數學分析課程教學的難點及突破

林穗華

【摘要】數學分析課程在高校學生的基礎課程中占有很大比重，具有內容多、系統性強、跨度廣的特點，尤其對于數學專業的學生而言，這門課程的學習效果直接影響了其后續課程的學習質量。數學分析課程不但要求學生掌握全面而扎實的數學理論，也對學生的邏輯思維能力和獨立思考能力提出了較高的要求。基于此，本文列舉了數學分析課程教學的難點，并對此提出相應的優化策略和多種具體的教學方法，希望能提高數學分析課程的教學質量。

【關鍵詞】數學分析課程 教學難點 教學優化 教學方法

【基金項目】廣西民族師范學院教改項目，編號：JGYB20131。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）04-0113-02

很多學生在學習數學分析時都遇到一些難以解決的問題，從而造成學習效率低下，學習效果不好。作為教師，必須堅持科學教育的基本原則，發現并幫助學生解決在學習時遇到的種種問題，從而增強學生學習數學分析的興趣，使得學生可以深入理解課程知識并將其靈活運用到后續的數學學習中。學生也應在學習中不斷提高自身的數學專業知識素養，學會使用更多的數學工具去解決數學問題，活用數學建模思想，從而為后續數學課程的學習打下良好的基礎。

一、數學分析課程教學的難點

1.學生基礎較差

學生基礎較差是數學分析課程教學質量不高的原因之一。自國家實施教育改革，進行高校擴招以來，越來越多的人有機會接受高等教育，進入更深層次的學習階段，進入大學的學生基礎不一，而所學習的數學內容卻是完全一樣，這就導致了某些學生在學習數學分析時，學習速度慢，不能很好的吸收新的數學知識。

2.課程銜接有問題

課程銜接問題也是數學分析課程教學的一大難點。在高中階段，學生所學習的數學知識范圍雖然較廣，涉及幾何、函數等各個方面，但總體的難度比較低，根據高考的大綱要求，學生對于知識點的學習不需要非常深入就可以解出題目，取得高分。而大學的數學分析課程并非如此，要想學好這門課程，學生不僅要具備扎實的中學數學知識，也要有較強的邏輯思維能力，學習不能浮于表面，要深入研究每一個知識點，如此方能解決非常復雜的數學問題，這對很多學生的能力提出了挑戰。不僅如此，數學分析的學習內容也涉及到很多高中沒有接觸過的知識點，比如反三角函數的概念、導數積分的求解、積化和差等公式，這些全新的知識內容也讓很多學生感到吃力。

3.學生學習方法不合理

學生的學習方法不合理是數學分析課程教學中存在的主要問題。首先，有些學生對數學沒有太大的學習興趣，在選擇專業志愿時非常盲目或者接受了調劑，從而才選擇了數學專業，沒有了高中教師嚴厲的教學約束，學生們不能很好的進入學習狀態，也不愿意安排過多的時間來學習難度較高的數學分析課程。其次，學生在學習數學分析時，仍然習慣于高中的學習方式，聽教師講學多于自身去探索知識，學習時也經常把重點放在對公式的死記硬背上，而不知道其推導過程，不明白數學方法的根本原理，這就導致學生不能靈活運用各種數學工具，不能解決更加復雜的數學問題。最后，由于課時壓縮，學生在課堂上沒有多余的時間復習所學內容，而在課后又不愿意付出更多的精力來理解和鞏固所學知識點，達不到預期的學習效果。

二、數學分析課程教學的優化策略

1.引導學生適應和掌握有效的學習方式

在正式講課之前，教師要告訴學生數學分析這門課程的重要性及課程特點，從而幫助學生轉變高中固有的學習方式，提高學習效率。例如，大學的課程多但課時少，教師的講課速度會快一些，教師要時刻注意學生的一舉一動，提醒他們緊跟教師的講課思路，學會獨立思考；課下，教師要督促學生主動預習功課并復習當日所學內容，指正學生的作業問題，如格式的不規范、推導步驟的不完善等等，只有這樣學生才能真正認識到自身的不足，時刻保持學習的動力，努力將知識融會貫通，有所收獲。

2.改善教學方法，提高教學質量

為增加學生的學習興趣，提高教學質量，教師要改善教學方法。教學活動是以教師和學生為主體的，過去的“接受式”教育已經不再適用了，因為不利于創新型人才的培養。在整個教學過程中，教師要循序漸進，從詳細講解到慢慢引導，再到讓學生進行獨立思考，從而促使學生學習理論知識、學會使用基本的數學工具，不斷提高自己的自主學習能力。例如，在學習微積分時，教師可以先講解微積分的基本概念和特點，再引導學生觀察積分圖像，學習微積分的規律，深入探究這一知識領域，在學生掌握基本原理之后，讓其利用微積分來解決一些問題，思考微積分的應用給我們的生活所帶來的便利。

3.強化數學分析與高中數學的銜接

教師在教學過程中，要將講課的重點放在學生沒有學過或者不易學懂的知識內容上，要多和學生交流，根據學生的需求來安排每一章內容的課時，從而強化數學分析與高中數學的銜接，讓學生更能深入淺出地理解所學的知識。比如，教師在講解反三角函數的概念時，可以先大概講解一下三角函數，喚起學生關于這部分知識內容的回憶，在三角函數的基礎上再進一步講解新的內容——反三角函數。另外，教師也可以帶領學生用數學分析中學到的數學工具去解決高中的數學問題，這不僅可以加深學生的記憶，，也可以讓他們更能理解數學工具的本質，從而鍛煉其邏輯思維能力。

4.根據學生差異進行因材施教

教師要根據學生的差異因材施教，不同的學生有不同的知識基礎和理解能力，只是一味的灌輸而不結合實際情況進行教學是達不到教學目的的。對于基礎較好的班級，教師可以適當加快講課速度，在已經完成教學目標的基礎上講解更多的課外知識，對某一知識點進行深入的探討和研究，從而達到發散學生思維、提高學習能力的目的；對于基礎較差的班級，教師要適當放慢講課速度，在講解時拿出更多的時間幫助其鞏固基礎知識，要時常與學生進行交流，確保他們可以很好的吸收新的知識，克服學習中遇到的難點。只有這樣，才能使得更多的學生找到最適合自己的學習方法，達到最好的學習效果。

三、運用多樣化的教學方法

1.發現式教學方法

發現式教學方法主要適用于概念性的數學知識教學，其主要方式是由教師拋出明確的數學問題或者有趣的數學故事，激起學生深入探討和研究的興趣。在這個過程中，學生可以加深對客觀事物的印象，發現事物本質與表面之間的相互聯系，尋找內在的數學規律，親身體驗整個“發現”的過程，進而更深刻地理解數學概念。

發現式教學方法的重點和難點在于如何將課本上已知的數學概念與實際相互聯系，以及如何將較難理解的數學概念轉化成相對簡單的數學問題。教師在教學時，不能一味地參照課本而按部就班地進行新知識的灌輸，而是要有意識地對學生進行積極引導，使之可以通過現象觀察本質，知道概念的形成過程和背景，只有這樣學生才能經歷一個思維發現和創新的過程，進而體會所蘊含的數學思想。在數學分析中有很多重要概念，如傅里葉級數、函數的連續性、數列的極限等，這些概念本身都是由實際生活中的數學問題所得出來的，學生要理解這些概念，就要從實際生活入手展開深入討論。例如，在學習定積分這一內容時，教師可以重點講解曲邊梯形的分割與面積，使學生通過研究曲邊梯形并經抽象思考而得出定積分的概念；再比如，在學習數列極限這一知識點時，教師可以列舉出具體的數列，使學生通過獨立的演算和推導理解極限的真正定義。

2.探究式教學方法

在講解數學分析中的性質、規律等理論內容時，教師可以采用探究式的教學方法。在實際教學中，學生普遍認為數學分析這一課程的難度較高，主要原因之一就是學生不能真正理解某些復雜定理的性質和規律，并且選擇了死記硬背的學習方法，在解題時常常將重要的性質或規律混淆，從而造成錯誤的解題思路。面對這一困境，教師可以根據教學內容，設置或者改變一些問題的前提條件，讓學生自主歸納性質或規律，從而引發其大膽的猜測與推理，解決其思維困惑。

比如，在積分中值定理中規定：若函數f（x）在閉區間[a， b]上連續，則在積分區間[a， b]上至少存在一個點ξ，使f（x）dx=f（ξ）（b-a）（a≤ξ≤b）成立。此定理存在多個限制條件，學生不易記憶，教師可以在講解時改變限制條件：若函數f（x）在開區間（a， b）上連續，定理是否仍成立？若函數f（x）在閉區間[a， b]上不連續，定理是否仍成立？通過條件與問題之間的類比，可以提高學生的創新能力與探究能力，從而真正理解并記憶定理，更好地用定理解決數學問題。這種方法也適用于微分中值定理、傅里葉級數等教學內容。

3.自主討論式教學方法

數學分析課程的重點是定理和性質的具體應用，因此學生的最終學習目標是使用數學工具解決數學問題。自主討論式教學方法要求教師在完成課程理論內容講解后，組織學生進行課堂討論和習題練習，調動學生的參與積極性，這樣不僅可以提高學生的自主學習意識，也可以使學生靈活運用所學知識，拓展思維，提高創新能力。

有些學生在學習數學分析課程時很難走出思維定式，因此教師要鼓勵學生積極參與課堂討論，踴躍發言，相互交流，從多個角度思考問題，用多種方法解決問題。例如，在學習三重積分的內容時，教師可以提出一個例題，要求學生獨立解答并進行討論，這樣就不難發現積分問題的解題思路有很多種，如“陰影法”、“截面法”、“高斯公式的應用”等；在學習極限的內容時，教師可以讓學生總結歸納函數求解極限所適用的方法，如“定義法”、“利用四則運算法則”、“約去零因式”、“通分法”“利用無窮小量與無窮大量的關系”等。總之，只有通過充分討論，學生才能了解到更為全面的解題方案，從而可以在解答不同題型的數學問題時從中選擇最優的一種。

4.活用數學建模思想

（1）運用前提

數學建模思想運用的前提是以課本基本結構和實際教學需求為基礎。一般而言，傳統數學分析教材注重知識內容的編排，而忽視了數學邏輯思維的展開過程，因此學生在學習這一課程時更多地接觸到數學分析的復雜結論，卻并不了解其中的深刻原理，從而覺得課程枯燥無味，產生了厭學情緒。作為教師，應根據社會的實際需求和學生的學習能力重新對課本進行編排，刪減不重要的章節，增加補充的知識內容，從而使課程安排更適合于學生學習，收到最高的學習效率。其中，數學建模思想的運用是極為重要的，教師通過增加實例練習，加深學生對模型結構和原理的理解，從而達到思想啟發的教學目的。

在具體的教學過程中，應當注意以下問題：第一，數學建模的應用在數學分析教學中起輔助作用，其最終目的是使學生更好地學習數學分析，因此建立的模型不應自成體系，而應作為學習工具滲入到數學分析課程中的概念、定理中，使學生通過簡單明了的模型更好地理解和運用所學知識。第二，數學建模不應成為學生學習的新難點，即所選擇的數學模型應符合學生的學習能力，內容不應過于冗長、繁瑣甚至超出了學生學習的知識范疇，盲目使用數學建模不僅不會降低學生的學習難度，反而還會使學生更加混亂，增加學生的學習負擔。

（2）運用時機

數學建模思想的運用時機十分關鍵。能將所學知識與實際經驗相結合的學習才是最有效果的，因此在合適的時機建立數學模型可以不打亂學生的學習思維，從淺入深，最大程度地調動學生的學習積極性。

在提出一系列概念、引入新的定理和方法時，插入數學模型的效果是最好的。以“無窮級數”這一知識點為例，教師借助數學家提出的“追龜悖論”而提出了無限項數求和的數學問題，學生可以利用已經學過的“極限”的概念，將有限項數求和轉化為無限項數求和，從而解決這一數學問題。此時可以建立新的數學模型來解釋：因為烏龜在無限次追趕中爬行距離為一個有限數，因此就反駁了數學家的悖論。

（3）運用方法

數學建模思想的運用方法有很多，可以在概念、定理證明和習題課等多個教學階段建立數學模型。

在概念教學中引入數學建模思想是一種很好的途徑，這是因為數學分析課程中的導數、微分、級數等眾多概念的本質都是由客觀事物的空間或者數量關系抽象得到的數學模型。在概念教學過程中，教師提出適當的數學問題，設置相關的條件和背景，引導學生積極參與討論與研究，數學模型就很自然地被建立起來。例如，在講解導數概念時，引入曲線某一點切線斜率模型和變速直線運動瞬間速度模型，理解其共同本質，歸為同一個數學模型，即得到導數的基本概念，即當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在定理證明教學中，學生可以將定理的條件視為模型建立所需的背景，通過已知的背景條件來探究而得到的模型即為定理的結論，在這個過程中，學生不僅掌握了定理證明的基本知識，也培養了自身的創新意識和探究能力，有很大的啟發價值。而在習題課教學中，數學建模思想的運用方法主要體現在教師將課本的客觀問題轉化為實際生活中可能面臨的問題，讓學生利用所學知識去解決并進行充分的討論。這樣的方法雖然比直接講解習題費時費力，但可以提高學生的實際操作能力，讓學生體會到學習數學分析課程的重要性和必要性。

四、結語

數學分析課程教學中，仍然存在學生基礎較差、課程銜接不科學、學生學習方法不合理等諸多問題，教師應根據學生差異進行因材施教，改善教學方法，強化數學分析與高中數學的銜接，引導學生適應和掌握有效的學習方式，與此同時，要根據學生不同的學習階段，靈活使用發現式、探討式和自主討論式的教學方法，活用數學建模思想，從而提高教學質量，讓更多的學生喜愛數學分析這門課程，并從學習中有所收獲，不斷提高學習能力。

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