由批改一道中考題所引發的思考

王水生

【摘要】批改一道中考題看到考生的各類型錯誤，將共同存在的問題進行歸納、分析，發現考生基本功較差，思維缺乏完備性，探究能力不足，當然也有考生的解法精妙值得一提。反思數學教師的教學工作，應把數學課當成學生思維培養的主陣地！教師備課時要關注學習目標的設置，每節數學課對于學生的邏輯思維、形象思維和直覺思維培養的側重點不同。在數學習題教學中堅持一題多變，多題歸一。

【關鍵詞】一題多變 多題歸一 基本功 思維能力 反思

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）07-0135-02

筆者有幸參加2016年巴彥淖爾市中考第21題的閱卷工作，通過對此題的批改，對學生的解題思路和出現的種種錯誤有更深的了解，從而引發我對平時數學教學工作的反思，現撰寫成文章希望能夠對其他老師今后的教學工作有所啟發。

一、題目及評價：

如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE.已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF.

（1）求證：△ABC≌△EAF； （2）試判斷四邊形EFDA的形狀，并證明你的結論。

（2016年巴彥淖爾市中考數學第21題）

本題是考查三角形全等的判定和性質；等邊三角形的性質；平行四邊形的判定，平行線的判定等綜合內容，綜合性較強，所涉及的基本知識和技能都符合課標的要求，通過證明全等，為學生展示思維的嚴謹性、書寫的縝密性提供一個較好的平臺，第（2）問屬于結論探索型問題，其中第（1）問的證明為第（2）問的證明做了鋪墊，降低了難度，是難易適中的試題。在考查學生是否達到相應學業水平的同時，也對引導教師在教學中要關注學生的數學思維和推理能力的培養具有積極的意義。

學生答題情況分析：本題滿分8分，均分2.808分，難度0.351，考生總人數14317人，此題得滿分的有2775人，得零分數的有6796人。本題預測得分率為60%左右，但是實際得分率是46.8%，這說明學生對幾何題的證明、探索型問題的解決能力有待提高。

二、由學生解答失誤引發的思考

1.基本功比較差

學生的錯別字太多，例如：菱形、矩形、平行四邊形等的錯誤寫法有若干種，如：零形，棱形，凌形，陵形，綾形，距形，鉅形，平行四邊行，平形四邊行，菱形四邊形等等；很多學生的符號語言有錯誤如，“≌”不會寫，全等符號中的“∽”表示兩個圖形形狀相同，即相似，但是考生竟然寫成“ ～ ”“ ≈ ”；不恰當的簡寫符號，如等邊△，Rt∠，Rt△，直角△，等邊△等等，隨便亂用，真是讓改卷的數學老師都汗顏！反思這部分考生的任課教師是怎么進行教學的？新課標要求在數學課程中，應當注重發展學生的符號意識，即能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律，建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。

全等三角形的證明過程簡直是“百花齊放”，例如，對于“HL”的應用，大括號中的條件竟然是∠ACB=∠EFABA=EA或者BA=EA∠ACB=∠EFAAF=BC，對于兩個三角形判定全等的方法里竟然有“SSA”“AAA”，多人寫出這樣的模式，讓改卷老師不得不反思考生的數學老師當時是否教錯了？

2.思維缺乏完備性

第（2）問解答出錯的考生多數是誤認為已知條件中有∠AFD=60°、∠ADF=30°，或者∠AFD=∠EAF，誤認為AC⊥FD，FD垂直平分AC或者DF平分∠ADC，這是學生“直覺思維惹的禍”，直覺認為這些條件成立，拿來直接用，這種以直覺思維代替演繹推理造成了學生解題的不嚴謹。不可否認，直覺思維具有許多優點，特別是在創造活動中有著非常積極的作用，學生數學判斷能力的高低也主要取決于直覺思維。但在重視直覺思維的同時，也不可忽略演繹推理，這涉及教學的嚴謹性問題，數學的嚴謹性是靠演繹推理支撐的，對于數學嚴謹性的重視要從教學上給予支持。

學生解答失誤反映出的問題，應當引起我們的一線老師的重視，因為這折射出的是我們日常教學中的失誤和不足。華羅庚教授曾說過：在數學表達上要做到“想得清楚，說得明白”。數學所特有的嚴謹、簡潔、靈活的優良品質都應建立在嚴謹規范的基礎之上，而“學”的嚴謹在很大程度上又取決于“教”的嚴謹，嚴謹規范的“教”具有潛移默化的示范作用。重視教學的嚴謹性，可以促進學生思維的不斷加強。

3.探究能力不足

第（2）問判斷四邊形EFDA的形狀，竟然有許多考生認為是菱形、矩形，這是多么明顯的錯誤。鄰邊AE與EF分別是△AEF的斜邊和直角邊，怎么會相等？既然知道斜邊不可能等于直角邊，那么平行四邊形EFDA的鄰邊不等，它的形狀不會是菱形。另外觀察對角線AF，將∠EAD分成兩個角分別是∠EAF=60°，∠FAD=90°，兩角不等，也可以推斷四邊形EFDA的形狀不可能是菱形。由圖可以目測，四邊形EFDA的四個內角都不能是直角，自然不會出現矩形。大部分考生正確的判定了四邊形EFDA是平行四邊形，但對平行四邊形EFDA的對邊EF與AD平行且相等的證明沒有找到依據，等量代換、內錯角相等是本題的突破口，遺憾的是考生不能找到此突破口，所以不能給出正確的、完整的證明過程！

三、解法引發的思考

1.值得一提的解法

本題第（2）問猜測到四邊形EFDA是平行四邊形，有多種方法來驗證結論的正確性，但是有一種解法值得一提。

解：如圖，連接CF，FD與AC交于點G，

∵△AEB是等邊三角形

又∵EF⊥AB

∴AF=BF=AB

∵∠ACB=90°

∴CF=AB

∴CF=AF 即點F在AC的垂直平分線上

∵△ACD是等邊三角形

∴DA=DC 即點D在AC的垂直平分線上

由兩點確定一條直線可得，DF垂直平分AC，即∠AGF=∠FGC=90°

由（1）可知，∠EAB=60°，∠BAC=30°，∠EAC=60°+30°=90°

∴∠EAC=∠FGC，∴FD∥EA

∵∠DAF=∠DAC+∠BAC=60°+30°=90°

∴∠EFA=∠DAF=90°可得EF∥AD

∴四邊形EFDA是平行四邊形。

事實上，若證明FD⊥AC，則可得FD∥BC，還可利用角之間的關系，證明四邊形EFDA是平行四邊形。當然還有其他證明方法。選擇做輔助線CF很關鍵，這要依靠學生對直角三角形的斜邊上的中線的性質的熟練掌握才可能聯想到這條輔助線。

2.幾點思考

（1）根據學生在答題過程中出現的問題，作為數學教師首先反思自己的數學教學，要想提升學生的思維能力，教師要提高自身的教學水平。如何有效、高效上好一節數學課？認真備課是第一要素，不能僅僅依靠學校統一編制的學案，或者靠“題海戰術”，數學教師要把個人的智慧和學生的活動結合起來，把數學課當成學生思維培養的主陣地！

（2）數學是思維的體操，教師首先樹立明確目標，數學課的開設，目的是培養學生的思維能力，所以課堂教學是關鍵。目前采用的“學案導學”的教學模式應該是利于學生的思維培養，教師備課時要關注學習目標的設置，每節數學課對于學生的邏輯思維、形象思維和直覺思維培養的側重點不同，具體的教學中創設的問題情境、新知探究、選擇鞏固訓練題等都要用心去研究。

3.對教學的幾點建議

3.1通過一題多變，提高學生全面分析問題的能力

習題變式的具體操作方法很多，從題目的形式入手有：變化條件，變化結論，逆向調換條件和結論；從題目條件結論之間的邏輯關系入手有：類比、強化、弱化。這兩種分類，一般都屬于一題多變的范圍。例如，對某一題目的條件進行變化，從而得到變式題組。

以2016年巴彥淖爾市中考數學第21題為例。

將條件改變：

（1）增加條件，若BC=2，求四邊形EFDA的周長；

（2）把條件∠ABC=60°去掉，改為：當=____時，四邊形EFDA是平行四邊形；

（3）增加條件，連接ED交AB于點H，下列結論：

①DF⊥AC；②四邊形EFDA為平行四邊形；

③AE=4AH；④△EBF≌△DFA.其中正確結論的序號是 _________.

題目條件不變，將題目的結論橫向、縱向拓展求異，以達到以點串線，觸類旁通的目的。以2016年巴彥淖爾市中考數學第21題為例，只改變結論可以有如下變式：

（1）求證：AC=EF；

（2）求證：△ABC≌△DFA；

（3）求證：四邊形EFDA是平行四邊形。

教學中常常會見到從題目的邏輯關系入手產生變式題，從某種意義上講，是一種狹義的變式。通過創設這樣的變式題組，可以使學生從不同章節知識間的聯系，實現對基礎知識和基本技能的運用與掌握，通過變式訓練，幫助學生透徹理解題目的本質屬性，開闊解題思路，從而提高了學生的解題能力。

3.2通過多題歸一培養學生綜合分析、解決問題的能力

數學中的許多不同的章節，同一章節內又劃分為若干個單元，在不同章節之間或者同一章節不同單元之間，常常會出現在內容上的相互轉換與滲透。據此我們可以將某一單元的題目改變表達形式，改變為另一單元的題目，無論形式和內容，都變了，而題目的本質沒有變化，解答題目的方法相同。通過這些解法相同的“跨知識點”的題，可以體會多題一解，或多題歸一的含義。

例題：如圖，已知拋物線y=-（x+2）（x-m）（m>0）與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點E，且點B在點C的左側。

（1）若拋物線過點M（2，2），求拋物線的解析式。

（2）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使BH+EH最小，并求出點H的坐標。

（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點P，使△EPB的周長最小，并求出點P的坐標。

對于（2）的解答，只需確定點B與點C關于對稱軸直線x=1對稱，連接EC交對稱軸于點H，點H即為所求。此題的解法實質上是將拋物線的對稱軸看作一條河，點B、點E看作在河的同側的兩個村莊，在河岸邊建泵站，向兩個村莊供水，如何選擇泵站地點，使得所用管道最短？對于（3）求△EPB的周長最小值，由于點E和點B是確定的點，EB的長也是定值，若使周長最小，實質是在對稱軸上求一點P，使BP+EP的值最小，這樣（3）和（2）實際是同類問題，求周長最小值轉換為求線段和的最小值，即可歸結為在河岸上建泵站問題。將二次函數中求線段之和的最小值或求周長的最小值問題，轉換成已經學習過的軸對稱中最短路徑問題，難度降低了，學生思路容易被打開，會感到有收獲，產生成就感！

關于“多解歸一，多題歸一”，實際上就是華羅庚教授說的要“由厚到薄”，要把知識技能總結歸納，對解題來說，就是要把解題的經驗總結歸納，日常教學中要關注共性，形成結構，新線索進行串聯重組。作為數學教師，不是簡單的多做題，要深入思考，要重視“一題多法”“先舉三反一，再舉一反三”，不僅要樹立這種意識，而且要肯下功夫。

數學課實質就是教學生“怎樣解題”、“怎樣學會解題”，內蒙古師范大學的代欽教授認為：分析典型例題的解題過程是學會解題的有效途徑，而學會解題有四步驟基本程式：簡單模仿、變式練習、自發領悟、自覺分析。作為數學教師應堅持不斷學習，更新自己的教育教學理念，認真對待每一節數學課，針對不同的教學內容選取適當教學方法，針對不同層次的學生，采用不同的教學策略來提高學生思維能力。

參考文獻：

[1]陳永明名師工作室.數學習題教學研究（修訂版）[M].上海：上海教育出版社.2014

[2]代欽，李春蘭.初等幾何問題解決教學研究[M].西安：陜西師范大學出版總社有限公司.2010

[3]肖川.義務教育數學課程標準[M].武漢：湖北教育出版社.2013

[4]巴彥淖爾市2016年初中畢業生學業考試與高中招生考試學科質量分析

[5]胡鵬程.批閱一道中考試題引發的思考[J].中學數學教學參考：中旬，2014（11）：43-45