一次“微”教研引發的思考
——基于一道題解法的討論

☉江蘇省南京市大廠高級中學 仝 建

一次“微”教研引發的思考
——基于一道題解法的討論

☉江蘇省南京市大廠高級中學 仝 建

一、問題提出

教師需要在教學實踐中不斷反思、研究，教師的教研活動可以滲透到工作的每一個環節，可以是飯桌旁與同事的聊天，可以是批改試卷時的討論，我們不妨稱之為“微”教研.在一次學校例會間隙，一位年輕的H教師對一道題目的答案不太確定，向鄰座的老教師C請教，旁邊的Z老師也參與其中（我校開會時，同學科老師坐在一起）.筆者傾聽并參與討論，深有感觸，隨后整理成文，談談自己的幾點思考.

二、題目及解法討論

題目過橢圓x2+2y2=a2（a＞0）的右焦點F作斜率大于0的直線與該橢圓相交于A，B兩點.若點F將線段AB分成2∶1兩段，則直線AB的斜率為___________.

這是筆者所在學校高三一輪復習講義上的一道題.

Z老師首先對這道題談了自己的做法和遇到的困難.

Z教師：我是設AB的方程為點斜式，然后聯立直線與橢圓的方程，如果求出點A、B的坐標再用兩點間距離公式的話，計算量太大，所以想借助韋達定理，對點A、B的坐標設而不求，但發現“點F將線段AB分成2∶1兩段”不太好用韋達定理，況且會產生三個方程，四個未知數，所以沒算出來.

評析：Z教師草稿紙如下：不妨設點A在x軸上方，設直線AB的方程為y=k其中k＞0，記A（x1，y1），B（x2，y2），聯立直線AB和橢圓的方程，消去y得（2k2+1）x2-k2ax+k2a2-a2=0，由韋達定理得x1+x2=②，由BF=2AF，結合圖形知y2=-2y1，所以有ka-x2=③（下面沒有寫下去）.筆者后來演算發現Z教師的解法可以繼續下去，關鍵是如何由①②③式求出k的值，雖然三個方程含有四個字母，但估計a不會影響k的值，所以有信心算出k.由③式得x2=a-2x1代入整理得x1=④，從而x2=⑤，這樣消掉了兩個未知數x1，x2，將④⑤代入②可以消去a，得（說明前面的估計是正確的）.又因為k＞0，所以直線AB的斜率為這樣用Z教師的方法就算出了答案.事實上，若設直線AB的方程為x=my+，其中m為直線AB的斜率的倒數.再聯立直線AB和橢圓的方程，計算量要比Z老師的方法要小一些.

評析：與Z老師的設直線方程法相比，H老師的向量法計算量要小一些，我們通過演算得到方程組⑥的解為，即A所以直線AB的斜率kAB=kAF=，從而得出答案.H老師出現了一個計算的錯誤，并且發現結果有問題，所以才向C老師請教的.

圖1

C教師：我是借助圓錐曲線的統一定義，然后再構造直角三角形來做，可以口算出來.如圖1，過A，B兩點向右準線作垂線，垂足分別為D，C，再過點A作AH⊥BC，垂足為H.不妨設AF=1，由BF=2AF，得BF=2，AB=3，由圓錐曲線的統一定義，知，所以AD=，同理BC=2，所以BH=，AH=.得tan∠ABH=，從而得直線AB的斜率.

評析：C老師的解法借助平面幾何的知識（構造了直角三角形）和圓錐曲線的統一定義，極大地簡化了計算量，其中還采用了“不妨設AF=1”，用小量表示大量的技巧，所以可以快速口算出.

T教師（筆者）：我想到過焦點之弦，極坐標為宜.所以我是用極坐標做的，以橢圓的右焦點為極點，以x軸正向為極軸建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為ρ=.不妨設點A在x軸上方，記直線AB的傾斜角為，由BF=2AF，得.又由橢圓的離心率為，解得cosθ=，所以得tanθ=，即直線AB的斜率為

評析：極坐標方程解決圓錐曲線與焦點有關的弦長問題時，頗有優勢，T教師和C老師的解法都避免了橢圓方程中參數a的干擾，簡化了運算.

筆者在會后又得出另一解法，過已知點直線，可以借幫助直線參數方程中t的幾何意義處理，為減少運算量，不妨設a=2，得點F的坐標為（，0），直線AB的參數方程為（t為參數），其中θ為直線AB的傾斜角.代入橢圓方程整理得（cos2θ+2sin2θ）t2+2cosθ·t-2=0，由韋達定理及BF=2AF，知t2=-2t1，t1·t2=，消去t1，t2得tan2θ=.又因為直線AB的斜率大于0，所以tanθ=，得解.

評析：過已知點直線有關線段長度問題，可以借助直線參數方程中t的幾何意義去處理，但這種方法會涉及三角計算，有時會有一定的計算量，上述五種方法比較來看，C老師的平面幾何結合圓錐曲線統一定義法與T教師的極坐標方程法較為簡捷.

三、幾點思考

1.解題方法的選擇總是基于解題者已有的知識結構

擁有不同的知識結構，會選擇不同的方法，特別是對于方法多樣的問題尤為如此.Z老師和H老師一直教文科，對理科的極坐標方程法和直線的參數方程法不熟悉，自然不易想到，或即使想到，因為缺少此種方法的解題經驗，也不敢在時間緊張的時候使用.學生在高三復習階段更是如此，很少有學生愿意在一道題目上耗大量的時間思考.C老師有幾年初中數學的教學經驗，特別擅長平面幾何，所以在解題時，他更容易想到借助平面幾何簡化運算.T老師剛教過一輪理科，對理科的極坐標方程法和直線的參數方程法應于解決解析幾何問題情有獨鐘.教師對解題方法的選擇是基于自己的知識結構，學生自然也是如此.

2.切實提高教師自身的解題、研題能力

《孟子·盡心下》中說“賢者以其昭昭，使人昭昭.”要引導學生學會解題，必然要求教師對題目有深入的理解，有較強的解題、研題能力.古人云，打鐵還需自身硬，我們無法交給別人自己沒有的東西.若教師的解法少，甚至只是看看參考答案，不進行獨立的解題活動，研題能力不強，勢必導致解題教學時捉襟見肘.文科教師懂得一些理科的方法，對深化自己對學科知識的理解，預見解題方向會有一定的幫助.教師獨立解題經驗越豐富，解法越多樣，研題越深刻，在解題教學中，越能信手拈來，騰出更多的時間和精力關注到學生，進行教學藝術處理.

3.教解題要考慮學生的實際狀況

H老師和Z老師的解題方法是不少文科學生“想得到”、“下不去”、“易出錯”的方法，學生的真正困難在哪里？（看著目標消元與解方程組）教師要深入研究，爭取給予學生必要的指導，幫助學生走出計算繁雜的泥潭.切不可置學生的真困難于不顧，另辟“蹊徑”，教給學生新方法.否則，教師的新方法無法融入學生的認知結構中，學生的解題能力無法得到有效提升.

4.尋求“通法”和“巧法”的平衡

用代數的方法解決幾何問題（幾何問題代數化）是求解析幾何問題的通法，如本文中H老師和Z老師的解法和筆者借助橢圓極坐標方程的方法.借助平面幾何的知識求解析幾何看似是巧法，如C老師的解法.但在求解析幾何問題時，采用純代數化的方法，有時會出現，理論上是對，但由于計算繁雜，耗時，導致中途出錯，無法求出最終結果的情形.這就需要通法與巧法的平衡，既要關注通法，也不忽視巧法，實際上巧法在某種意義下也是通法，只是這種方法在某種情景下使用的頻率少一些罷了.Z老師的解法中就需要加入一些“巧法”（如，估計a不會影響k的值，對a取特殊值，看著目標消元，設直線AB的方程為x=my+等），否則計算就難以到底.C老師的“巧法”借助平面幾何知識（“巧法”）和圓錐曲線的第二定義，和T老師的“焦點之弦，極坐標為宜”（也是“巧法”）簡化了計算.教師在解題中，要尋求“通法”和“巧法”的平衡.

5.注重新課教學的縱橫交錯

新課教學，切莫忽視用新方法解決老問題，這也是智慧發展的渠道之一.事實上，較少教師（即使是理科教師）采用橢圓極坐標方程法、直線參數方程法解題.不少教師在選修4-4極坐標和參數方程教學時，認為只需讓學生學會參數方程、極坐標方程與普通方程的互化，會把參數方程、極坐標方程問題化為普通直角方程解決就可以了，淡化了參數方程、極坐標方程在研究解析幾何問題中的作用，未能注意知識間的縱橫聯系，缺乏用新方法解決舊問題的意識，約束了學生解題時的思維觸角.

四、結束語

做好解題教學，首先要求教師有較高的解題能力，需要老師勤于解題、研題，提高自己的解題功力，深化對數學學科的理解和掌握，肚子里要有貨.好的解題教學，更要契合學生的實際情況，能和學生原有的認知結構搭上橋，還要考慮學生的情緒和情感狀態，要“貼地”而行，接上學生的“地氣”.好的解題教學，還要尋求恰當的方式保證教學渠道的暢通、有趣、積極、高效，這需要教師在解題教學過程中“各顯神通”，進行藝術的處理.F