超越一題多解訓練，加強基本方法總結

陳天明

最近，在一次九年級試卷評講活動課展示中，聽到了一節試卷講評課，發現課堂上課任老師存在著這樣一種教學取向，就是解題方法以多為榮，而且這種現象具有普遍性。這種一題多解的訓練雖然能幫助學生拓展一些思維，但由于它采用“優生+表演”的學習方法，需要花費大量時間；沒有抽象出有價值的基本方法，也沒有進行有價值的題型變式和遷移活動，學生學得的只是一些小技巧；不關注解題內容的核心和重點，顧左右而言它，無法達成最有價值的目標.這是造成復習效果難以高效、學習周期長、進度慢的重要原因，也是非常值得我們思考的地方。

1課例簡述

例題.如圖1，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為（1，3），將矩形沿對角線AC折疊，使點B落在D點的位置，且交y軸交于點E，則點D的坐標是（ ）

A. B. C. D.

解法1：如圖2，過點D作MN⊥OA，分別交AO、BC的延長線于N、M，易證∴△AND∽△DMC，==，即==，設CM=x，DM=y， 則DN=3x，AN=3y，可得，解得x=，則3x=，故D坐標為

解法2：如圖3，過點D作MN⊥OA，分別交AO、BC的延長線于N、M，易證∴△AND∽△DMC，==，即==，設DM=x，則DN=3-x，根據勾股定理可得：MC=，則=，可求得D坐標為

解法3：如圖4過點D作DN⊥OA于N，由△AOE≌△CDE，∴CE=AE， 設OE=x，則CE=3-x，在Rt△AEO中根據勾股定理可得x2+12=（3-x）2，x=，3-x=∵OC∥ND

則==，即==，故DN=，AN=，故D坐標為

解法4：如圖5同解法1得到：==，設CM=x，DM=y，即==，解得，故D坐標為

解法5： 如圖6， 過點D作DN⊥OA于N，連接OD，由△AOE≌△CDE，∴DE=OE，CE=AE，可得∴AC∥OD，可求得直線AC：y=-3x+3，∴直線OD：y=-3x， 所以只有選項D符合要求。

解法6：如圖7，過點D作DN⊥OA于N，設D（x，y），在Rt△ADN中根據勾股定理可得y2+（-x+1）2=32，將ABCD四個答案代入關系式，D答案符合要求。

解法7：如圖8連接BD，過點D作DF⊥AB于F，∵S四邊形ABCD=AC·BD=AB·BC，可得BD=，故BG=，∵cos∠CBG= cos∠BDF， ∴=，即=，∴DF=，AF=，可得D坐標為

解法8 ：如圖9，同解法5求得直線OD：y=-3x， 設ON=m，則DN=3m，根據勾股定理可得（3m）2+（m+1）2=32，m=，則3m=，故D坐標為

解法9：如圖10，同解法5求得直線OD：y=-3x， OE=，可得直線AE：y= -x+，直線OD和直線AE的交點即為點D，故解方程組，可得D坐標為

解法10： 如圖11，連接BD交AC于F，易得直線AC：y=-3x+3，設直線BD：y=x+b， 因為點B（1，3），可求得直線BD： y=x+，故解方程組，可得F坐標為，因為點D和點B關于F對稱，故D坐標為

解法11： 如圖11，連接BD交AC于F，可求得直線AE：y= -x+，直線BD： y=x+，故解方程組可求出交點D，故D坐標為

解法12： 如圖11，同解法5求得直線OD：y=-3x， OE=，可得直線AE：y= -x+，直線OD和直線BD的交點即為點D，故解方程組可得D坐標為

解法13：如圖12，延長AD，BC交于F，作DN⊥x軸于F. Rt△CDG中，CD=1，

設

∵sinF==

∴，，于是.

∵∠F=∠DAN，∴sinF= sin∠DAN，可求出DN、AN，即得出D的坐標

解法14.如圖13，延長CD，AB交于F，作DN⊥x軸于F. ，步驟略

2課例評析

2.1課例基本特征

在聽課過程中，大部分學優生能從教師的思路或輔助線的引導去思考解題，雖然解題速度有差距，但給出提示之后加以引導，均能找到自己的解題節奏，從而做出幾種解法，而且都能較好的提出解題反思和總結。這對改進習題課或試卷講評課的效果起到了較好的促進作用，說明解題思路的引導和解題之后的反思非常有效。更為可喜的是有些學生通過方法的總結，較為深刻的體會了解題的分析方法，從而形成解此類題目方法上的升華，使解題能力得到進一步的提升。

2.2存在問題剖析

本課例對班級中等生和學困生來說，收獲頗少，思路跟不上是一方面的原因，更重要的原因是綜合解題能力欠缺，無法對核心知識予以突破，課堂沒有針對這些學生在學習中的難點去對癥下藥，更沒有提出局部設計方案在不同程度上幫助學生解困。還有解法10、11、12超出了初中課程標準要求，可作為競賽輔導的知識拓展，但不應作為常規課的解法展示和學習要求。《數學課程標準》提出了我們數學學習的明確要求：“人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展”等新課程理念，這就需要我們重新對教學進行反思和審視。

2.3改進策略建議

習題講評要將核心知識進行分析，分析題目的知識和思想方法背景，提高解題思考的層次性，通過解題達到內化知識、領會方法。 如何著重體現突出重點、降低和分散難點，使學生掌握核心知識和體會思想方法是教師教學設計的關鍵所在，針對學生的學習難點去對癥下藥， 設計出幫助學生突破難點的有效教學活動。比如：本課例的問題可設計為：①△AOE和△CDE有怎樣的關系？并說明理由；②求點E的坐標；③求點D的坐標（以選擇題的形式呈現亦可）；④你還有求點D坐標的其它方法嗎？（可分組交流討論）

上面14種解題方法我們可以將其分為四類：相似法（解法1、2、3、4、13、14，解直角三角形法可歸類為相似）、排除法（解法5、6）、面積法（解法7）、解析式法（解法8、9、10、11、12），其中思路比較貼近于學生思維水平的是相似法和解析式法，貼合選擇題題型的是排除法，而不容易想到的是解直角三角形法和面積法。在課堂45分鐘時間里，逐一的展示解法及過程會占用大量的時間，做重復性的計算工作，復習效率較低。所以教師需要提前進行解法研究，使自己在教學過程中能對主要解題方法有可能會出現的各種思維障礙有預見性，給學生搭設思維的“腳手架”，精心設置引導語言和提示，做到點撥在關鍵處，打開學生的思維，并引導學生用自己熟悉的方法去解題，做到解題方法無高低之分，而要達到的是通法通解的效果，從而提高復習課中解題教學的高效性。

3基于課例的思考

無論哪種解題方法都要基于對課標的深刻理解，期間必定包含初中學生數學必備的基礎知識、基本技能和基本思想方法，切不可脫離課程標準，盲目提高或降低學習要求。一題多解可以成為數學課堂的起點，但不能作為數學課堂的終極追求，多解歸一的方法總結才是解題教學的大智慧之所在。研究解法的多樣性，無非是為了拓展學生的思維寬度，但基本的要點是將解法分類，然后每類歸一。類與類之間再異中尋同，尋求基于所學的解法自然發生原理。對于習題課的課堂來說，是驗證或完善解題思路的過程。教師心中必須明確：通過一題多解抽象出有價值的基本方法，進行有價值的題型變式和遷移活動；要關注解題內容的核心和重點，達成最有價值的目標；解題的最終目的是內化知識、形成方法、領會思想。一般來說解題教學具體可按如下的過程操作：

參考文獻：

[1]教育部，義務教育數學課程標準（2011版）[M]，6，北京師范大學出版社，2012，1

[2]教育部課程教材專家委員會，義務教育數學課程標準（2011版）解讀[M]，98，北京師范大學出版社，2012，2