一道高考題引出圓錐曲線的一個性質

甘肅省蘭州市第二十七中學 (730030) 陳鴻斌 張文奇

一道高考題引出圓錐曲線的一個性質

甘肅省蘭州市第二十七中學 (730030) 陳鴻斌 張文奇

(Ⅰ)當t=4, |AM|=|AN|時,求ΔAMN的面積;

(Ⅱ)當2|AM|=|AN|時,求k的取值范圍.

本題是2016年新課程高考數學理科試題全國卷Ⅱ第20題.本題的橢圓表達形式與2015年新課程高考數學理科試題全國卷Ⅱ第20題類似,都帶有一個未知參數,但是形似神不同,富有創新性,內涵豐富,蘊含著橢圓的一個性質,無疑是一道經典之作.

筆者通過探究,得到了圓錐曲線又一個弦過定點的性質.

當l的斜率存在時,kPM=

充分性:設M(x1,y1),N(x2,y2),不妨設點M的縱坐標y1>0.

所以ΔAMN是等腰直角三角形,故MA⊥NA.

=(1+k2)x1x2+(a-tk2)(x1+x2)+a2+k2t2

綜上可知,MA⊥NA.

故ΔAMN是等腰直角三角形.

推論2由定理1可以直接得到,故從略.

筆者再次深入探究,將上述結論推廣到雙曲線和拋物線上,得到了下面的結論.

定理2的證明與定理1相同,故從略.

證明同于推論1,從略.

由定理2可以直接得出推論4.

定理3若直線l交拋物線E:y2=2px(p>0)于異于頂點O的兩點M,N,則MO⊥NO的充要條件是l過定點(2p,0).

推論5 若過點(2p,0)并垂直于x軸的直線l交拋物線E:y2=2px(p>0)于M,N兩點,則ΔOMN是等腰直角三角形.

推論6 若直線l交拋物線E:y2=2px(p>0)于異于頂點O的兩點M,N,則以線段MN為直徑的圓過O點的充要條件是l過定點(2p,0).

證明:同上,略.

一道經典的高考題蘊含著極其豐富的研究價值,我們應該用研究的態度看待每一道高考題,挖掘出一些豐富的內涵,有助于我們正確把握高考的命題趨勢,為今后的教學工作做出有效的指導.