重新審視除法教學的起始課“平均分”

陸艷霞

[摘 要]平均分是在學生已經理解并掌握乘法的意義以及表內乘法口訣的基礎上，進一步學習的內容，是建構除法意義的主要基石。從教學實際出發，教師應把握好除法的起始教學課程，讓學生充分參與平均分的活動，并適時建構數學模型，以組建和完善學生的知識結構，使學生能輕松找到解決問題的策略，使學生具備發展性學習的能力。

[關鍵詞]平均分；數學模型；概括化認識；符號表征

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）08-0028-03

一、緣起

人教版二年級下冊第二單元的內容是“表內除法”，在帶領學生初步認識除法后，我在任教的兩個班級中布置了一道作業題（如下圖）。

結果發現，兩題全部做對的學生不到50%，讓我感到非常意外。原本以為再簡單不過的平均分問題，卻成了學生學習的難點，于是我對兩個班的答題情況進行了統計：

翻看學生之前的作業，我驚奇地發現他們解答這類問題的錯誤率一直以來都居高不下，沒有幾個學生能清楚地表述除法算式所表示的意思，圖與文往往不能匹配。如：

在后續教學中，我發現，學生遇到諸如此類的平均分問題時經常會犯錯（如下圖），更多的學生是束手無策，很多時候解題只能靠蒙和猜。

二、思考

“除法的初步認識”是學習除法的起始課，是學生學習表內除法的基礎，也是學生運用除法知識解決問題的關鍵知識點。對于學生解題出現的錯誤，經過分析，我認為有兩方面原因。

1.對平均分的概念理不清

二年級的學生對“平均分”的認識是感性的，他們知道什么是公平，教師要做的是使學生的感性認識上升到理性認識。

平均分是在學生已經理解并掌握乘法的意義以及表內乘法口訣的基礎上進一步學習的內容，是建構除法認知體系的主要基石。教材對平均分的定義是：每份分得同樣多，叫作平均分。所有的教學活動都應該圍繞“如何有效幫助學生建立起對平均分本質意義的理解與認識”而展開，后面的除法算式也是對平均分的形式化表達，每個數的含義都對應于操作活動中的一部分。教學后，我沒有及時對平均分的兩種情況進行歸納和總結，沒有把“不管哪一種，其本質都是平均分”講透、講實，沒有幫助學生深刻理解“每份”“幾份”等概念，沒有梳理總數、每份數、份數之間的數量關系，導致學生在解答時思維結構松散，部分學生只能亂寫一通。

2.對平均分的過程理解不深刻

教材中的例2呈現的情境比較簡單，直接提出了“把18個橘子平均分成6份”的操作要求。教材中的例3通過呈現有聯系的兩幅情境圖，直觀地展示了分的過程和分的方法，并配備了文字說明，通過圖、文兩方面的表征，強調操作與語言表達的統一。由于有乘法口訣的基礎，學生在分時更關注分的結果，他們覺得很簡單，因此對平均分的方法不感興趣。在操作過程中，我也未能組織學生進行交流反饋，帶領學生體會平均分方法的多樣性。

每個活動都是孤立的，教師沒有及時交流和比較平均分的不同方法，總結平均分的共同特征，以致學生對平均分的認識沒有形成框架或體系，不能獨立解決作業中的題目，學習效果大打折扣。學生的操作流于形式，語言描述不到位，加之沒有比較兩種不同情況的平均分，因此學生體會不到“平均分的方法雖然不同，用圖表示的過程也不同，但其本質都是平均分”這一深刻內涵。

三、踐行

對于如何完善平均分的教學，使學生能有效理解平均分，理解除法的意義，我認為可從以下三個方面進行嘗試。

1.理清平均分的要領，明晰除法的含義

除法的含義建立在平均分的基礎上，但在教學平均分時，教師往往只把目光停留在“什么叫平均分？”“怎樣平均分？”上，忽略了對學生理清平均分要領的引導：一是確定平均分成多少份，然后再分（等分）；二是確定每份應分得多少再分（包含）。由于平均分的方法不同，除法算式所表示的含義也就不同。因此讓學生掌握平均分的兩種方法，是學生理解除法必備的拐杖。

2.重視平均分的過程，滲透模型思想

教師應及時進行必要的梳理和整合，引導學生建立數學模型，使學生能充分理解和掌握知識間的內在聯系，幫助學生溝通知識點之間的聯系，以達到舉一反三、一通百通的效果，提高學生解決問題的能力。

（1）充分操作，幫助理解平均分

二年級學生喜歡動手，這是他們的天性，具體形象思維是他們認知的特點。學生對于平均分的公平性早已明確，卻不會有序地“分”，因此教師組織學生開展動手操作活動顯得尤為重要，這對幫助學生體驗、理解平均分的意義效果明顯。

操作A：探究平均分的方法

師：我想請小朋友做老師的小助手，將18個橘子平均分成6份，可以怎么分？

① 學生動手分（用“○”代替橘子）。

② 交流成果（生上臺演示）。

生1：1個1個地分。

生2：先2個2個地分，有剩余的話再各放1個。

生3：3個3個地分。

生4：任意拿幾個來分，再把多的拿到少的盤里進行調整。

師：這幾種分法有什么共同點？

生：每份分得同樣多，是平均分。

（教師板書：把18個橘子平均分成6份，每份是3個）

師：你更喜歡哪種分法？為什么？

操作B：感受平均分的另一種方法

師：10個果凍，每2個一份，可以分成幾份？請同學們借助小棒分一分。

（交流、展示、評價）

（板書：每2根一份，10根小棒可以分成5份）

操作C：深化對平均分的認知

師：剛才我們分了橘子，分了果凍，接下來請同學們將12根小棒分一分。

①自由分一分。

②在組內交流你的分法。

③派代表展示。

教師根據學生的交流成果進行分類。

充分的動手操作，讓學生體會到平均分可以有不同的分法，并在“不同”中體會“相同”之處，對平均分的兩種情況形成全面認識，同時使學生感受解決問題策略的多樣性。

（2）語言描述，幫助深化平均分

語言是思維的外殼，語言的發展和思維的發展密切相關。有的學生能夠想到、做到，但不能用語言表達出來，語言表達滯后于思維，特別是用數學語言表達時更顯得吃力，學生不想說，也不喜歡說。

在教學平均分時，教師要讓學生充分操作，使學生敢說、愛說、能說。如學生對平均分的第二種情況掌握不好，教師應為學生多設置圈一圈、說一說、填一填的習題，可以讓學生先數一數總數，弄清幾個為一份，然后以這個數量為一份，邊圈邊數，按照1個幾，2個幾……數下去，最后再說一說每幾個一份，可以分成多少份。在練習的過程中不要過分強調平均分的結果而弱化了說清平均分的過程。

學生是不同的個體，由于生活背景不同，他們對同樣的事物有著不同的經驗與體會，思考一個問題也會有不同的思維習慣及見解，教師要為他們提供充分的表達機會，尊重學生之間的差異。對于描述有困難的學生，教師不必要求他們的語言規范，只要讓他們將平均分的兩種情況用直觀圖的方式呈現出來，幫助分析數量關系，同時為今后運用畫圖策略來解決問題做準備。

例如，我讓學生說一說下面兩幅圖還能表示什么，學生，各抒己見。

學生的“說”貫穿教學始終，他們對平均分自然印象深刻，在充分發揮主動性和創造性的同時真正成為學習的主人。

（3）建立模型，幫助提煉平均分

“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與運用，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”

如學習“平均分”后，學生已經對平均分的兩種分法有了初步的認識，在教學除法時，對于練習題“10÷2=5”，讓學生先用小棒擺一擺，表示這個除法算式，再根據擺出的結果說一說這個除法算式所表示的含義（兩種情況都用10÷2=5表示，它們的意義一樣嗎？算式中的10、2、5分別表示什么？）。很多教師到這里就會結束教學，此時若能追問“還有什么事情也能用‘10÷2=5表示呢？”，學生的思維火花就會被點燃。讓學生在生活中找一些有關“平均分”的事例，學生都能完成得很好，在學生找的過程中，教師應有效抓住課堂上課堂上的動態生成。

從學生熟悉的操作入手，讓學生通過分一分、圈一圈，獲得平均分的直觀經驗；通過說一說、填一填，讓學生嘗試用數學語言描述平均分的過程；最后用除法算式表示，讓學生經歷抽象的建模過程。這樣，學生經歷了從動作表征到語言表征，再到符號表征的完整探究過程，就能對平均分有更充分的認識，從而真正理解除法的意義。

3.關注平均分的結果，形成反思對比意識

教師在教學中時常強調檢查，卻冷落解題完結后的“回味”“反思”，這對學生掌握數學知識、能力培養、智力發展和完善個性都極為不利。當問題解決或解決失敗后，反思才是學生深入認知的開始。

如果學生有反思意識，懂得對比同一道算式下的左右兩邊，對比每一邊的文字和圈圖，就能發現解答中存在的問題，及時調整方法。大部分學生滿足于聽懂了、題目會做了的現狀，很少對自己的學習過程進行回顧和總結，這樣日復一日，年復一年，只會依葫蘆畫瓢，稍有變化就無從著手。教師要提倡學生對每一次學習進行反思：一道題目做完后要想一想“這樣對嗎？”；一節課結束后靜心沉思“我學到了什么？”“老師這樣講對嗎？”“我有沒有別的方法？”“我還有哪里不會的？”；拿到作業本后想一想“我為什么錯？”“我錯在哪兒？”“我現在會了嗎？”“以后碰到這樣的問題還會不會錯？”當然，最好準備一本易錯題集，方便隨時翻看。

總之，教學“平均分”時，教師要全面把握教材的體系，準確把握教材編寫的意圖，把握好除法的起始教學，讓學生充分參與平均分的活動，既要為學生認識除法積累豐富的感性知識，又要促使學生對除法產生親切感，使學生能輕松找到解決問題的策略，為后繼除法的學習打下堅實的基礎。

（責編 吳美玲）