從核心素養出發，落實推理能力的培養

方建新

作為數學核心素養之一的推理能力該如何培養，是廣大教師關注的熱點問題之一。筆者認為，在數學學習過程中，應以具體學習內容為載體，以問題解決為主線，通過創設探索情境，引導學生充分思考、動手實踐，充分經歷畫圖、列表、假設、猜想、驗證等過程，把培養學生的推理能力落到實處。本文就人教版四下第九單元“雞兔同籠”一課，談談筆者的思考和體會。

一、學情分析

在學習“雞兔同籠”問題之前，學生已經有過用假設法解決問題的經驗，但因為雞兔同籠問題的數量關系比較隱蔽且抽象，中年級學生思維以具體形象思維為主，他們理解起來有困難。如果沒有有效的啟發和引導，一部分學生可能不知道怎樣根據假設產生的“矛盾”進行推理。在應用過程中，有的學生可能會停留在表面素材的認識，不能根據內在數量關系的特征來理解和應用，造成“只知雞兔，不知其他”，碰到類似的問題無從下手，也就是不會類比聯想，不能學以致用。

二、教學策略建議

本節課應讓學生親身經歷雞兔同籠問題解決的過程，通過猜想驗證、討論交流等方式，讓學生在推理思考的過程中了解和感悟數學思想，掌握不同的解題策略和方法。就具體方法而言，主要有畫圖法、列表法、假設法等。

1. 畫圖嘗試，直觀推理。

用畫圖法解決雞兔同籠問題，部分教師覺得既費時又麻煩，在教學過程中不重視給予呈現和引導。但筆者認為，畫圖法至少有三個好處：其一，內隱的數量關系以直觀的手段呈現，體現了幾何直觀的高級思維方式，有利于發展學生解決問題的策略。其二，適應中年級學生以具體形象為主的思維特點，學生借助直觀的手段進行推理，讓數學內容變得容易理解。其三，數與形之間的變化，讓數學學習過程變得新奇有趣，有利于激發學生學習數學的積極情感。

在例1教學中，雞兔數量總和比較少（8只），可以先嘗試用畫圖法進行直觀推理。教師可以先教學生用簡圖表示雞和兔，本題講的是頭和腿的問題，所以可以用“○”表示頭，用“|”表示腿。然后，可以讓學生自己嘗試用畫圖法解決問題。學生呈現的思路可能有以下兩種：其一，先1只雞對應1只兔畫，畫完3只雞和兔時，還剩下2個頭，8條腿，即剩下2只兔，總共是3只雞和5只兔。其二，分別畫4只雞和4只兔，發現腿的總條數少了2只腿，把一只雞換成一只兔，變成3只雞和5只兔。在第一種思路中，在學生分別畫了3只雞和3只兔時，教師可以依次提問如下：“還剩下幾個頭幾只腿沒有畫？”“剩下2個頭8條腿，說明剩下的動物可能是2只雞嗎？”“可能是1只雞1只兔嗎？”“為什么是剩下2只兔？”通過上述提問啟發學生完成思維推理過程。在第二種思路中，應先引導學生發現推理中的矛盾：雞兔總數滿8只，腿還差2條。然后讓學生圍繞以下問題進行討論：“腿差2條，可以再畫1只雞嗎？”“如何在不改變雞兔總數的前提下解決少2條腿的問題？”“這時候雞有幾只？兔有幾只？”推理的特征在于嚴密性和邏輯性，上述這些問題的設計，既可以幫助學生自主完成思維推理的過程，還可以啟發學生在思考討論的過程中感受推理的特征。

2. 表格調整，比較推理。

畫圖法雖然直觀，但如果雞兔總數比較多，又需要逐一枚舉各種情況的時候，可以用表格法解決問題。這也是初中數學常用的解題方法。很多學生不愿意使用逐一枚舉的方法，認為太煩瑣，有些教師也不夠重視。其實，表格法看上去煩瑣，但是對于培養推理能力而言卻又獨具價值。借助列表，學生可以把所有的情況逐一展現，能做到既不重復也不遺漏，培養學生有序思考的習慣。也可以讓學生觀察表格中數字的變化特征，發現隱藏的數量關系和規律。在借助表格法解決雞兔同籠問題時，學生呈現的策略一般有三種：逐一枚舉、取中枚舉或極值列表。

在用逐一枚舉法列表時，教師可以先呈現“雞兔一共有8只”這個條件幫助學生做一些必要的梳理，如“雞兔分別有幾只，一共有幾種可能？”逐一枚舉的過程其實就是一個推理的過程，教師要注意訓練學生做到不重復不遺漏，當然，也可以觀察算式對稱性特點（如0+8，1+7，2+6，3+5，4+4，5+3等），得到一共有9種可能，這就提升了推理的思維活動經驗。

值得一提的是，學生嘗試用枚舉驗證的方法時，如果按順序依次枚舉，最少嘗試4次就可以找到答案，反之，如果是雜亂的枚舉，最多需要9次才能找到正確結果。當然，教師不應滿足于解決雞兔只數的問題，可以呈現所有的情況，讓學生觀察其中的規律，如表1。

讓學生明白，“在雞兔總數不變的情況下，雞每增加一只，總腿數就減少2條”，反之，“在雞兔總數不變的情況下，兔每增加一只，總腿數就增加2條”。明白了這個道理，教師可以從優化推理的角度引導學生不斷優化枚舉的過程。如，當枚舉出現“5只雞3只兔”的時候，總腿數需要增加4條，只要把其中的2只雞換成2只兔即可。教師還可以借助表格讓學生充分舉例進行推理調整，比如出現“7只雞1只兔、2只雞6只兔時……”讓學生充分說理，多次經歷推理思考過程。

有的學生可能會根據總數為8這個偶數特征，提出取中枚舉的思路，即從“4只雞，4只兔”出發，進行推理。教師可以抓住推理過程中的矛盾，啟發學生思考并表達自己的看法：“當雞兔只數都為4只時，比總腿數少了2條，該怎么辦？”“把兔換成雞還是把雞換成兔？為什么？”“需要把幾只雞換成兔？為什么？”

3. 假設推理，優化推理。

前面已經提到，如果僅從“雞兔總數共8只”這個條件出發進行假設，一共可以呈現9種不同的情況，但有些極端的假設可以用推理的方式排除，比如問學生“這8只有可能都是雞嗎？有可能都是兔嗎？為什么？”學生很容易排除這兩種假設。但這種假設是不是都沒有意義呢？筆者認為，假設是推理的前提，教材中呈現的假設法其實就是利用這種極端的情況——“假設全部是雞或全部是兔”來思考推理。從這個思維層面上講，列表其實也是假設法的一種表現形式，假設法可以看成是對列表法的進一步抽象和提升。因此，教學“雞兔同籠”問題，要把假設的思想方法作為解決“雞兔同籠”問題所有方法中最基本的解題方法，在教學中應該將直觀的列表法與抽象的假設法進行溝通與聯系，借助列表讓學生真正理解假設法，以發展學生的思維能力。

值得一提的是，學生在用假設法進行解題時，經常會遇到張冠李戴的尷尬：只知機械套用假設法思路列式計算，卻不知道算出來的結果是雞的只數還是兔的只數，或者誤認為假設是兔（雞），求出來的也是兔（雞）。這都說明學生并沒有真正理解假設法。因此，在教學過程中更有必要讓學生經歷清晰的推理過程，這個推理過程的核心其實是替換的思路，教師可設計一些環環相扣的問題讓學生充分經歷邏輯推理的過程。例如，“假設全是雞，會遇到什么問題？”“如果是總腿數多了要怎么辦？總腿數少了又要怎么辦？”“如果是把雞（兔）換成兔（雞），求出來的結果是誰的只數？為什么？”

當然，在掌握雞兔同籠的結構特征和解題方法之后，教師還可以再通過變式練習進行拓展，比如用雞兔同籠問題的思維方式解答“龜鶴問題”，或者“自行車三輪車”等問題。在變式練習的過程中應注意引導學生從結構特征和數量關系方面來實現推理思考，經歷問題解決的過程。

三、教學片段例舉

【教學片段1】

師：如果不列表，你能計算出雞和兔的只數嗎？

師：除了用列表法，我們還可以用假設法來解答。

（1）假設全是雞。

師：假設全是雞，會遇到什么問題？

生：8只雞就有16條腿，就比總腿數少了10條腿。

師：為什么？

生：8只中有一些是兔，把它們算作是雞了。

生：1只兔看作是1只雞，就少算了2條腿。

師：那我們要怎么辦？

生：要把雞換成兔，因為這樣腿數才能增加。

師：替換之后，雞兔總數會變化嗎？

生：不會。

師：如果把雞換成兔，求出來的結果是誰的只數？

生：因為1只雞換成1只兔，就會多2條腿，10除以2等于5，所以要5只兔去換雞，求出來就是兔的只數。

師：那雞的只數你會求嗎？

生：8-5=3。

讓學生列式解答，并說出每道算式的意義。

假設全是兔（方法同上）

總結：在假設法解題時，如果假設全部都是雞，先求出來的是誰的只數？如果假設全部都是兔，先求出來的是誰的只數？

【教學片段2】

習題1：有龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？

師：上面這個問題和“雞兔同籠”問題有什么相似之處？

生：鶴是2條腿，龜是4條腿。

生：我們可以把鶴看作是2條腿的雞，把龜看作是4條腿的兔。

師：你會用雞兔同籠問題的方法解答這道題嗎？

學生獨立解答，集體評議。

習題2：自行車和三輪車共10輛，總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛？

師：這道題和雞兔同籠問題有什么不同？

生：這次變成了2條“腿”的自行車和3條“腿”的三輪車了，腿的條數變了。

師：還可以用雞兔同籠的方法來解答這道題嗎？

生：還可以用假設法解答。

讓學生獨立解答，有困難時教師予以引導。

（作者單位：湖北省紅安縣實驗小學）