分析數形結合思想在高中數學解題中的應用

王博

【摘要】對高中數學知識體系進行分析可知，函數部分內容既是學習中的重點，也是學生學習過程中的“攔路虎”。函數知識較為復雜、多變，在學習過程中，學生只有掌握正確的解讀思路和方法才能有效解決不同形式的函數問題。數形結合思想作為一種將函數知識與幾何知識緊密結合起來的教學思想被學生廣泛的應用到高中數學解題中。本文圍繞數形結合思想應用于高中數學解題中的有效方式進行分析，以期為其他同學高效運用數形結合思想成功解題提供參考和幫助。

【關鍵詞】數形結合思想 高中 數學 解題

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）07-0132-02

無論課程怎樣改革、變化，函數知識與幾何相結合的內容一直都是高考試卷重點考查的內容。對于作為高中生的我們來說，對這部分知識的掌握情況直接影響高考數學成績。所以，在解題過程中應用數形結合思想具有非常重要的意義。因此，在高中數學課堂學習過程中，應當注意加強對數形結合思想的培養(yǎng)，為其核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定堅實的基礎。

一、在高中數學解題中運用數形結合思想的概述

數形結合方法是一種能夠讓復雜的問題簡單化、讓抽象的問題具體化的解題方法，其思想是一種非常重要的數學思想。學生若想提升自己應用數形結合思想解題的能力，就需要在解題中先做到聯(lián)系數形結合思想，逐步理解數形結合思想、運用數形結合思想，直到掌握數形結合思想。

高中數學的理論知識主要可以分成三個部分：其一，“數”方面的知識，包括實數、代數式、方程、方程組、不等式、不等式組、函數等內容；其二，“形”方面的知識，包括平面幾何、立體幾何等內容；其三，“數形結合”方面的知識，如解析幾何等內容。

在高中數學解題過程中，最為常見的三種方式是以“數”化“形”、以“形”變“數”、“形”與“數”的互變。

（一）以“數”化“形”

“數”和“形”存在著對應關系，一些數量較為抽象，我們難以充分把握，而“形”較為形象、直觀，可以有效的調動形象思維，在高中解題中發(fā)揮出重要作用。所以，我們在解題過程中可以將“數”對應的“形”找出來，借助圖形來解決“數”的問題。我們可以從給出問題中識別出滿足問題目標的某種熟識的“模式”，即“數”與“形”的特定關系或特定結構。這類將數的問題轉化成圖的問題，并借助對圖的分析、推理最后獲得正確結果的方法就是圖形分析法。圖形分析法的應用通常有三種方式：運用平面幾何知識、運用立體幾何知識、運用解析幾何知識實現(xiàn)以“數”化“形”（圖1）。利用以“數”化“形”來解決數學問題的基本思路是，首先，明確題目中給出的條件和最終希望得到的結果，從題目給出的已知條件或結論出發(fā)，通過觀察分析，明確其與以往所學的基本公式、定理或圖形表達式相似或不相似，然后，根據以往所學知識繪制出與題目相適合的圖形，最后，借助所繪制圖形的性質、幾何意義等，結合題目最終希望得到的結果來解題。

無論課程怎樣改革、變化，函數知識與幾何相結合的內容一直都是高考試卷重點考查的內容。對于作為高中生的我們來說，對這部分知識的掌握情況直接影響高考數學成績。所以，在解題過程中應用數形結合思想具有非常重要的意義。因此，在高中數學課堂學習過程中，應當注意加強對數形結合思想的培養(yǎng)，為其核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定堅實的基礎。

一、在高中數學解題中運用數形結合思想的概述

數形結合方法是一種能夠讓復雜的問題簡單化、讓抽象的問題具體化的解題方法，其思想是一種非常重要的數學思想。學生若想提升自己應用數形結合思想解題的能力，就需要在解題中先做到聯(lián)系數形結合思想，逐步理解數形結合思想、運用數形結合思想，直到掌握數形結合思想。

高中數學的理論知識主要可以分成三個部分：其一，“數”方面的知識，包括實數、代數式、方程、方程組、不等式、不等式組、函數等內容；其二，“形”方面的知識，包括平面幾何、立體幾何等內容；其三，“數形結合”方面的知識，如解析幾何等內容。

在高中數學解題過程中，最為常見的三種方式是以“數”化“形”、以“形”變“數”、“形”與“數”的互變。

（一）以“數”化“形”

“數”和“形”存在著對應關系，一些數量較為抽象，我們難以充分把握，而“形”較為形象、直觀，可以有效的調動形象思維，在高中解題中發(fā)揮出重要作用。所以，我們在解題過程中可以將“數”對應的“形”找出來，借助圖形來解決“數”的問題。我們可以從給出問題中識別出滿足問題目標的某種熟識的“模式”，即“數”與“形”的特定關系或特定結構。這類將數的問題轉化成圖的問題，并借助對圖的分析、推理最后獲得正確結果的方法就是圖形分析法。圖形分析法的應用通常有三種方式：運用平面幾何知識、運用立體幾何知識、運用解析幾何知識實現(xiàn)以“數”化“形”（圖1）。利用以“數”化“形”來解決數學問題的基本思路是，首先，明確題目中給出的條件和最終希望得到的結果，從題目給出的已知條件或結論出發(fā)，通過觀察分析，明確其與以往所學的基本公式、定理或圖形表達式相似或不相似，然后，根據以往所學知識繪制出與題目相適合的圖形，最后，借助所繪制圖形的性質、幾何意義等，結合題目最終希望得到的結果來解題。

（二）以“形”變“數”

盡管“形”較為形象、直觀，但其在定量方面仍需要借助“數”來運算，尤其是針對復雜、難懂的“形”而言，既需要將“形”數字化，也需要仔細觀察“形”的幾何特性，從而獲得題中隱藏的條件，再借助“形”的特性或幾何意義，將“形”轉化為“數”的形式，開始運算。利用以“形”變“數”來解決數學問題的基本思路是，首先，明確題目給出的條件和最終希望得到的結果，通過觀察分析所給的條件和最終希望得到的結果的特點、性質，認識到所給條件或最終結果在“形”中的幾何意義，然后，利用所學知識將題目中給出的圖形用代數的形式表達出來，結合已知條件與最終結論的聯(lián)系，充分利用相關的代數公式或定理等解題。

（三）“形”與“數”的互變

圖形與代數的互變具體是指在一些數學問題中，只依賴以“數”變“形”或以“形”變“數”已經難以有效的解決問題，這時，就需要通過將“形”與“數”進行相互變換來解決問題，學生不僅需要考慮到從直觀的圖形轉化為嚴密的代數，而且還需要考慮到從嚴密的代數轉化為直觀的圖形。解決這種問題常常需要兼顧題目給出的已知條件和最終獲得的結論，然后通過認真分析明確題目中“形”與“數”的相互轉化。基本思路是，見“形”想“數”、看“數”思“形”，即將以“數”化“形”和以“形”變“數”有機結合起來，靈活的使用。

二、在高中數學解題中運用數形結合思想的有效策略

（一）數形結合思想在解題方面的應用

數形結合思想包括“以形輔數”和“以數助形”兩個部分，數形結合思想在高中數學解題中的應用大致可以分為兩種形式：其一，利用“形”的生動形和直觀性來表示“數”之間的聯(lián)系，例如，借助函數的圖像直觀的反映出函數的性質；其二，利用“數”的精確性和規(guī)范嚴密性展示“形”的某些屬性，例如，利用曲線的方程清晰的展現(xiàn)出曲線的幾何性質。在解決數學問題的過程中，學生掌握數形結合法能夠利用幾何圖形對函數參數問題的解題思路進行建構，對于一些簡單的問題，通過觀察幾何圖形就能夠獲得正確的答案。以函數參數問題為例，針對函數f（x）=4x-x2+a，對其幾何圖形進行觀察發(fā)現(xiàn)有四處與x軸相交，在求解其a值時，利用數形結合法能夠快速、準確的求出a值。通過仔細觀察函數f（x）=4x-x2+a的圖形發(fā)現(xiàn)，其是基于二次函數經過翻折、豎直平移得到的，所以在求解的過程中只需要對函數進行相應的轉化，轉化成4x-x2=-a的形式，然后在直角坐標系中分別繪制函數y=4x-x2和y=-a的圖形，將y=-a的圖形進行平移，觀察y=4x-x2圖形與y=-a平移后的圖形，在明確二者之間交點個數的情況下，根據參數取值范圍需要同時滿足交點連線位置的原則，確定參數的取值范圍。數形結合思想實質上是實現(xiàn)抽象數學語言與具象圖像的有機結合，推動代數問題與幾何問題的相互轉化，讓代數問題幾何化，又使幾何問題代數化。又如，在解決函數值域問題時，針對“求函數f（x）=的值域”這道題，教師可以先指導學生根據題目給出的已知條件畫出對應的圖像，然后觀察圖像，將其轉化為求斜率范圍的問題（圖2），可以在圖像上設動點P（cosx，sinx），定點A（2，0），通過計算PA的斜率能夠更為輕松的解決問題，得出的結果為[-，0]。因此，在利用數形結合思想分析和解決問題時，應當注意以下幾點：其一，應當清晰的了解一些數學概念、運算的幾何意義以及圖像的代數特征等，不僅需要分析數學題目中條件和結論的幾何意義，也需要分析其代數意義；其二，在參數的設置和利用上應當保持合理性，以數推形，以形思數，實現(xiàn)數形的有效轉化；其三，保證參數取值范圍的正確性。

（二）數形結合思想在簡化解題思路方面的應用

高中開設數學課程不只是為了讓學生掌握一定的數學理論知識，而是希望學生能夠通過數學知識的學習提高自身數學思維能力、問題分析能力以及創(chuàng)新能力等。然而，我們中的大多數并沒有明確學習數學的重要意義，僅僅只是將其當作一項任務來完成，這與學習高中數學的本意嚴重不符。在學習高中數學知識的過程中，學生常常需要運用大量復雜的公示進行數學理論推理，或者做出證明步驟。在這樣機械的解題中，很容易產生厭煩的感覺。但是事實上，公式只是解題的一種方法，是一種解決問題的工具。在高中數學學習過程中，學生應當明確數學課程學習的本質，借助數形結合思想理清自己的思維結構和解題思路，進而對思維結構進行創(chuàng)新和優(yōu)化，使解題思路得到充分簡化最終達到能夠輕松解決數學問題的目的。

三、結束語

綜上所述，數學課程是高中學習過程中較為重要的一部分，其內容的邏輯性和實踐性比較強，若是學生在高中數學學習過程中未掌握其中的規(guī)律，就會覺得數學學習難度大，逐漸喪失學習興趣，最后變成學困生。為了有針對性的改善函數問題解決難的現(xiàn)狀，學生應當善于運用數形結合思想，掌握利用數形結合法解決數學問題的最佳方式，為更快、更準的解決數學問題奠定堅實的基礎。

參考文獻：

[1]何玉蘭.數形結合思想在高中數學解題中的應用[J].考試周刊，2015，（32）.

（二）以“形”變“數”

盡管“形”較為形象、直觀，但其在定量方面仍需要借助“數”來運算，尤其是針對復雜、難懂的“形”而言，既需要將“形”數字化，也需要仔細觀察“形”的幾何特性，從而獲得題中隱藏的條件，再借助“形”的特性或幾何意義，將“形”轉化為“數”的形式，開始運算。利用以“形”變“數”來解決數學問題的基本思路是，首先，明確題目給出的條件和最終希望得到的結果，通過觀察分析所給的條件和最終希望得到的結果的特點、性質，認識到所給條件或最終結果在“形”中的幾何意義，然后，利用所學知識將題目中給出的圖形用代數的形式表達出來，結合已知條件與最終結論的聯(lián)系，充分利用相關的代數公式或定理等解題。

（三）“形”與“數”的互變

圖形與代數的互變具體是指在一些數學問題中，只依賴以“數”變“形”或以“形”變“數”已經難以有效的解決問題，這時，就需要通過將“形”與“數”進行相互變換來解決問題，學生不僅需要考慮到從直觀的圖形轉化為嚴密的代數，而且還需要考慮到從嚴密的代數轉化為直觀的圖形。解決這種問題常常需要兼顧題目給出的已知條件和最終獲得的結論，然后通過認真分析明確題目中“形”與“數”的相互轉化。基本思路是，見“形”想“數”、看“數”思“形”，即將以“數”化“形”和以“形”變“數”有機結合起來，靈活的使用。

二、在高中數學解題中運用數形結合思想的有效策略

（一）數形結合思想在解題方面的應用

數形結合思想包括“以形輔數”和“以數助形”兩個部分，數形結合思想在高中數學解題中的應用大致可以分為兩種形式：其一，利用“形”的生動形和直觀性來表示“數”之間的聯(lián)系，例如，借助函數的圖像直觀的反映出函數的性質；其二，利用“數”的精確性和規(guī)范嚴密性展示“形”的某些屬性，例如，利用曲線的方程清晰的展現(xiàn)出曲線的幾何性質。在解決數學問題的過程中，學生掌握數形結合法能夠利用幾何圖形對函數參數問題的解題思路進行建構，對于一些簡單的問題，通過觀察幾何圖形就能夠獲得正確的答案。以函數參數問題為例，針對函數f（x）=4x-x2+a，對其幾何圖形進行觀察發(fā)現(xiàn)有四處與x軸相交，在求解其a值時，利用數形結合法能夠快速、準確的求出a值。通過仔細觀察函數f（x）=4x-x2+a的圖形發(fā)現(xiàn)，其是基于二次函數經過翻折、豎直平移得到的，所以在求解的過程中只需要對函數進行相應的轉化，轉化成4x-x2=-a的形式，然后在直角坐標系中分別繪制函數y=4x-x2和y=-a的圖形，將y=-a的圖形進行平移，觀察y=4x-x2圖形與y=-a平移后的圖形，在明確二者之間交點個數的情況下，根據參數取值范圍需要同時滿足交點連線位置的原則，確定參數的取值范圍。數形結合思想實質上是實現(xiàn)抽象數學語言與具象圖像的有機結合，推動代數問題與幾何問題的相互轉化，讓代數問題幾何化，又使幾何問題代數化。又如，在解決函數值域問題時，針對“求函數f（x）=的值域”這道題，教師可以先指導學生根據題目給出的已知條件畫出對應的圖像，然后觀察圖像，將其轉化為求斜率范圍的問題（圖2），可以在圖像上設動點P（cosx，sinx），定點A（2，0），通過計算PA的斜率能夠更為輕松的解決問題，得出的結果為[-，0]。因此，在利用數形結合思想分析和解決問題時，應當注意以下幾點：其一，應當清晰的了解一些數學概念、運算的幾何意義以及圖像的代數特征等，不僅需要分析數學題目中條件和結論的幾何意義，也需要分析其代數意義；其二，在參數的設置和利用上應當保持合理性，以數推形，以形思數，實現(xiàn)數形的有效轉化；其三，保證參數取值范圍的正確性。

（二）數形結合思想在簡化解題思路方面的應用

高中開設數學課程不只是為了讓學生掌握一定的數學理論知識，而是希望學生能夠通過數學知識的學習提高自身數學思維能力、問題分析能力以及創(chuàng)新能力等。然而，我們中的大多數并沒有明確學習數學的重要意義，僅僅只是將其當作一項任務來完成，這與學習高中數學的本意嚴重不符。在學習高中數學知識的過程中，學生常常需要運用大量復雜的公示進行數學理論推理，或者做出證明步驟。在這樣機械的解題中，很容易產生厭煩的感覺。但是事實上，公式只是解題的一種方法，是一種解決問題的工具。在高中數學學習過程中，學生應當明確數學課程學習的本質，借助數形結合思想理清自己的思維結構和解題思路，進而對思維結構進行創(chuàng)新和優(yōu)化，使解題思路得到充分簡化最終達到能夠輕松解決數學問題的目的。

三、結束語

綜上所述，數學課程是高中學習過程中較為重要的一部分，其內容的邏輯性和實踐性比較強，若是學生在高中數學學習過程中未掌握其中的規(guī)律，就會覺得數學學習難度大，逐漸喪失學習興趣，最后變成學困生。為了有針對性的改善函數問題解決難的現(xiàn)狀，學生應當善于運用數形結合思想，掌握利用數形結合法解決數學問題的最佳方式，為更快、更準的解決數學問題奠定堅實的基礎。

參考文獻：

[1]何玉蘭.數形結合思想在高中數學解題中的應用[J].考試周刊，2015，（32）.