古詩詞在數學教學中的應用賞析

錢如剛

【摘 要】巧妙地結合古詩詞進行數學教學，讓學生能由此及彼地聯想，定能提高數學教學的效果。

【關鍵詞】中國古詩詞；數學教學

中國是有五千多年歷史的文明古國，古代文學作品無疑是人類精神文明寶庫中極為燦爛的一部分。中國古代詩歌詞曲早于先秦發端，歷經幾千年流傳至今，讀來仍然讓人回腸蕩氣，實在是一種美的享受。作為數學教學工作者，我突發奇想，試著在講解數學題時，根據解題思路由感而發，順口吟上幾句，確有畫龍點睛的效果。學生們也會隨著我的開頭齊聲應和，既更深刻領會了數學解題思路，又體會了古詩詞的高遠意境，真是兩全其美。德國科學家開普勒曾經說過：“我最珍視類比，它是我最可靠的老師。”。把數學內容與古詩詞內容這兩者看似風牛馬不相及的兩件事一類比，你會發現其中滋味妙不可言。現舉幾個例子說明。

例1：若（a-1）2+（ab-2）2=0，求的值。

解：∵（a-1）2+（ab-2）2=0，（a-1）2≥0，（ab-2）2≥0

∴（a-1）2=0，（ab-2）2=0

∴a=1，b=2

∴原式=

=

=

=

此題有杜牧《過華清宮》為證：“長安回望繡成堆，山頂千門次第開。一騎紅塵妃子笑，無人知是荔枝來。”

數學解析：此題解法名曰“裂項法”，用常規方法無從下手，用“長安回望繡成堆，山頂千門次第開。”兩句，也可算是一種解析吧。

例2：現規定兩種運算“※”和“◎”，對于任意兩個整數a，b，a※b=a+b-1，a◎b=ab-1，求1※2◎3

解：1※2◎3

=（1+2-1）◎3

=2◎3

=2×3-1

=5

此題有蘇軾詞《水龍吟》中幾句為證：“似花還似非花，也無人惜從教墜。拋家傍路，無情有思。”

數學解析：這類題目叫做新定義運算，我們學過的加減乘除都有確定的意義。事實上，除了上述的四種運算外，我們還可以根據需要，采用不同的符號，給予新的定義，即所謂新定義運算。新定義運算通常是通過我們熟悉的運算來規定的。但這類問題學生初步接觸如墜云霧，真有點“似花還似非花”之感。

例3：解方程：5x2-6xy+2y2-4x+2y+1=0

解：∵5x2-6xy+2y2-4x+2y+1

=（x2-2xy+y2）+（4x2-4xy+y2）-2（2x-y）+1

=

=

∴原方程可以變形為=0

又∵x，y都是實數，（x-y）2≥0，（2x-y-1）2≥0，

∴且，

∴原方程的解是x=1，y=1

此題有唐代詩人柳宗元的《江雪》為證：“千山鳥飛絕，萬徑人蹤滅。孤舟笠翁，獨釣寒江雪。”

數學解析：此題屬于數學中的非負數問題。乍一看，一個方程含有兩個未知數，無從下手，真是“千山鳥飛絕，萬徑人蹤滅。”，但用配方法，結合非負數的知識，還是能求解的，“獨釣寒江雪”，還是有魚可釣的。

例4：求使關于x的方程2x3-ax2+a2x+a2-

a-6=0有整數根的所有整數a

解：原方程可以看作未知數a的一元二次方程：

當x=-1時，原方程變為：-2x-2-6=0

此時x=-4

當x≠-1時，設兩根為a1，a2，則

故x=0，1，-2，-3時，是整數，從而a1+a2是整數

當x=0時，原方程變為a2-a-6=0，解得：a1=3，a2=-2

當x=1時，原方程變為2a2-2a+2-6=0，即a2-a-2=0

解得：a1=2，a2=-1

當x=-2時，原方程變為：-x2-5x-2=0，無實數根；

當x=-3時，原方程變為-2x2-10x-60=0，無實數根。

綜上所述，當x=-1，0，1時，方程有整數根：a=-4或a=3或a=-2或a=2或a=-1。

此題還是引用蘇軾的《題西林壁》：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。”

數學解析：此題如果從關于x的一元三次方程來解，一條胡同走到黑，是做不出什么名堂的，但換一個角度看問題，把它看作關于未知數a的一元二次方程，將會豁然開朗。數學上把這種方法叫做“主元轉換法”，用“橫看成嶺側成峰”自然可以恰如其分地解析。

例5：若a，b，c是正數，解方程：

解：

=

-=0

∵a> 0，b> 0，c> 0

∴>，>，

>

∴++>

∴++-≠0

∴x-a-b-c=0

∴x=a+b+c

正應了《紅樓夢》的作者曹雪芹的兩句名詩：“假作真時真亦假，無為有時有還無”。

數學解析：這是一道典型的“無中生有”法解題，這道題目的解法的巧妙之處在于“生”出了三個“1”和一個“3”，問題就迎刃而解了。另外，解題時注意觀察，培養洞察事物的能力，才能提高解題水平。

例6： 求函數y=+的最小值.

解：構造如圖所示的兩個直角三角形，

即Rt△PAC，Rt△PBD，使AC=1，BD=2，PC=x，PD=4-x，

求最小值可轉化為：

在L上求一點P，使PA+PB最小.

取點A關于L的對稱點A′連結A′B，

則A′B與L的交點即為所求P點，

故PA+PB的最小值即是線段A′B在Rt△A′EB中，A′B=，

故函數y的最小值為5.

此題有唐初四杰的王勃的《滕王閣序》中的名句為證：“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色。”

數學解析：此題若用代數方法來解很麻煩，通過對函數形式觀察，發現：可以看成是以x，1為直角邊的三角形的斜邊，可以看成是以（4-x），2為直角邊的斜邊，此題可歸納為求兩個直角三角形斜邊的和的最小值，于是可構造圖形來解決. 本題由數思形，由形思數，不失時機地抓住兩者的相互結合和轉化，沖破數和形之間的那種固有的差異，更多的強調二者的和諧統一，運用數形結合思想，迅速解決數學問題。華羅庚教授也曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微數形結合百般好，隔離分家萬事非。”

例7：四邊形ABCD中，，AC平分，，，求BC和AB的長。

解：作CE⊥AB于E，CE⊥AD于F

在Rt?BEC中，

在Rt?ACE中，∵AC=7

由勾股定理，

綜上所述：BC=5，AB=8。

吟上唐朝著名詩人白居易的《長恨歌》里的前四句：“漢皇重色思傾國，御宇多年求不得。楊家有女初張成，養在深閨人未識。”，白居易的《長恨歌》運用轉化思想可謂足矣，明明是唐朝玄宗皇帝和楊貴妃的故事，卻轉化到漢武帝的頭上，真是用心良苦。

數學解析：轉化思想是解決數學問題的一種最基本的數學思想，在研究數學問題時，我們通常是將未知問題轉化為已知的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將抽象的問題轉化為具體的問題，將實際問題轉化為數學問題，我們也常常在不同的數學問題之間互相轉化，可以說在解決數學問題時轉化思想幾乎是無處不在的。本題是四邊形問題，通常要轉化為直角三角形來解決。由已知∠ABC=60°，AC平分∠BAD，所以想到由C點作CE⊥AB于E，作CE⊥AD于F。由已知可求出CF，由CE=CF，可知CE的長，通過解Rt?BEC可求出BC的長。BE也可求，再通過解Rt?AEC由勾股定理求出AE的長，這樣，AB的長就求出來了。

例8：（2005年河南課改）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=2，DC=22，點P在邊BC上運動（與B、C不重合），設PC=x，四邊形ABPD的面積為y。

（1）求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）若以D為圓心、12為半徑作⊙D，以P為圓心、以PC的長為半徑作⊙P，當x為何值時，⊙D與⊙P相切？并求出這兩圓相切時四邊形ABPD的面積。

解：（1）過點D作DE⊥BC于E，

∵∠ABC=90°，∴DE=AB=2，

又∵DC=2，∴=2

∴BC=BE+EC=AD+EC=2+1=3

∴S四邊形ABPD===4-x，

（2）當P與E重合時，⊙P與⊙D相交，不合題意；

當點P與點E不重合時，在Rt△DEP中，

DP2=DE2+EP2=22+|2-x|2=x2-4x+8

∵⊙P的半徑為x，⊙D的半徑為12， ∴①當⊙P與⊙D外切時，

（x+）2=x2-4x+8，解得x=

此時四邊形ABPD的面積y=4-=

②當⊙P與⊙D內切時，

（x+）2=x2-4x+8，解得x=

此時四邊形ABPD的面積y=4-=

∴⊙P與⊙D相切時，四邊形ABPD的面積為或

此題有詩仙李白的《行路難》里的幾句詩為證：“行路難，行路難，多歧路，今安在？長風破浪會有時，直掛云帆濟蒼海。”

數學解析：近年來，在各地中考試題中涉及到“分類討論”的問題十分常見，有很多岔路，你要分析仔細。因為這類試題不僅考查學生的數學基本知識與方法，而且考查了學生思維品質的深刻性。然而從近幾年的中考閱卷中發現學生在解此類問題時，考慮不周全導致失分較多，究其原因主要是平時的教與學中，尤其是在中考復習時，對“分類討論”的數學思想滲透不夠。分類討論涉及全部初中數學的知識點，其關鍵時要弄清楚引起分類的原因，明確分類討論的對象和標準，應該按可能出現的情況做到既不重復，又不遺漏，分門別類加以討論求解，再將不同結論綜合歸納，得出正確答案。

我們生活在一個普遍聯系的世界里，絕對孤立的事物是沒有的。學習數學當然可以和其他學科互相借鑒，古詩詞與數學學習的結合就是很好的例子，這樣學習的效果是同學們印象深刻，記憶久遠，并能靈活地運用。

參考文獻：

[1]劉國棟.初中生必背古詩詞80首[M].廣東世界圖書出版公司 .2013年5月.