運用“幾何直觀”引導學生高效學習數學

謝麗芳

（福清市江鏡中心小學，福建福清350300）

運用“幾何直觀”引導學生高效學習數學

謝麗芳

（福清市江鏡中心小學，福建福清350300）

“幾何直觀”就是借助圖形來分析問題和描述問題，它能夠解決抽象與形象之間的矛盾，幫助學生更輕松地認識數學、理解數學，積累豐富的數學活動經驗。運用“幾何直觀”，能幫助我們把復雜、抽象的數學問題轉化為各種形象生動的直觀圖，讓學生更易于理解解決問題的思路。本文結合《分數的初步認識》專題研討課，從“生活經驗、多元表征、主動建構、學以致用”四個方面，探討如何利用幾何直觀，引領學生輕松高效地學習數學。

生活經驗；多元表征；主動建構；學以致用

“幾何直觀”是數學課程標準提出的10個核心詞中非常重要的一個核心。幾何直觀就是用圖來解釋數學問題，也就是借助圖形來分析問題和描述問題。“幾何直觀”是“數形結合”的重要方法和手段，借助幾何直觀，能使復雜的數學問題變得簡單、把抽象的數學問題形象變得直觀形象，能幫助學生探索解決問題的思路、預設結果，幫助學生更輕松地學習數學，而且真正理解深刻，積累豐富的數學活動經驗。［1］

一線的教師都有這樣深刻的體會：重視運用“幾何直觀”，培養學生的“幾何直觀”，能幫助孩子更形象、更輕松地理解數學問題，降低數學問題的抽象性，有利于激發學生的學習興趣，提高學習效率。筆者平時就非常重視把抽象的數學現象和數學問題形象化，學生總能在形象生動的活動中得到收獲。

下面結合“幾何直觀”專題研討課《分數的初步認識》詳細談談對學生“幾何直觀”培養的具體方法。“認識幾分之一”是學生學習分數的起點,是學生第一次接觸與分數有關的概念。分數不是可以通過數數得到的一個數，從整數到分數，要建立一個新的數概念，是學生對數的認識的一次質的飛躍。因此，學生學習分數的知識具有一定的難度。如何利用“幾何直觀”，讓孩子在“數形結合”中輕松高效地學習、建構？可以這樣設計：借助操作、直觀，從“部分—整體”的角度初步認識分數，讓學生在動手“做分數”的過程中，初步建構“幾分之一”的分數概念，培養幾何直觀。為以后學習小數的初步認識、以及對分數的認識從感性認識上升到理性認識做好知識準備，也為提高學生用數學進行表達和交流、以及解決實際問題提供了知識和豐富的經驗儲備。

一、喚醒生活經驗，滲透幾何直觀

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：“在呈現知識和技能的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。”［1］數學教師，應該準確把握學生的生活經驗、知識經驗儲備狀況，它是我們設計教學預案的出發點。可以從學生熟悉的生活情境——“分東西”引入，在“用整數無法表示分得的結果，怎么辦？”的適宜的認知沖突中，引導學生借助“有意義的接受”的方式展開對分數的初步認識。“分東西”是學生已有的生活經驗，讓學生自覺體會到怎樣才是“公平”——平均分，喚醒學生生活經驗的同時，也喚醒學生的知識經驗。在平均分的前提下，從每份的物品數量可以用學過的整數來表示，到每份的數量不能用以前學過的整數來表示。這一過程中，引導學生用數學的眼光觀察生活、發現問題，引出對分數的學習研究：當每份的數量無法用學過的整數來表示的時候，就必須創造一個新的表示方法，新的表示方法中有一種是用分數來表示——1/2。1/2表示什么意思。這樣就喚醒了學生的生活經驗，把1/2與東西的“一半”聯系起來，滲透幾何直觀的意識。這樣在適當的認知沖突中，讓學生感受分數來源于生活，體驗分數產生的必要性，也有利于理解分數的產生是以平均分為前提，為“數”與“形”建立起了溝通的橋梁。

二、通過多元表征，培養幾何直觀

心理學研究表明：分數概念的抽象性及其理解方式的多樣性，是兒童理解分數概念的困難所在［2］。培養學生的“幾何直觀”，并不能靠一句空洞的話來實現，必須有一個具體的過程。要讓學生在充分經歷直觀——抽象——直觀的回溯過程，促使學生逐步完成從生活經驗到數學概念的轉換，建立起“行為（圖示）”與“符號”之間的一一對應關系，才能達到培養幾何直觀的目的。比如：學生通過操作初步感知，并用“一半”這樣的生活語言表示，或用畫圖表示等，老師可以再引導學生通過分割操作、畫圖、文字、數學符號等不同的方式表征1/2，逐步抽象出“1/2”這個表示分數的符號。并考慮多元表征方式之間的聯系，做到“有來有回”。讓學生既能讀懂操作過程和圖示，會用符號表示；又能根據老師給出的分數符號，用折紙活動和畫圖來表示［2］。例如在分餅過程中得出“一半”，認識分數符號“1/2”，然后，讓學生拿圖形，折一折，表示出圖形的1/2，這是根據給出的符號回溯操作活動。在“有來有回”的過程中，使“平均分”“是誰的幾分之一”兩個重點意思的理解得到深化。并增加了“回溯”的過程：認識了1/2，“你還想認識幾分之一”“折出你心中的幾分之一”、強調“是誰的幾分之一”，將做出來的圖形與分數緊密聯系在一起，自然滲透“數形結合”的數學思想，幫助學生完成抽象、形成表象，逐步理解分數的意義。

三、引導主動建構，發展幾何直觀

在培養學生的幾何直觀的過程中，要關注學生基本的生活經驗和生活經歷，豐富表象支撐［2］，促進學生的認知水平從具體形象層面向理性感知的層面過渡。教學中，可以引導學生結合生活經驗感受，與有關的知識建立聯系，主動進行操作實驗、直觀感知，主動建構，發展幾何直觀。認識幾分之一（幾分之幾）的過程，要為學生提供了大量的活動：想、折、畫、說，提供充分的動手操作、獨立思考與合作交流的機會，讓學生在活動中經歷觀察、猜測、實驗、操作、獨立思考、合作交流的過程。學生利用各種圖形的直觀感知，加深對分數的理解，將做出來的圖形與分數聯系起來。在數形結合中積極嘗試、主動感受幾何直觀的價值。教師應注重引導比較，凸顯分數的本質含義：“圖形不一樣，大小不一樣，折法也不一樣，為什么每一份都可以用1/2來表示？要想看出是幾分之一，關鍵看什么？……從直觀操作到抽象思維逐步提升，讓學生在比較中主動建構，深入理解和建構“二分之一”“幾分之一”的分數概念。讓學生把建構幾分之一的活動過程與直觀模型緊密結合，從實物模型到面積模型，豐富表象支撐，在“數形結合”的過程中，使學生對分數的意義有一個具體的認識和理解。促進學生的認知水平從具體形象層面向理性感知的層面過渡，促進學生幾何直觀的發展。

四、激勵學以致用，牢固幾何直觀

數學來源于生活，又應用于生活。學習數學知識的目的是為了運用它解決生活問題。學生的學習的過程是否有效，要通過檢驗才知道。新知學習之后，老師列舉了生活中一些常見的圖片，讓學生說一說：你看到了幾分之一？怎么看？讓學生嘗試解決一些簡單的、與分數有關的數學問題，既使學生的基礎知識和基本技能的訓練得到有效落實，又使學生感受到分數在生活中的具體應用，增加對分數的親切感。在鞏固知識的同時適當增加一些需要觀察、想象、分析、比較的拓展練習，如：下面的畫面讓你聯想到了幾分之一？你是怎么看的？你還能看出幾分之一？你又是怎么看的？“借助觀察、比較、分析，咱們就能科學地得出答案”……使數學知識的學習過程與生活有機地融合，提高學生的觀察能力、空間想象能力、分析比較能力，在應用鞏固、拓展提高的實踐性練習中體驗學習的價值。這樣，從生活中提煉出數學知識，又運用數學知識解決生活問題，學生的思維能力不斷地得到鍛煉提升。同時，也有助于學生體驗數學來源于生活，又運用于生活，體驗學習的價值，牢固幾何直觀。

數學基于生活又高于生活，利用“幾何直觀”，幫助孩子輕松學數學，又感受到學習的數學知識就在身邊，如此親切，學習的內動力自然充足，不用我們的苦口婆心，自然會積極主動地投入數學學習研究，自然學得輕松快樂，而且效果特別地好。

［1］教育部.義務教育數學課程標準［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］教師教學用書《數學三年級上冊》［M］.北京：人民教育出版版，2014.

（責任編輯：陳志華）