在x0∈［1，+∞），使得（fx）0＜a（-+3x0）成立”這個條件的目的就是希望考生根據該條件先求出該參數a的范圍.該小題屬存在性問題（即能成立問題），根據結論“?x∈D使得（fx）＜g（x）”的條件是“在區間D內，（fx）的最小值小于g（x）的最大值”，這樣將原問題轉化為求函數（fx）0在x0∈［1，+∞）上的最小值fmi（nx）0與函數h（x0）=a（-+3x）0在x0∈［1，+∞）上的最大值hma（xx0）.這樣就可以求出參數a的范圍.

解法1：因為f′（x0）=ex0 -e-x0，由于x0∈［1，+∞），所以f（′x0）=ex0 -e-x0＞0，故（fx）0在［1，+∞）上單調遞增，故（fx0）在x0∈［1，+∞）上的最小值fmi（nx0）=f（1）=e+e-1.又h′（x0）= a（-3+3），由于x0∈［1，+∞），且a是正數，所以h（′x）0＜0，故h（x0）在［1，+∞）上單調遞減，故函數h（x0）在x0∈［1，+∞）上的最大值hma（x1）=2a.要存在x0∈［1，+∞），使得（fx）0＜a（-+3x）0成立，則必需e+e-1＜2a，即a＞

圖1

考生不會將存在性問題等價轉化求f（x）0在x0∈［1，+∞）上的最小值fmi（nx0）與函數h（x0）=a（-+3x）0在 x0∈［1，+∞）上的最大值hma（xx0）.設函數（fx）的值域是F，h（x）從的值域是H，根據題意作出相應的圖形（如圖1），圖形上可以看出要滿足“存在x0∈［1，+∞），使得（fx）0＜a（-+3x0）成立”的條件是fm（inx）0＜hma（xx）0.此外教師在上課時，應該及時總結有關存在性問題的類型及對應解題方法.

當然，此題也可以用分離參數法解決：

本小題主要考查初等函數的基本性質、導數的應用等基礎知識，考查了分類討論、等價轉化、構造函數模型的思想.同時也考查了綜合運用數學思想和解決問題的能力.高考題總會露出一些“蛛絲馬跡”.給考生以適當的提示，讓考生找到解決問題的“突破口”，從而讓優秀的考生順利地解決好難題，提高試題的區分度，有利于高校選拔人才.本題就暗示了“e=2.71828…為自然對數的底數”，以便讓優秀的考生找出解決問題的突破口，即對“兩個指數式取對數”.

變式1已知i，m，n正整數，且1＜i≤m＜n.求證：（1+m）n＞（1+n）m.（2001年高考全國卷壓軸題）

分析：（1+m）n＞（1+n）m?nln（1+m）＞mln（1+n）?

變式2π為圓周率，e=2.71828…為自然對數的底數.求e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個數中的最大數與最小數.（2014高考湖北卷壓軸題）

分析：問題中出現比較形如ab和ba的指數式大小，將這兩個指數式分別取自然對數.即比較blna與alnb大小，由于這兩個對數式含兩個變量，要比較它們大小比較困難，因此，將兩個對數式同時除以ab，得到，因此，原問題轉化為比較的大小，這樣每個式子值只含一個變量，要比較它們的大小，我們可以研究函數（fx）=的單調性和最值.

變式3設函數f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數.若g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點的個數，并證明你的結論.（2013年高考江蘇理科卷壓軸題）

分析：根據g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，先求出a的范圍，再令（fx）=lnx-ax=0，分離參數有a=.作出h（x）=的圖像，將問題轉化為y=a的圖像與h（x）=的圖像的交點問題.

二、幾點思考

1.變式教學的由來

變式教學在中國由來已久，被廣大教師自覺或不自覺地應用著，變式教學是促進有效數學學習的中國方式，很多老師雖不能直接表述變式是什么，但都能明確變式是什么.但為什么而變式呢？這是在進行變式設計時每位教師要思考的，也就是在變式之前，教師要明確變式的教學立意；變式的教學立意有很多，比如加深核心知識理解、提煉解題規律、強化技能訓練、得到某個結論等.可以說教師有什么樣的教學立意就有什么的變式行為，因此在進行變式設計時，教師要深刻思考基于什么而變式，明確每一次變式的教學立意，變式設計只有承載正確合適的教學立意，變式才最有價值，才能更有效地促進學生的數學學習.

2.變式教學的做法

明確了為什么而變式后，也就確立了變式的教學立意，教師該如何進行變式設計呢？如果變式是基于加強知識聯系和展現問題實質，那么變式設計就可以在一個模型中展開，通過不斷互換條件和結論，使學生內化知識聯系，領悟問題實質；如果變式是基于深化方法應用和領悟數學思想，那么變式設計只需改變條件，引領學生用不同的方法求得結論；如果變式是基于加深核心知識理解，那么變式設計可以舍去或添加一些條件，引領學生領悟知識的外延與內涵；如果變式是基于提煉解題規律，那么變式設計需在同類問題中展開，在問題解決過程中提煉同一類問題的解題規律，使學生達到觸類旁通；如果變式是基于強化某種數學技能，那么變式設計要削枝強干以某種技能為中心展開；如果變式是基于得到某個結論，那么變式設計可采用從特殊到一般、層層遞進的方式進行.