生長教學從關注學生“相異構想”的轉變開始

葛敏輝+馬均豐+姜榮富

[摘 要]生長教學是突出學生主體意識和自我建構的課堂活動。要使學生在獨立思考和互動對話中完成所學知識與已有經驗的有效對接，需要從暴露已有經驗開始，尤其要關注學生的“相異構想”，讓學生在反思和重構中生長知識和智慧，從而形成自己的數學經驗。

[關鍵詞]生長教學；相異構想；面積

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）08-0005-03

杜威認為：“教育就是不斷生長。”教育要尊重兒童的自然天性，引導兒童獨立自主地實現自我。因此，在數學教學中，教師應充分暴露學生已有的知識經驗，尤其是“相異構想”——學生偏離概念本質的理解和想法，只有這樣才有可能使學生在反思中轉變自己的“相異構想”，有效完成所學知識與已有經驗的對接，從而實現知識和智慧的生長！

筆者在“千課萬人第二屆全國小學數學‘學本課堂研討會”上執教的“什么是面積”一課，就緊緊圍繞了學生“相異構想”的轉變來演繹生長教學，引導學生借助自身的經驗進行數學建構。

【片段一】自主嘗試，激活經驗——建立面積表象

師：今天我們一起來研究一個問題（板書：什么是面積），有沒有人能夠說一說？（部分學生舉手）

師：下面請已經知道的同學告訴不知道的同學“什么是面積”，可以通過舉例子來說明。

生1（邊說邊指桌面）：桌子的這塊面就是它的面積。

生2（邊說邊指封面）：數學書周長包圍著的里面的這個部分叫作面積。

師：你們說的意思差不多，都認為這些看得見、摸得著的桌面、封面，就叫面積。你們是怎么知道的？

生1：媽媽告訴我的。

生2：從大人那里聽來的。

師：這兩位同學說的到底對不對呢？到底什么是面積？我們先翻開書本自學。（學生自學課本相關內容）

生3（拿起一紙張，邊比劃邊說）：這張紙的面積就是這部分的大小。

師：生3有兩個字加了重音，誰聽出來了？

生4：她的意思是面積是指面的大小。

師：這個說法和我們剛開始表達的一樣嗎？

生5：不一樣。一開始我們以為桌面就是面積，封面也是面積，現在知道是桌面的大小才叫作它的面積。

師：你能再舉例子來介紹面積嗎？（學生舉例）

【思考】此環節中開門見山地請學生說一說什么是面積，意在快速激活學生的原有經驗，暴露學生頭腦中的相異構想。要讓學生經歷知識“生長”的過程，就要讓學生自己找到生長點，打破相異構想，建立起新的認識。教師不應該把學生當成一張白紙，有時學生產生“誤解”恰恰是深入理解的開始。在教學中不難發現，學生通過嘗試描述、自學課本、交流分享、對比反思等活動，經歷了由“線”到“面”的過渡，修正了“面即是面積”的錯誤認識，初步建立了面積的空間表象。

【片段二】觀察比較，感悟意義——理解面積本質

（1）體會面積與周長的區別。

師：請你帶著對面積的理解，比一比下面圖形的面積哪個大。

生1：①號圖形的面積大。

生2：②號圖形的面積大一點。

師：現在有兩種不同的意見，你認為誰的對？請說說你的理由。

生3：①號大，因為②號少了一塊。

師：為什么剛才有人說②號大呢？

生4：他們可能比的是周長。因為②號的周長長一點。

師：面積和周長一樣嗎？

生5：不一樣，周長是指一周的長度。

生6：我們以前學過周長，周長是指圖形四周邊線的長度。

師：說得真好。那周長是研究什么的？

生6：線的長短。

師：周長是研究線的長短，那面積呢？

生7：面積是研究面的大小。

師：通過剛才的活動，你有什么想說的？

生8：周長大的圖形，面積不一定大。

生9：面積是研究面的大小；周長是研究線的長短。

生10：面積不是周長。面積是看大小，周長是比長短。【思考】我們在前測中發現，約53.1%的學生會把面積當成周長。在一個平面圖形里，“邊”屬于強刺激源，“面”屬于弱刺激源，加上長度的學習在先，學生掌握的周長概念對認識面積具有較強的負遷移。本環節通過比較兩個圖形的面積，引導學生展開思考和辯論，意在幫助學生厘清周長和面積的本質區別，轉變把周長當作面積的錯誤觀念。

（2） 體會面積的度量屬性。

師（出示課件）：比較①和②的面積大小。

生1：①號圖形的面積大一些。

生2：一樣大。

師：誰能說清楚道理？

生3：用磚塊把它們鋪滿的話，都需要5塊小方磚。（課件演示）

師：你們聽懂他的意思了嗎？

生4：用小方塊來鋪一鋪這兩個圖形，鋪滿后數一數誰需要的塊數多誰的面積就大。因為它們需要的小方塊數量一樣多，所以它們的面積一樣大。

【思考】學生對面積的認識是一個漸進的過程，是一個不斷完善與豐富的過程。面積學習的重點不應在定義上，而應在比較大小中。因為通過比較大小才能更好地幫助學生準確理解面積的本質屬性——面積是有大小，可以進行度量的。在這個環節中，通過引導學生發現“可以通過用統一的磚塊鋪滿兩個形狀不同的圖形進行大小比較”，不僅轉變了學生的相異構想，讓學生明白形狀不同的圖形面積可以相等，學生在自我否定和自我創造中也體會到了比較面積大小的多種方法，積累了數學活動經驗，為后續的學習與創造奠定了基礎。

【片段三】應用提升，拓展理解——深化面積意義

師（出示課件）：你能比出這兩個圖形的面積大小嗎？

生1：兩個一樣大。

生2：②號圖形的面積大。

師：你同意誰的觀點？請說說你的理由。

生3：我認為②號圖形的面積大。（很多學生都點頭認可）

師：你們都是支持②號的親友團？請說出道理來，讓大家心服口服才行。

生4：因為這里每4個點可以組成一個方格，②號圖形有11個方格，①號圖形只有9個方格，所以②號圖形的面積大。

師：還有誰也是這樣想的？

生5：將每4個點想象成一個正方形，數出正方形的個數就行了。②號圖形面積有11個正方形那么大，①號圖形的面積有9個正方形那么大。11比9大。

師：大家都同意嗎？這個辦法好不好？好在哪？

生6：把面積大小的比較轉化為了數的大小的比較，我們比較容易理解。

師：通過剛才的活動，你對面積有了什么新的認識？

生7：我知道了什么是面積。面積就是表面的大小。

生8：面積可以用圖形鋪滿后再把它數出來。

生9：比較面積的大小可以通過鋪圖形轉化為比較數的大小。

【思考】學習面積的難點是理解定量刻畫“面的大小”，因為學生對面積概念的理解往往是物化的、表面的。基于此，教師呈現了點子圖，引導學生想到用四個點圍成的正方形來度量圖形的面積大小，培養了學生的抽象性思維。學生在這個活動中不僅深刻體會到“一塊區域的大小”就是它的面積，而且感悟到用統一標準的圖形可以度量和比較面積的大小，更重要的是還經歷了用“數”刻畫“形”的學習過程，體會了面積的本質意義。

根據過程與結果的關系論，讓學生經歷知識“生長”的過程，能很好地保證學生最終的學習質量：對數學知識、技能、思想方法的深刻理解。因此，教師只有真正關注學生相異構想的轉變，才能走進學生、讀懂學生，促進學生的自我生長！

【評析】

一、立足學生，緊扣本質

小學數學教材一般把面積定義為“物體表面或平面圖形的大小”。面積是平面圖形的度量屬性，由于物體表面可以抽象成幾何圖形，因此，數學其實更多的是研究平面圖形的大小，而求物體表面的大小，可以視作求平面圖形大小的具體應用。這樣，我們就可以把面積概念統一為“多邊形或平面封閉圖形所圍的平面部分的大小，叫作這個圖形的面積。”

學生對面積概念的初步認識可能更多的來自于物體表面。因此，在學習“什么是面積”這一課之前，大多數學生認為面積就是物體的表面。事實上，面積的概念蘊含了積分的思想，重點是“積”而不是“面”。學生原有的理解中，往往忽視了面積概念的本質屬性，即它的“大小”。葛老師的教學，以學生普遍存在的模糊認知作為教學起點，讓學生經歷了概念從模糊到清晰的學習過程。

從數學科學的角度來定義面積的概念是重要的，因為有了清晰的定義才能對它進行研究。但是從學生學習的角度，比定義概念更重要的是度量面積的方法。數學家設計了面積單位，并用這些面積單位把圖形的大小用數量來刻畫。葛老師通過引導學生用不同的方法比較圖形的面積，讓學生經歷從直覺判斷到數量刻畫的過程，從而積累比較圖形大小的基本活動經驗，掌握的比較方法也從粗漏逐步走向精致。

二、由淺入深，循序漸進

從模糊到清晰。在上課之前，有的學生知道了長方形面積的計算方法，有的學生說桌面是它的面積，但他們對面積的認識是模糊的，甚至可以說是錯誤的。大多數學生認為，物體的表面就是它的面積，這樣的認識忽視了面積的本質——它是有大小的。如果說學生的描述中還有其合理性的話，那么他們所說的其實是面積的物體屬性，而不是面積的數學屬性。葛老師的教學，充分尊重并暴露學生已有的認知，在學生解釋了自己對面積的理解之后，他并不是馬上否定或糾正，而是讓學生閱讀課本，并通過舉例，進一步幫助學生認識面積的本質是大小。

在教學中，葛老師通過比較一個長方形和一個“凹”字形的大小，引導學生區分圖形的周長與面積，并學習淺顯的比較方法——直覺判斷，又引導學生辨析并及時反思：“通過剛才的活動，你有什么想說的？”通過比較圖形的周長與面積，學生的認知由模糊轉為清晰，真正地建立起對面積概念的真實理解。其中，舉出具體的例子與周長的概念進行比較，是推動學生深入理解的有效手段。

三、巧設活動，自主建構

從粗漏到精致。為了進一步理解意義，葛老師巧設了幾個活動。先是讓學生比較兩塊墻洞的大小，它們的形狀完全不相同，但大小卻是一樣的，都是5塊磚的大小。這時，磚塊成了臨時的度量單位，比較面積大小的方法庫又得到了擴充——用相同形狀與大小的實物（圖形）來計數（度量）。

真正體現精致的是葛老師設計的第三個圖—— 一個長方形，從相對的兩個頂點以折線分成兩部分，讓學生比較這兩部分面積的大小。學生很自覺地引用了圖形中隱含的正方形（其實是格點圖），借用這個度量單位，把圖形面積的大小比較轉化為數量的大小比較，再次“感受面積是可以通過標準圖形來進行測量的”。這時，學生對面積的度量意義已經邁向了精致，與進一步學習面積單位只有一步之遙了。

為了度量一個圖形的面積，首先要選定一個面積單位，通常選取邊長為一個長度單位（如1厘米）的正方形作為面積的度量單位，這個正方形叫作單位正方形，它的面積叫作面積單位。但是，人們往往并不直接用單位正方形去度量圖形含有多少個面積單位，而是采用間接的方法，先量出圖形中某些線段的長度，再由這些線段的長度計算出圖形的面積，這其實就是一種間接測量的方法。

最后，筆者認為，相對于面積的定義來說，教師更應當關注比較面積大小的方法。數學概念的定義是人為的，一個數學概念的定義要符合數學內部的邏輯，而這種邏輯往往十分隱秘，難以被小學生所理解。筆者建議，像面積這樣的概念教學可以淡化一些，或許學習了長方形等其他平面幾何圖形的面積計算之后，學生對面積的認識可能會慢慢地清晰起來。換句話說，對于面積的教學來說，重要的是度量而不是定義。進一步的教學，建議要重視讓學生經歷面積單位再創造的思考過程，其中對兩個問題的思考十分關鍵：一是為什么選擇正方形，二是為什么所選的正方形邊長是1。要讓學生體會到“以邊長為1的正方形作為面積單位”是人類長期探索的結果，是數學家智慧的結晶。

（責編 童 夏）