基于數學核心素養的“一元二次不等式的解法（1）”教學設計

☉上海大學附屬中學 顧晨曦

基于數學核心素養的“一元二次不等式的解法（1）”教學設計

☉上海大學附屬中學 顧晨曦

一、引言

高中數學新一輪課標的修訂接近尾聲，本次修訂的總目標是發展“四基、四能、形成六大數學核心素養：數學抽象，邏輯推理，數學建模，數學運算，直觀想象，數據分析”.在新課改下數學課堂教學應該呈現什么？應該教什么？怎樣才能促進形成六大數學核心素養？

這些都是需要探討的問題.本文嘗試針對滬教版高一第一學期2.2一元二次不等式的解法（第一課時），基于數學核心素養進行教學設計，以期初探高中新課標下教學設計討論的大門，也為其他關于數學核心素養問題的討論起拋磚引玉的作用.

二、設計目標和思路

本課的設計力求通過實際問題的解決提升學生的操作數據、分析數據的能力，在這個過程中，培養數學建模、直觀想象、數據分析的核心素養；通過圖形計算器繪制函數圖像，編制不等式求解的數學活動，讓學生從探索問題中使用歸納推理，完成從具體問題到數學方法的歸納過程，貫穿一元二次不等式與二次函數，一元二次方程之間的內在聯系，進行合理的推斷和直觀想象；利用學生當堂生成的題目，進行數學運算的訓練，掌握一元二次不等式的解法.

三、教學過程

1.引入：利用數學實驗構建數學模型，初探數據分析的魅力

問題：一家面粉生產廠引進一條生產線，由于受設備成本、人工、不同產量運輸方式的不同等因素影響，這條生產線產出的面粉x噸，與每噸面粉的收益y萬元之間有如下關系：

x（噸）829111 y（萬元）15324488

如果你是該廠廠長，請你決定面粉產量在什么范圍內可盈利？

利用圖形計算器（TI-nspire CX-C CAS）輸入數據，得到散點圖，利用回歸分析，擬合得出圖像解析式，（見下圖）根據實際意義，得到不等式：x2-8x+15≥0.

設計說明：俗話說“好的開始是成功的一半”，新課程的引入往往是最值得推敲的部分.對于本節課的引入，是采取情境引入法？還是直接利用一元二次方程的定義，將“等號”改為“不等號”類比引入？教材的設計采用了前者，意圖以期學生能把實際問題抽象為數學問題，并建立一元二次不等式求解，體會一元二次不等式解法的必要性.

在尊重教材對于核心素養培養的基礎上，筆者在引入時思考，既然需要“建?！保蝗鐚ⅰ敖！边M行到底.不等式關系如何得出的？在學生今后面臨的實際工作和生活中，沒有人會給你明確的函數關系式，你面對的是信息，是數據.這時，數據分析能力，數學抽象能力就起了很大作用.所以，筆者在引入中，采取只給出情境和數據的方法，抓住這個難得的機會，利用TI-nspire手持機，讓學生體會了一把真正的建模，在眾多未知因素面前，體會到現代技術在數據分析功能上的強大作用.

雖然在技術層面上，受課堂時間和高一學生知識儲備所限，這個建模不太嚴格，有些理想化，然而“不入園林，怎知春色如許？”本節課對于數學建模走入常規課堂做了一個初探.學生對于這種引入，也感到新穎，并且理解得也較有深度.在課堂上，學生主動提出對于模型中x取值范圍為正數的修正，在學生的對話中確定了范圍.在課后的統計中，100%的學生認為此課的引入形式具有創新性，84.2%的學生認為這種引入相比傳統形式“培養了數學建模的能力”，15.8%的學生表示對這個問題“說不清”，沒有學生在這個問題上選“否”.

2.新授：沒有例題的“例題講解”，邏輯推理得出解法

本節課對于一元二次不等式解法的講解，大膽采用了沒有一道教師預設例題的方法，由學生根據使用計算器繪制的函數圖像編制不等式形成例題，結合TI-nspire圖像跟蹤功能的使用，直觀地呈現了符合要求的解的區間.以下呈現幾個典型圖形以及相關問題串.

針對每個圖形，教師與學生依如下問題串對話：

請你根據這個函數圖像，編制一個不等式.

x軸上方（或下方）的點有什么共同特征？

這些點的橫坐標代表什么意義？

它們在x軸上投影的范圍有什么特點？

你能由此得到相應的不等式的解集嗎？

設計說明：在解法的教授中，側重圖像法，充分體現數形結合的思想，體現數學符號語言和圖形語言的翻譯.學生利用計算器輔助學習，自主編制題目并求解，這些新鮮出爐的、自己創造的題目，更能引起學生的學習欲望.令課堂教學變得靈活生動起來，讓學生親自體驗到自己是課堂的主體，將數學運算的核心素養滲透到課堂的活動當中.

利用問題串，將學生的思維過程層層解構，再在解法的得出中進行重組，在從特殊到一般的方法總結過程中，培養邏輯思維和推理能力.

在課堂上，即使是學習能力偏弱的學生，在圖形和問題串的幫助下，可以自行得出不等式的解集.筆者還提了這樣一個問題，“請根據圖形構建一個解集為一個區間的不等式”，這個問題在課堂上激起了小小的浪花，學生慣性思維于解決諸如y＞0的問題，對于逆向的構造問題，勢必陌生.此問題正是一個良好的訓練機會，契合了依據邏輯規則推出一個命題的邏輯推理要求.

3.練習：再探數學實驗，技術支撐你我的夢想

在本節課的練習部分，解含參不等式x2-3ax+2a2＜0借助圖形計算器，通過游標功能改變參數a的取值，得到不等式的解集.（見下圖）

設計說明：含參數的不等式解法一直是學生學習中的難點，而數學實驗作為數學建模的重要組成部分，隨著計算機的發展，日益凸顯其作用.根據數學教育家弗賴登塔爾所提倡的教學理念：“學一個活動最好的方法就是做”當代數學教育不能僅教給學生現成、靜態的數學，如何讓學生通過再創造體會到作為活動的數學？體會到數學知識的發現過程？數學實驗是一個絕佳的實施平臺.

通過圖形計算器中的游標功能，做出相應的函數圖像，學生在實驗中發現a的取值范圍直接影響了題目的答案，形成分類討論的數學思想.這個過程所留下的印象在學生腦海中是深刻的，雖然花費了一定的時間，然而濃厚的興趣常常是維系長久的有創造的研究和學習的主要動力，在課堂的主陣地上給予學生探索的時間和機會，這個時間應該說花得值.

4.小結：智能計算思維立意下的方法總結，授之于“方法”之“漁”

本節課的小結突破傳統，使用如下求解一元二次不等式的程序框圖進行方法總結：

設計說明：

智能計算思維被界定為一種運用計算機科學基本概念解決問題、設計系統以及理解人類行為的方式方法.在現代社會中，它是一種每個人都應該有的應用態度和技能.建立在學生信息課所學的基礎上，利用流程圖總結一元二次不等式的解法，意在示范學生一種解決問題的思維過程，是一種可得到通法通則的方法.如果說題目的解決是“授之于魚”，方法的教授是“授之于漁”，那么思維的過程則是形成方法的過程，“授之于漁”的“漁”.在這個過程中，通過分類，解決疑難，排除故障.在討論中修正解法，理解內部的關系，形成系統思維的習慣.

四、教后反思

教學中，學生對于計算器使用的掌握比預想中要好，沒有因為計算器操作出現不必要的時間浪費.圖形計算器在本節課中讓學生深刻體會到了數學建模的強大作用，體會到了數形結合解題的必要性和便捷性，課堂對話中發現學生對于圖形法解不等式也理解得比較到位.當堂檢測中，學生可以獨立完成基礎題目，并自己糾錯和訂正，說出錯誤原因和正確做法，基本達到了本堂課的教學目標.對于Δ=0，Δ＜0的題目，學生掌握的不是太好，出錯率較高，約50%，在教材的設計上，這原屬于第二課時的內容，在重組教材時，筆者將其放在了第一課時.這提示我們在重組教材時，應關注學生在思維層次上的不同，給予學生更充分的內化時間.

本節課主要存在的問題是，引入部分還是略長，所占篇幅削弱了正題的講解，是否應該考慮更加簡潔實用？另外，也有教師提出建議，使用圖形計算器，便捷了，但削弱了對學生畫圖能力的訓練，畢竟考試時無法使用，所以在此處使用是否是一個好的選擇？其實，這些聲音的根本，求問的是一個一直困擾一線教師的問題：應試與能力，如何雙贏？路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.