數學概念學習的疑難問題與策略分析

張鋒

[摘 要] 正確理解數學概念是學生掌握數學基礎知識的前提，是學好定理、公式、法則的基礎，也是學生提高解題能力的關鍵. 教學時，教師要從學生學習的角度提出學生在學習概念時出現的一些疑難問題，進而尋找概念學習過程中的五條應對策略.

[關鍵詞] 概念學習；疑難；策略

數學概念是學生數學學習過程中的一個重要內容，它是反映現實世界中空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式. 正確理解數學概念是學生掌握數學基礎知識的前提，是學好定理、公式、法則的基礎，也是學生提高解題能力的關鍵.

初中數學教學中，一些教師對概念的教學往往“視而不見”，他們更多地關注學生運用概念的能力，而不是幫助學生建構、理解概念. 這種輕視概念教學、通過反復練習來鞏固概念的做法，直接導致學生對數學概念的模糊認識和機械理解，更談不上提升學生的數學素養. 任何數學概念都有它產生的背景，要讓學生正確理解概念，就要讓學生知道其產生的背景，通過實例分析概念的本質屬性，讓學生學會概括、理解概念的內涵與外延，從而進一步鞏固和應用概念. 本文以數與式的教學為例，從學生學習角度分析學習數學概念時出現的一些疑難問題以及應對策略.

疑難分析

案例1 “實數”教學片段

上課一開始，教師就給出無理數的概念：我們把無限不循環小數稱為無理數，把有理數和無理數統稱為實數. 實數可以這樣劃分：

當然，實數還可以這樣分：

接著舉了大量的數，讓學生判斷是什么數……

這樣的安排看起來似乎省了很多時間，但學生的情況又怎樣呢？學生對無理數概念的理解還是只停留在表面，缺乏深入的了解，因此學生有很多疑問：有理數和無理數的存在形式是怎樣的？它們之間有什么差異與聯系？從什么角度對數進行分類？怎樣分類才能做到不重復、不遺漏？為什么要學習無理數？為什么要擴充數系？……

學生對實數概念的把握不到位，與教師的教法固然有關，但也與學生本身的基礎知識、學習方法有關，因為它會直接影響學生對概念的理解和運用，也會影響他們思維能力的發展，甚至會表現出思路閉塞、邏輯紊亂的情況.

學生為什么會對無理數概念的理解似是而非，抓不住本質？

首先，這是由學生學習數學概念的特點所決定的. 初中生認識事物還帶有很大的形象性，善于進行形象思維，而不善于抽象思維，他們常常被一些非本質的表面現象所吸引. 有些學生習慣用機械背誦的方法來記憶概念，導致不會靈活、準確地運用. 做習題時，他們只能依樣畫葫蘆，遇到問題的條件或形式稍有變化，就束手無策，因此，在概念教學中，教師應注意發揮學生的智力因素，培養學生自己去獲取知識的能力.

其次，教師不重視概念教學，分不清主次或要求不當也是造成學生概念學習困難的一個原因. 如一些教師未認識到概念教學的重要性，他們對概念的講解往往是蜻蜓點水，一帶而過，而將精力花費在定理、法則的推導與應用上，這完全是本末倒置、事倍功半的做法. 也有教師只給出概念的描述（定義），而不去揭示概念的科學內涵，這種教法既缺乏對數學概念知識本身的科學了解，又缺乏對概念教學應有技能的訓練. 還有的教師對概念教學分不清主次，眉毛、胡子一把抓，平均使用力量，講解得很吃力，效果卻不好，讓學生感到乏味. 另外，也有教師對概念的教學要求把握不當，對所有的概念都要求學生理解、記憶、比較. 對此，曾有位數學大師說過：“要我準確回答什么是等式，什么是方程，什么是坐標系等，也確實有一定的困難.”對一些次要概念，在不影響學習的情況下可適當“弱化”. 適當淡化次要概念是現代教學的一種趨勢，但要把握好“度”.

概念教學策略

概念作為一種思維形式，是現實世界空間形式和數量關系及其特征在思維中的反映，是判斷和推理的基礎，也是培養學生邏輯思維能力的必要條件. 一切分析、推理、想象都要依據概念和運用概念. 概念是思維的細胞，是思維的出發點，荀子語：“源清則流清，源濁則流濁. ”學生只有理解了概念，才能掌握數學規律，才能靈活地運用知識和技能正確地進行判斷、推理、運算. 加強概念的教學，既可使學生加強對數學理論知識的理解，又可以培養他們對數學文本閱讀能力和自覺鉆研的精神.

數學概念教學的基本要求是揭示概念的內涵與外延，使學生深刻理解概念，牢固掌握概念，靈活運用概念，即達到理解、鞏固、系統、會用的目的. 根據初中生的年齡特點，在數與式的概念教學中，宜采用以下一些方法.

1. 聯系實際，自然引入概念

概念是比較抽象的知識，因此在引入新的數學概念時，要根據學生實際，考慮其接受能力，從具體到抽象、從簡單到復雜引入概念. 如教學“正數與負數”時，可以這樣進行：

（1）創設情境，激發好奇

課件展示：珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地，由同學感受高于水平面和低于水平面的不同情況.

歡迎同學們成為初一年級的一名學生，從今天開始，老師將帶領大家開始神奇的數學之旅. 在我們的這個教室中就有許多數學的應用，我們在一個長約為10米、寬約為6米的教室里學習，多數同學都是13歲，我們班共49人，約占全年級學生人數的12.2%，我們的講臺寬0.8米、長1.2米……

問題1：老師剛才的描述中出現了你所熟悉的哪幾類數字？你能將以前所學的數字進行分類嗎？（學生交流后回答）

以前我們學過的數，實際上主要有兩類，分別是整數和分數（包括小數）.

問題2：那么，在實際生活中，僅有整數和分數夠用嗎？你能舉例說明嗎？

（2）合作交流，探究新知

某市某一天的最高溫度是零上5℃，最低溫度是零下5℃. 要表示這兩個溫度，如果只用小學學過的數，都記作5℃，就不能把它們區別清楚，這兩個量表示的意義正好相反.

現實生活中，像這樣表示相反意義的量還有很多.

例如，前面展示的珠穆朗瑪峰高于海平面8848米，吐魯番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意義是相反的. 某倉庫昨天運進貨物2噸，今天運出貨物5噸，“運進”和“運出”，其意義是相反的. 汽車向東行駛50米和向西行駛120米，“向東”和“向西”的意義是相反的.

想一想：以上都是一些具有相反意義的量，你能用小學算術中的數表示出每一對量嗎？你能再舉一些日常生活中具有相反意義的量嗎？該如何表示它們呢？

為了用數表示具有相反意義的量，我們把其中一種意義的量，如零上溫度、前進、收入、上升、高出等規定為正，而把與它相反的量，如零下溫度、后退、支出、下降、低于等規定為負. 正的量用算術里學過的數或在學過的數前面加“+”（讀作正）號表示，負的量用學過的數前面加上“-”（讀作負）號來表示（零除外）.

活動：每組同學相互合作交流，一個同學任意說出有關相反意義的兩個量，由其他同學用正負數表示.

討論：什么樣的數是負數？什么樣的數是正數？0是正數還是負數？自己列舉正數、負數.

總結：正數是大于0的數，負數是在正數前面加“-”號的數，0既不是正數也不是負數，是正數與負數的分界. 零不是表示“沒有”，它表示一個實際存在的數量. 并指出：正數、負數中的“+”“-”號是表示性質相反的量，符號寫在數字前面.

本節課從學生身邊熟悉的數據入手，回顧小學里學過的數的類型. 通過舉例我們發現生活中具有相反意義的量，說明了引入負數的必要性；現實生活中的實際問題讓學生體會到了負數的應用，以及正數和負數具有表示相反意義的量的作用；通過舉例得出了正整數、負整數、正分數、負分數的定義；通過練習、討論，明確了0的歸屬（0即不是正數，也不是負數）.

2. 類比分析，快速接受概念

在數學概念教學中，運用類比的方法對概念進行辨析，前后知識點互相對應，溫故而知新，這對學生理解概念大有裨益. 同時，也有助于加強概念之間的聯系，有助于對概念的理解、記憶，能增強思維的靈活性.

數學中的許多概念有本質不同的一面，又有內在聯系的一面，學習時，如果只注意某一概念本身，忽視不同概念之間的區別，那么就會對概念的掌握停留在膚淺的表面. 因此，我們可采用類比法區別異同. 通過比較，可排除那些與概念中描述無關或相異的性質，突出概念的本質屬性. 同時，通過類比可以發現新、舊知識之間的相同點，利用已有知識認識新知識. 例如，學習分式的概念時，可通過與分數類比來學習. 總之，抓住新、舊知識的本質聯系，有目的、有計劃地讓學生將有關新、舊知識進行類比，就能很快得出新、舊知識在某些屬性上的相同或相似的結構，從而引進概念.

因此，采用類比法學習概念，學生能發現類比對象與學習內容之間的共性、差異和特殊性，能啟發學生的思維，能加深學生對概念的理解和掌握.

3. 知識重組，加深概念理解

在一些課堂教學中經常可以看到教師為了某個概念反復地講，逐字逐句地推敲，又是畫圈，又是畫線，而學生在這個概念上還是一錯再錯，即使課堂上把概念講清了，學生理解了，但時間一長，學生又遺忘了. 究其原因，就是學生沒有加強新、舊知識之間的聯系，學生頭腦中沒有一個對新知識進行重組和改造的過程.

任何一個概念都不是孤立的，它總處在與其他概念的相互聯系中. 學生的學習都是通過概念同化習得新概念的. 在學習復雜概念之前，一般先學習更簡單的概念，把它作為新概念的先行組織者，聯系學生已學過的有關概念來闡明新概念，這是一個重要的方法.

實踐表明，用先前的一個概念推導出新的概念，這樣既能使學生較好地理解新的概念，又能幫助學生樹立起聯系的思維方法，形成邏輯思維能力. 把新概念與已有認知結構中的概念建立適當聯系，同時新概念與有關概念進一步分化、融會貫通，能形成一個統一的整體. 例如，學習“因式分解”時，可以對比整式乘法來學習，如單項式乘多項式、乘法公式等，由因式分解定義可知把整式乘法倒過來便可以得到因式分解. 在因式分解的教學過程中，始終抓住這一實質，難點就可以迎刃而解了. 同時還可以運用它們之間的這一關系檢查因式分解的結果是否正確. 因此，從數學概念之間的關系來學習概念，可深化對所學概念的認識.

4. 變式訓練，揭示概念內涵

經常有老師埋怨學生學得死，不會靈活運用，究其原因就是學生沒有很好地把握概念的本質. 數學概念往往都是從正面闡述的，這常會導致“滿以為掌握了概念，但碰到具體的數學問題又難以做出正確判斷”的情況. 如果通過反例從反面或側面去剖析，凸出事物中隱藏的本質，就可以深化對概念的理解.

在數學概念的形成過程中，正例變式有利于“豐富”概念，反例變式有利于“凈化”概念，從而盡可能避免非本質屬性泛化的錯誤，使數學概念的概括精確化，提高了概念教學的有效性. 通過變式教學，可以使學生排除概念中的非本質特征，讓學生能抓住本質特征. 當然，在使用比較的方法進行教學時，必須在這個概念已經建立得比較清楚、牢固的基礎上，再引入其他相關概念進行比較. 也就是說，反例的運用是有時機的. 一般來說，我們不能在學生剛剛接觸概念時就運用反例，否則將有可能使錯誤概念先入為主，不僅不會加深學生對概念的理解，反而容易產生混淆現象.

因此，學習概念時，既要通過正例來揭示其本質，又要恰當地通過反例來排除非本質特征的干擾，還要交代規范的名稱、符號、表示方法和概念間的關系等. 只有這樣，才能使學生明確概念的科學內涵.

5. 語言表達，促進概念使用

語言表達是概念學習過程中非常重要的一個環節. 數學中各種結論的獲得都要依靠邏輯推理，而數學語言表達能力直接影響邏輯推理的進行，當然，也影響數學概念的形成. 當一個概念（或定理）用符號提出時，它很容易被記住和使用，但不能明顯地看出運用它的條件. 有一些學生會認為：學習概念時，記憶符號比記憶語言容易一些. 但這些學生很快就會發現，他們只會把新概念孤立地使用，時間一長就會忘掉已經記憶的大部分內容，而把新知識與以前記憶的數學結構混淆起來. 例如，學習“絕對值”知識時，有的初學者在運用公式a=a（a≥0），-a（a<0） 時，只會解決具體數的化簡，而對于較抽象的字母問題，則常會犯這樣的錯誤：∣a-1∣=a-1. 這是因為，這樣的學生只限于記住其符號表示形式. 但如果理解其本質意義：一個正數的絕對值是其本身，一個負數的絕對值是其相反數，0的絕對值是0，那么他就應知道先判斷a-1的符號，然后分a-1≥0和a-1<0兩種情況進行分類討論. 由此可看出，當一個學生善于將概念用語言準確表達出來時，他肯定會理解這個概念的意義，這樣會促進他今后對這一概念的正確使用.

總之，在數學概念教學過程中，只要從教材和學生的實際出發，注重數學概念學習的策略，就一定能提高數學概念教學的效果，從而提高學生的思維水平.