正多邊形中的一個規律

陳世聲

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）01-0104-01

知識點：（1）正三角形，正四邊形，正五邊形…正多邊形的性質；

（2）三角形全等的判定；

（3）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和。

（2007·樂山）1.如圖1，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC，AB上，且BD=AE，AD與CE交于點F。

（1）求證：AD=CE

（2）求∠DFC的度數

證明：（1）∵等邊三角形ABC，∴AB=AC，∠B=∠BAC=60°，在△ABD與△CAE中，AB=AC∠B=∠EACBD=AE

∴△ABD≌△CAE（SAS）

∴AD=CE

（2）由（1）證得：△ABD≌△ACE

∴∠BAD=∠ACE

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60 °

∴∠BAD+∠DAC=60 °

∴∠ACE+∠DAC=60 °=∠DFC

2.如圖2，在正方形ABCD中，點E、F分別在AB、BC上，且AE=BF，AF與DE交于點G。

（1） 求證：AF=DE

（2） 求∠AGD的度數

證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠B=∠DAE=90°

在△ABF和△DAE中，AB=DA∠B=∠DAEBF=AE

∴△ABF≌△DAE

∴AF=DE

（2）由（1）證得∴△ABF≌△DAE

∴∠BAF=∠ADE

又∵∠BAF+∠DAG=90°

∴∠ADE+∠DAG=90°

∴∠AGD=90°，

即AF⊥DE。

3.（2014年內江）如圖3，點M、N分別是正五邊形ABCDE的邊BC、CD上的點，且BM=CN，AM交BN于點P。

（1）求證：△ABM≌△BCN；

（2）求∠APN的度數

（1）證明：∵正五邊形ABCDE，

∴AB=BC，∠ABM=∠C，

∴在△ABM和△BCN中

AB=BC∠ABM=∠CBM=CN

∴△ABM≌△BCN（SAS）；

（2）解：∵△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠BAM+∠ABP=∠APN，

∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=108°

即∠APN的度數為108°。

這些題都有這個規律性，這兩個全等的三角形的第三邊的夾角都等于這個正多邊形的一個內角的度數，

正三角形：60°

正四邊形：90°

正五邊形：108°

…

學會了一種方法，會做一類題，這就是數學方法的妙用！