數學任務框架案例分析與教學啟示—以一堂“‘邊邊角’能否判定三角形全等”公開課為例

四川師范大學數學與軟件科學學院(610068) 李瑤 張紅

數學任務框架案例分析與教學啟示—以一堂“‘邊邊角’能否判定三角形全等”公開課為例

四川師范大學數學與軟件科學學院(610068) 李瑤 張紅

1.問題提出

美國匹茲堡大學QUASAR(Quantitative Understanding: Amplifying Student Achivement)計劃的研究者將數學任務分為了高認知水平的任務和低認知水平的任務,其中高認知水平任務包括有聯系的程序型和做數學;低認知水平任務包括記憶型和無程序化,并建構了數學任務框架(圖1),認為在該框架的第三個階段(即任務實施階段)是對學生實際學到了什么有重要影響.[1]因此本文將結合具體的一堂課,利用數學任務框架,重點分析在任務實施階段教師如何引導學生完成教師組織的任務.

圖1 數學任務框架

2.案例描述

“‘邊邊角’能否判斷三角形全等”是滬教版七年級下冊第十四章章末小結的一段閱讀材料,本堂課執教的C老師工作已有10余年,對課堂有較好的把控能力,C教師主要采用了探究式教學展開本節課,通過布置一系列教學任務推進整個課堂,從而讓學生在完成任務的過程中理解三角形全等判定的實質,了解作圖的重要性,并在此過程中滲透有序分類、交軌法求動點的重要思想方法.

本節課,教師先從一道習題復習引入,幫助學生回顧了三角形全等的判定條件,并在這個過程中滲透分類討論要有序的思想,進而自然引出今天的課題“‘邊邊角’能否判定三角形全等”;接著讓學生說明看了教材中的閱讀材料的收獲,并從師生之間的對話中,將判定三角形是否全等轉化為作圖是否只有一個三角形這樣一個問題;之后讓同學參與到作圖的過程中,并討論出在哪些情況“邊邊角”是可以判定三角形全等以及哪些情況不能判定.接下來,筆者將用“選擇性課堂實錄”[2]這種方法對課堂上老師教學的精彩片段進行描述.

片段一:此片段是教師復習引入的階段,教師先在電子白板上展示出了一道習題(見圖2),以下記錄的是師生間的對話.

復習引入

如圖,如已知∠1=∠2,請添加一個條件,使△ABC～=△ABD

圖2

老師:我們已經學習了全等三角形的判定,那么接下來我們通過一道題來進行一下復習,首先來看這樣一道題目(教師將展示出的題目復述了一遍).同學們思考一下,待會請一些同學來回答.

(同學們思考2分鐘左右)

老師:來,A同學你來說說你是怎么做的.

生A:嗯,可以添加∠3= ∠4,這樣的話就可以用ASA(角邊角).

老師:好,用ASA這樣的方式來判定.(教師在黑板上寫下學生的做法),還有其他的方法嗎?

生A:還有的話∠C=∠D也可以,那樣就是AAS(角角邊).

老師:哦,∠C=∠D,用的AAS(教師在黑板上寫下生A所說的).

生A:還有BC=BD也行,這個時候用的是SAS(邊角邊).

老師:哦,BC=CD也可以,用的是SAS.好,你請坐,那么應該在這里呢,首先表揚一下A同學,為什么?他在這里回答非常有序.我們可以看到,在這道題目已知的題目是哪幾個呢?

大部分同學:∠1=∠2,AB=AB.

老師:對,∠1=∠2,AB=AB,也就是說知道一邊一角的情況下,可以添加什么條件來判定三角形全等呢?

少部分同學:可以添加一角或一邊

老師:可以添加一邊或者一角,添加角的時候,因為已經知道了∠1=∠2,那么可以再添加∠3=∠4或者∠C=∠D,所以我們可以發現剛剛C同學在討論的時候很有序,因此我們在討論一些問題的時候要注意有序分類,做得非常好.好,然后第三種想到了可以填一個邊,那么可以怎么添加呢?

大部分學生:可以填BC=CD

老師:對,添加BC=CD,用的是SAS.那么老師有個疑問了,若添加AC=CD可以嗎?

生B:(小聲的嘟囔著)AC=AD不可以

老師:B同學你是怎么想的呢?來說說你的想法.

生B:因為如果可以的話,就是用的SSA(邊邊角)的方法,SSA不可以判定

老師:好,我們學習的判定方法只有四種,特意強調了沒有SSA,那么老師有一個問題了,SSA在任意條件下總是不成立嗎?帶著這個問題開始我們今天的學習,題目就是《“邊邊角”能否判定三角形全等》.

片段二:此片段是教師讓學生閱讀課教材上的閱讀材料之后展開的一系列對話,目的在于提出用作圖的方法解決三角形全等的判定問題.

老師:在課前老師已經讓同學們預習了閱讀材料,那么接下來請同學們來談談你閱讀完了之后的體會是什么?或者說你發現其中的主要內容是什么?能不能用簡要的語言來概括一下.誰來說說看?好,C同學,你來說一說

生C:我讀完材料之后發現,SSA一般來說是不能判定三角形全等的但是在一些特殊的情況下是可以的.

老師:你給我們具體說說呢?

生C:取決于頂點的個數,如果只能畫一個頂點就可以,否則就不可以.

老師:你是通過畫圖來做的.

生C:嗯,是的.

老師:具體怎么畫的,你說說,

生C:就是先固定三角形的兩個定點,只要在通過條件畫第三個頂點就可以了.

老師:好的,那么剛剛C同學講到了他從閱讀材料中知道了通過固定兩點在畫第三個頂點,根據畫的頂點的個數來判定是否全等的.也就是說我們現在把判定三角形是否全等轉化為作圖判斷頂點個數的問題了.

片段三此片段是為了加深學生們對閱讀材料的理解而掌握具體作圖方法

圖3

圖4

課前作業:閱讀材料P116-117內容,畫圖并思考:已知線段c,及角α(0°≤α≤90°),畫出△ABC使AB=c,∠A=α,BC=a線段a的長度取何值時時,能且只能畫出一個△ABC?

老師:課前老師布置的習題同學們也都做了,老師收上來看了之后發現大部分同學對閱讀材料介紹的作圖方法理解還是不夠,這堂課咱們就將作圖進行到底.先重新審一下題,首先第一個問題,老師想要問大家的是,AB=c,∠A=α,BC=a,也就是這個問題中出現的三個元素邊c,角α,邊a,用這三個量畫出的三角形中邊c和邊a以及角α之間有什么位置關系呢?好,D同學你來說說看.

生D:我發現了a和c相鄰的邊,α是邊a的對角

老師:好,也就是你發現給出的三個元素之間是SSA的關系.那么在圖中(見圖4)如果我要畫出邊AB應該怎么做呢?

生D:邊c就是邊AB,c的長度知道,A又是固定的,B點可以確定.

老師:那么如何確定△ABC呢?

生D:只需要再確定C點就可以了.

老師:好,請坐.那么問題又來了,C點具有怎樣的特征.(讓學生思考一會)好,E同學你來說一下.

生E:我覺得C點一定會在射線AF上

老師:嗯,對,還有嗎?

生E:…….

老師:仔細觀察,已知條件還有什么沒用到.

生E:BC=a,哦,我知道了,C點在一個圓上.

老師:在什么圓上?圓心和半徑是什么?

生E:在以B為心,a為半徑的圓上.

老師:也就是C點應該滿足兩個條件,在以B為心,a為半徑的圓上,還要在射線AF上,那么特征找到了,我們怎么來畫圖呢?

生E:就應該在以B為心,a為半徑的圓與射線AF的交點上.

老師:對了,就是在以B為心,a為半徑的圓與射線AF的交點上.

3.案例分析

本節課的課題是在教材的閱讀材料中給出的,在閱讀材料中通過一個利用“邊邊角”條件但可以做出兩個不全等三角形的例子說明“邊邊角”不能作為判定三角形全等的條件,接著,再給出三角形兩邊以及一邊的對角的條件下來討論如何畫出符合條件的三角形,最后,總結出利用“邊邊角”畫圖的關鍵;C老師對本節課內容的處理和教材的處理方式大同小異,是對教材內容的一種推進,教學過程中,重點在于引導學生將三角形全等的判定轉化為作圖問題,并讓參與到具體畫圖的過程中,通過師生對話以及學生間相互補充從而讓學生更加明確判定三角形全等的作圖方法.

“QUASAR計劃”研究者認為在任務實施階段,學生和教師都被認為是任務實施的重要貢獻者,盡管學生的認知參與程度最終決定他學了什么,但教師對學生思維和推理的支持方式和程度是決定高水平任務的重要因素.[1]可見教師在課堂的引導是多么的重要.而在本堂課中,整個課堂是以教師布置教學任務,學生完成任務的方式進行的,教學中,當學生回答正確時教師也要求學生闡明理由并給予肯定;在學生沒有回答出正確答案的時候,老師給予引導時所給出的提示并沒有降低任務的認知水平,更沒有馬上就直接告知正確答案,整個課堂做到了邏輯清晰、有條不紊,都體現除了老師對課堂的良好的把控能力.總體上看,筆者認為教師確實起到了引導學生學習的重要作用,而學生真正成了學習的主體.接下來,筆者將具體從以下幾個方面分析本堂課的出色之處:

(1)選擇高認知水平有聯系程序型任務而非低認知水平簡單記憶型任務.在片段一中,復習引入時,C教師并不是機械的讓學生回憶三角形全等的判定條件,而是利用一道半開放的習題來讓學生復習前兩節課所學的三角形判定條件,這個任務是屬于高認知水平任務中的有聯系程序型,它需要學生具有較高的認知要求,對學生來說也是具有一定挑戰性的,并且可以幫助教師檢驗和學生自己鞏固所學的知識.

(2)留給學生適當的思考的時間,給予學生思維發展的機會.在片段二中,由于閱讀材料中的內容學生掌握起來有難度,所以教師提前讓學生閱讀了教材中的材料,讓學生有適當的時間去思考和理解閱讀材料中的作圖方法.同時讓學生通過完成課前作業來實際運用材料中的作圖方法,因為作圖對于初一學生來說是有難度的、富有挑戰的,如果直接讓學生在課堂上進行畫圖,可能會因為時間的限制而阻礙學生思維的發展.

(3)引導過程給學生搭建思維的“腳手架”.教師通過不斷追問的方式為學生搭建思維的“腳手架”從而來引導學生完成設置的數學任務,加強對知識本質的理解.比如在片段三中,開始學生D是沒有想到確定△ABC其實只需要確定A、B、C三個點即可,可是在老師的不斷追問下明確了確定△ABC的本質.另外生E也在老師的一步步引導下知道了確定點C的方法.并且我們可以看到,教師在引導學生的過程中,并沒有直接告訴學生結果,因此,并沒有降低原本設置的任務的認知水平.在遇到學生難以完成的教學任務時,教師給學生搭建思維的“腳手架”也是幫助他們完成數學任務十分重要的一種方法.

(4)在教學過程中有意識的給學生滲透重要的數學思想和方法.在片段一中,學生在解決添加什么條件能夠判定三角形全等的教學任務中,給學生滲透分類討論要有序的思想.在片段三中,引導生E確定點C位置的過程中也有意識的向學生滲透交軌法的思想.而這些思想方法為學生今后的學習也是十分重要的.

4.小結

本堂課C教師以教學任務為核心展開教學,在學生完成教學任務的過程中,老師扮演了一個組織者和引導者的角色,真正體現了教師是教學的主導,學生是學習的主體.可是,“QUASAR計劃”的研究者發現,一旦教師組織的任務進入課堂,就會有許多的因素導致任務的認知水平降低,所以,教師在這個過程的正確引導就十分重要,這也是我們每個教育研究者需要學習和研究的問題.

[1][美]Stein M.k.等,李忠如譯.實施初中課程標準的教學案例[M].上海:上海教育出版社,2001.

[2]鮑建生.學會觀察學會教學[J].中學數學月刊,2003.6

[3]楊文萍,陳鏗.一堂優秀“平面”課的實錄分析[J].中學數學月刊,2013.3.