用母函數法統一解決三類排列與組合問題

關于三類排列與組合問題在排列組合知識中已經得到解決，但其方法都不相同，有的方法簡單，有的方法復雜。如果用母函數概念，不僅可以統一三類排列與組合問題，而且使復雜問題簡單化，簡單問題一目了然。下面我們就用母函數方法，通過舉例解決三類排列與組合問題。

一、用母函數法統一解決三類組合問題

首先，什么是母函數？

形式冪級數A（x）=anxn叫數列{an}的普通母函數，簡稱母函數。

其次，舉例用母函數法統一解決三類組合問題。

例1 在四張不同的卡片中任取3張，問有多少種不同的取法？

解：這是一個無重合組合問題

設從中任取r個的不同取法有ak種

則{an}的母函數為（1+x）（1+x）（1+x）（1+x）=（1+x）4展式中 項x3的系數a3=C=4

所以有4種不同的取法

例2 在a，b，c，d，e五個字母中任取3個，允許重復，問有多少種不同的取法？

解：這是一個無限重合組合問題

設從中任取r個的不同取法有ak種

則{an}的母函數為（1+x+x2+x3）5，而

（1+x+x2+x3）5=（）5=（1+x2）5（1+x）5

=（1+Cx2+Cx4+Cx6+Cx8+Cx10）

（1+Cx1+Cx2+Cx3+Cx4+x5）

=1+5x+10x2+35x3+…

展式中項x3的系數a3=35

所以有35種不同的取法

例3 在口袋中放著12個球，其中有3個紅球，3個白球，6個黑球，從中任取8個球，問有多少種不同的取法？

解：這是一個有限可重的組合問題

設從中任取r個的不同取法有ak種

則{an}的母函數為

（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6）

直接計算得項x8的系數a8=3+4+3+2+1=13

所以 有13種不同的取法

二、用母函數法解決三類排列問題

首先，什么是指母函數？

形式冪級數u（x）=ar叫數列{an}的數型母函數，簡稱指母函數。

其次，舉例用母函數法統一解決三類排列問題。

例4 用1，2，3，4四個數字可以組成多少個沒有重復數字的三位數？

解：這是一個無重排問題

設有ar個三位數

則{an}的指母函數為u（x）=（1+x）（1+x）（1+x）（1+x）=P

展式中項的系數a3=4？鄢3？鄢2=24

所以，可以組成24個沒有重復數字的三位數

例5 有n個正方形排成一行，今用紅、白、黑三種顏色給這n個正方形染色，每個正方形只染一種顏色。如果要求染白色的正方形必須是偶數個，問有多少種不同的染法？

解：這是一個無限可重排問題

設有ar種不同的染法

而在問題中對紅、黑兩種沒有要求，只要求白色出現偶數次，則{an}的指母函數為：

u（x）=（1+x+++…++…）

？鄢（1+x+++…++…）

？鄢（1+++…++…）

又問題是求n一無限可重排列的個數

u（x）=（1+x+++…++…）2

？鄢（1+++…++…）

=（3r+1）

所以ar=an=（3n+1），即有（3n+1）不同的染法。

例6 有五個數字，其中兩個1，兩個2，一個3，問用這五個數字能組成多少個四位數？

解：這是一個有限可重排問題

設ar表示組成r位數的個數

則{an}的指母函數為

u（x）=（1+x+）（1+x+）（1+x）

=1+3x+8+18+30+30

所以a4=30，即有30個四位數

綜上所述，用母函數法確能統一解決三類排列與組合問題，它是一種行之有效的簡便方法，它能使讀者在學習時，化繁為簡，化難為易，給其帶來莫大的方便，大家不妨試一試。

參考文獻：

[1]曹汝成.《高等代數》 （組合數學）

作者簡介：

高仕學（1956.08.30-），男，漢族，重慶人，理學士，教授，五次參與主持市級課題研究，主編數學教材，發表多篇教學論文。