由一次“誘導公式第二課時”同課異構引起的反思

☉浙江省杭州高級中學錢江校區 俞昕

由一次“誘導公式第二課時”同課異構引起的反思

☉浙江省杭州高級中學錢江校區 俞昕

一、緣起

筆者所在備課組年輕教師比較多，因此學校非常重視青年教師的培養與發展，每學期都開展青年教師匯報課，本學期開設的內容是《誘導公式第二課時》.確定本課題為開課內容的原因有二：其一，誘導公式是經典內容，能考查教師對經典教學內容的解讀與基本功；其二，以往比較多的關注點落于誘導公式的第一課時，因此第二課時的資料相對比較少，便于考查教師對內容的原創性與創新性.果然兩位年輕教師對此內容展現出不同的解讀與詮釋，下面筆者將他們的新課講授部分加以簡單展示，分別用教師Z與教師L來區分兩位年輕教師.

二、新課講授部分的同課異構

1.教師Z的新課展示簡介

師：初中時，我們就知道：sin30°=cos60°，cos25°= sin65°.請同學們解釋一下其中的原因！

學生們大都從直角三角形的角度進行解釋.

師：可否將上式一般化？

師：如何證明？

給予學生們一段思考與探究的時間后，教師給出圖1，角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y），則sinα=y，cosα=x.

圖1

根據圓的對稱性知，交點P與交點P′關于直線y=x對稱.所以可以得出：

教師繼續引導學生由公式五推導出公式六、七、八.（在此省略）

接下去通過例題熟悉公式的運用（.在此省略）

2.教師L的新課展示簡介

教師引導學生回顧誘導公式二、三、四的探究過程：角的關系?終邊對稱關系（找對稱軸）?坐標關系?三角函數值關系，然后引導學生繼續探究.

三、對兩節課的分析與反思

誘導公式是高中數學中一塊經典而且重要的內容，很多老師在講授完所有的誘導公式后（包括這兩位青年教師）都會花時間給學生總結“奇變偶不變，符號看象限”.但筆者思考的是：誘導公式教學的重點與難點是什么？通過它的學習帶給學生怎樣的數學核心思想與數學素養？誘導公式除了留給學生記憶的方式與套公式解題外還有什么是值得學生回味的？

1.對稱思想的把握是誘導公式推導的難點

在誘導公式第一課時中對于角α與π-α，-（2π-α），π+α終邊的對稱關系已經滲透過，但從學生在第二課時的反應中看出，學生對于這樣的對稱關系的認識并不是很深刻，以致在第二課時中，教師問道“與α有什么關系？”時，一度出現冷場.學生在理解與α終邊關于直線y=x對稱時確實出現了認知上的困難，特別是教師Z在授課過程中展示的圖1，雖然教師設計的初衷是體現角α的任意性，但學生對于這樣的非第一象限角的對稱性理解產生了一定的認知困難.我們該如何幫助學生突破這個難點呢？這是教師在備課時應該著重考慮的問題.

學生在學習函數時就已經接觸了對稱思想，比如x軸上的點（1，0）與（-1，0）關于原點對稱，同時也關于直線x=0對稱；平面直角坐標系中的點（2，1）與（-6，1）關于直線對稱.所以學生已經知曉：點與點的對稱就意味著兩個點的橫坐標的中點是對稱直線的橫坐標，即點（a+x，b）與（a-x，b）關于直線x=a對稱.基于學生這樣的認知起點，我們不妨可以進行這樣的教學設計.

思考1：平面直角坐標系中，點（a+x，b）與（a-x，b）的位置有什么關系？

這樣的問題串設計能夠幫助學生較好地搭建認知的腳手架，避免學生在誘導公式推導過程中可能出現的認知困難.在學生理解了“的終邊與α的終邊關于直線y=x對稱”之后，進而再推進到“的終邊與α的終邊關于直線y=-x對稱”.而對于“的終邊與α的終邊的關系”與“的終邊與α的終邊的關系”，我們不妨可以先探究“的終邊與-α的終邊的關系”與“的終邊與-α的終邊的關系”，然后再依據第一課時學習的誘導公式就可以推導出最后兩組誘導公式了.

2.誘導公式留給學生的數學核心素養是重點

文［1］中提到：素養是無法教的，它只能在一定的載體下通過潛移默化的熏陶才能逐步形成.在學校教育中，這個載體主要是學科知識的學習.掌握知識是形成素養的基礎.但如果在教學中過分地注重學科知識，就可能造成知識教學不到位.例如一些老師都是形式化地教數學概念而沒有講概念蘊含的數學思想和數學思考方法.這些教師在學科知識的教學中不能做到準、精、簡，有的甚至連最基本的知識教學任務都不能完成.

基于文［1］提出的觀點與現狀，我們不妨可以冷靜地來思考一下誘導公式的教學能給學生滲透怎樣的數學素養呢？數學發展的歷史告訴我們，數學理論的建立往往有兩條路徑：第一，源于解決實際問題的需要；第二，源于數學理論內部.而源于數學理論內部的數學理論在建立時人們并不知道其有何作用，有些甚至到目前為止還不知道它們有何作用，這一點正是數學理性精神的體現.我們可以思考從以上兩條路徑來進行誘導公式的教學.

首先，誘導公式不僅僅是一套公式，它蘊含著三角函數最根本的性質：周期性以及運用三角函數刻畫圓上點的對稱性.所以通過誘導公式的學習，首先要引導學生解決諸如“為什么要學習誘導公式”、“怎樣學習誘導公式”、“誘導公式的由來”等這些來自于數學概念內部的問題，讓學生感受到新的數學知識的學習是由數學內部提出問題而驅動的，以達到培養學生理性精神的教學目的.比如，教師L在授課伊始提出的一條線索“角的關系?終邊對稱關系（找對稱軸）?坐標關系?三角函數值關系”比較好地向學生揭示了對于誘導公式這一數學知識的研究思路與方法.只有讓學生知道了研究數學問題的方法，學生才有可能將這種方法加以運用、推廣、拓展，才能舉一反三，增強自己解決數學問題的能力.

其次，誘導公式具有一定的數學應用價值.比如我們需要知道一個很大的正角或一個很小的負角的某一個三角函數值，那么就可以運用誘導公式將其轉化為0與之間的角度的三角函數，通過查表可以得到它的近似值.這可以視為誘導公式最直接的實際應用，而在現實的教學中，教師往往忽略這一點，而將教學重點落在各種形式化的公式變形上.筆者覺得在推導誘導公式的第一、二課時兩節新授課教學中，最好還是圍繞誘導公式的來龍去脈以及實際應用價值比較好.這樣更有助于幫助學生厘清數學知識的本質，而不至于囫圇吞棗，只會盲目地硬套公式.至于公式的進一步運用筆者覺得可以放于后面的習題課繼續深入.

3.誘導公式值得學生回味之處是亮點

傳統的誘導公式教學都是在講授完全部公式之后，向學生總結“奇變偶不變，符號看象限”的記憶口訣.筆者考慮不妨可以引導學生探尋這些誘導公式之間的聯系.比如探究：化簡為偶數時，當n為奇數時進而再探究當n∈Z時的結果等等.

這樣的教學避免了學生盲目地記憶“奇變偶不變，符號看象限”，能夠從各組誘導公式之間的聯系來有意義的記憶誘導公式，提升學生對誘導公式的認識，讓學生對誘導公式的學習意猶未盡、回味無窮.

四、尾聲結語

把數學教好是落實核心素養的前提，關鍵是要“示以學生思維之道”，讓學生經歷完整的“獲得對象—研究性質—應用拓展”過程，使學生學會思考，能用數學的方式認識問題和解決問題，避免“幾個公式、幾個注意點、幾個例題、大量習題”的模式.誘導公式在常態教學中確實存在以上的一些弊端，導致學生認為誘導公式這塊內容似乎是三角里獨立的一套公式，沒有什么用處，僅僅用于解題中的三角化簡.通過這次同課異構活動激發了筆者思考如何改善此內容的教學，使之更契合落實數學核心素養的倡導.同時，筆者也覺得教研組、備課組應該多開展這樣的教研活動，這不僅是對青年教師的鞭策，更是對所有教師的專業素養的重新洗禮與考驗.

1.章建躍.樹立課程意識，落實核心素養［J］．數學通報，2016（5）.

2.石志群.數學教學價值的思考［J］.數學通報，2010（8）.

3.宋浩.高中三角函數誘導公式教學分析研究［J］.中學數學（上），2016（12）.

4.俞昕.基于數學核心素養摭談2016年高考試題［J］.中學數學，2016（10）.