相似三角形在平面幾何中有關線段間關系的運用

彭志忠

【摘 要】相似三角形是平面幾何中的基本圖形之一，也是初中教學中的重點之一。它在解決平面幾何的許多問題，如某些定理的證明，兩直線的位置關系，特別是有關線段的比例，乘積及和差倍分等都起著“過河搭橋”的作用。

【關鍵詞】相似三角形；平面幾何；線段；關系的運用

相似三角形是平面幾何中的教學中，能否牢固地掌握相似三角形的判定定理及有關性質并靈活地應用它是解決平面幾何問題的關鍵之一，也是初中學生掌握基礎知識和基本技能的途徑之一。現將談談相似三角形在平面幾何中有關線段間關系的運用。

1證明兩線段相等

證明線段相等的方法較多，常用的方法是根據全等三角形、特殊四邊形的性質等等，但是利用相似三角形→比例線段→線段相等，也是一條便捷的解題思路，它有時會解決利用全等三角形、特殊四邊形的性質無法解決或難解決的問題，

例1：如圖：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線交CD、CB于P、E，PE∥AB交BC于F，求證：CE=BF。

證明：∵AE是∠BAC的平分線，

∴∠CAE=∠BAE，

又∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠PDA=∠ACE=90°

則△PDA∽△ECA。

得①

又由PF∥AB得②

由①、②得③

同是，由角平分線性質得④

又∵∠CDA=∠BCA=90，

∠CAD=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB.

∴⑤

由③、④、⑤得，故CE=BF。

2證明線段成比例

比例式的線段是平面幾何常見類型題，它有一種變形（ad=bc）和一種特例（a2=bc），利用相似三角形對應邊成比例的性質證明四條線段成比例是常用的方法。下面舉例說明用這種方法證題的思路。

（1）當所證的比例式中的線段分別是兩個三角形的兩邊時，首先考慮證這兩個三角形相似。

例2：已知△ABC內接于圓O，∠A的平分線交BC于D，交⊙O于E。

求證：

分析：AD·AE=AC·AB

可證：△ADC∽△AEB.

證明：連結BE，∠l=∠2，∠C=∠E，

∴△ADC∽△AEB，∴

（2）當所證比例式中的四條線段分別是兩個三角形的兩邊，但這兩個三角形不相似時，應考慮添輔助線造成相似三角形，先使其中三條線段在兩個相似三角形中，然后再把另一條線段等量代換，從而證明求證的比例式成立。

例3：AM為△ABC的∠A的平分線，過A作一圓與BC相切于M點，并且與AB、AC分別交于E、F，求證：

分析：如圖，雖然BE、BM和CF、CM是△BEM和△CFM的邊，但這兩個三角形在一般情況下不相似。（只有O點在AM上，△BEM≌△CFM），所以，考慮連結EM、FM，則△BEM∽△BMA，△CFM∽△CMA，則有，又由角平分線性質，得

證明：（略）

（3）當所證比例式中的四條線段不是兩個三角形的兩邊時，應通過作輔助線（一般是作平行線），構成相似三角形。

例4：如圖，BD=CE，求證：AC·EF=AB·DF。

分析：因為所證等式中的四條線段不同在兩個三角形中，所以考慮作DG∥AC，這樣可使四條線段都分別在兩對相似三角形中。

證明：過D作DG∥AC，交BC于G，

∵DG∥AC，

∴△FEC∽△FDG，得①

∴△BDG∽△BAC，得②

又∵CE=BD，③

由①、②、③得，故AC·EF=AB·DF。

（4）當四條線段在同一直線上時，可通過等量代換，使其中一條轉移，以造成兩個三角形，再證這兩個三角形相似。

例5：AD為△ABC（AB>AC）的角平分線，AD的垂直平分線和BC的延長線交于點E，求證DE2=BE·CE。

分析：這個題目要證明DE2=BE·CE，由于B、C、D、E四點在一條直線上，所以不能直接通過證明兩個三角形相似而證出。但EF是AD的垂直平分線為本題的已知條件，若連結AE，則DE=AE，即AE與DE為相等的線段。將AE代換DE2=BE·CE中的DE，有AE2=BE·CE。這樣只要證出△ACE與△BAE相似，就可證得AE：BE=CE：AE，即得證：AE2=BE·CE。

證明：如圖：連結AE，

∵EF是AD的垂直平分線，

∴EA=ED①

∵∠2+∠3=∠4，

又∵∠4=∠l+∠B（三角形外角定理），

∠l=∠2，

∴∠3=∠B.

在△ACE和△ABE中，

∵∠3=∠B，∠AEC=∠BEA，

則△ACE∽△BAE。

∵②

由①②得DE2=BE·CE.

在這個例題中，與DE相等的線段是AE，用AE代換DE后，便能順利地找出證法。從上例與數學實踐中得出：應用等線代換這一方法證明比例式時，以找a2=bc中的a的等線為最好。

3證明線段的倍分關系

利用相似三角形證明線段的倍分關系，通常將兩線段置于兩個相似三角形中，根據相似三角形的對應邊成比例，然后用等量代換證明。

例6：已知AB和CD是⊙O互相垂直的兩條直徑，G為的中點，連結AG交CD于E，交BC于F，求證：OE=BF.

分析：由結論OE=BF，即=，又O是圓心，是直徑AB的中點，由此可考慮利用中位線的定理把結論與條件聯系起來。由于AB是直徑，則∠AGB=90°，因此，過O作OM⊥AG交AG于M，OM=BG，而OE與BF分別是Rt△OEM和Rt△BFG的對應邊，現只需證明這兩個直角三角形相似。

證明：連結BG，過O點作OM⊥AG于M，

∵AB為直徑，∴∠BGA=90°，

∴OM∥BG、AO=OB，

∴=

又∵G為的中點，且AB⊥CD，

∴∠CBG=∠A=∠EOM，

且∠BGF=∠EMO=90°。

∴Rt△OEM∽Rt△BFG。

∴=，得OE=BF.

誠然，相似三角形在線段間應用遠不止這些，它還可用于解決一些線段的平方或積的和差、幾何不等式、兩角相等以及面積比等問題，這里不一一贅述。

總之，以上只是簡單地介紹相似三角形在平面幾何中有關線段間關系的運用，旨在使學生熟悉相似三角形運用的基礎上，逐步掌握利用它來解題的基本思路和方法。可以加深學生對直線形、圓形中有關線段間關系問題的相關性質認識和理解，提高學生的解題能力。

參考文獻：

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