有機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合思想方法 切實(shí)提高初中生解題能力

陳立順

摘要：本文主要探究了如何有機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，才能提高學(xué)生的解題能力。若有不之處，還望同仁批評(píng)指正。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；初中生；解題能力

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）02-0093

新課標(biāo)在課程目標(biāo)設(shè)置上明確提出：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。可見(jiàn)，新課標(biāo)把數(shù)學(xué)思想擺到了十分重要的位置。我們知道，作為從三大數(shù)學(xué)基本思想之一的“抽象思想”派生出來(lái)的數(shù)形結(jié)合思想方法在初中數(shù)學(xué)中有特殊的地位和作用，它是學(xué)生形成良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力的重要因素。因?yàn)椤皵?shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念。“數(shù)”是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，而“形”則是空間形式的體現(xiàn)。它們兩者既對(duì)立，又統(tǒng)一。我們?cè)谘芯繑?shù)量關(guān)系時(shí)，有時(shí)要借助于圖形直觀地研究，而在研究圖形時(shí)，又常常借助于線段或角的數(shù)量關(guān)系去探求。而數(shù)形結(jié)合思想方法，正是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)考查的一種思想，即以數(shù)論形構(gòu)形，由形思數(shù)解數(shù)。也就是斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易。

那么，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，怎樣有機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合思想才能大力提高學(xué)生的解題能力呢？

一、要科學(xué)制定數(shù)形結(jié)合思想方法在整個(gè)初中階段的滲透計(jì)劃

數(shù)學(xué)教材體系有兩條基本線索：一是顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)線，二是陰性的數(shù)學(xué)思想方法線。在教學(xué)中，我們常看到，很多教師忽視數(shù)學(xué)思想方法線的設(shè)計(jì)與教學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)絕不是一蹴而就的，它以滲透為主要特征，具有長(zhǎng)期性和反復(fù)性。因此，教師對(duì)初中重要的數(shù)學(xué)思想方法包括數(shù)形結(jié)合思想方法在內(nèi)要有詳盡的教學(xué)計(jì)劃。數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透應(yīng)貫穿在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程。從有理數(shù)到實(shí)數(shù)，從代數(shù)式、方程、不等式到函數(shù)，從平行線相交線、三角形、四邊形到圓，從數(shù)軸、坐標(biāo)系到線性方程，從代數(shù)、幾何到三角，無(wú)一內(nèi)容不體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法。針對(duì)這些內(nèi)容，教師要制定詳細(xì)的滲透計(jì)劃并加以實(shí)施，在每一塊內(nèi)容學(xué)習(xí)時(shí)都要不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，并適時(shí)地開設(shè)數(shù)形結(jié)合思想方法專題課加以強(qiáng)化。讓學(xué)生時(shí)刻都感受到，數(shù)形結(jié)合思想方法不僅是推動(dòng)數(shù)學(xué)本身發(fā)展的重要方法和巨大動(dòng)力，更是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要法寶。“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”，只有這樣，數(shù)形結(jié)合思想方法才能植入學(xué)生的思想意識(shí)，甚至變成學(xué)生的潛意識(shí)。從而在以后的學(xué)習(xí)和工作中發(fā)揮巨大而持久的作用，解題當(dāng)然就更不在話下了。

二、在知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中不失時(shí)機(jī)地歸納提煉數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)學(xué)思想方法的滲透有兩條基本途徑：其中一條就是要在知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中不失時(shí)機(jī)地歸納提煉數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透也是如此。我們對(duì)“數(shù)形結(jié)合”中的“數(shù)”應(yīng)有廣義的理解，它可以是一般意義上的數(shù)，如實(shí)數(shù)：可以是表示數(shù)的式，如代數(shù)式、方程、不等式；也可以是函數(shù)等變數(shù)。“形”當(dāng)然是各種形式圖形表示。我們知道，數(shù)學(xué)中很多“數(shù)”和“形”的概念、性質(zhì)、定理都是可以用數(shù)形結(jié)合思想方法來(lái)進(jìn)行描述和研究的。教師在這些知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中一定要不失時(shí)機(jī)地歸納提煉其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想方法。即在進(jìn)行“數(shù)”的教學(xué)時(shí)，要以數(shù)論形構(gòu)形，在“形”的教學(xué)時(shí)也要由形思數(shù)解數(shù)。如在實(shí)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的教學(xué)中可以引進(jìn)數(shù)軸，用數(shù)軸加深學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解；在方程（組）及不等式（組）的解的教學(xué)中，可以引進(jìn)相應(yīng)函數(shù)的圖像，用函數(shù)的圖像加深學(xué)生的理解；一些圖形的位置關(guān)系及大小關(guān)系也可以用數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式及函數(shù)等數(shù)的模型來(lái)刻畫等。這樣，不僅能使學(xué)生理解知識(shí)變得容易，而且理解得更為廣闊和深刻。久而久之，學(xué)生在遇到“數(shù)”或“形”的難題時(shí)，會(huì)自然地想到從“形”或“數(shù)”的領(lǐng)域去突破，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。如當(dāng)學(xué)生習(xí)慣了看到代數(shù)式|x-1|就聯(lián)想到它的幾何意義時(shí)，面對(duì)下列問(wèn)題：“求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值（x為實(shí)數(shù)）”。學(xué)生就不難找到解題思路了。

例1. 已知x為實(shí)數(shù)，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。

分析 由于x的任意性、無(wú)限性，逐個(gè)求值解題明顯困難，若按x<1、1≤x<2、2≤x<3、x≥3四種情況分段討論后求最小值也較繁。繁則思變，可聯(lián)想到絕對(duì)值的幾何意義：|x-1|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x和1所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，于是求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值可轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上找出表示x的點(diǎn)P，使它到表示1，2，3各點(diǎn)的距離之和最小。現(xiàn)退到更簡(jiǎn)單的情形，如圖①，如果直線上有兩個(gè)點(diǎn)A1和A2，很明顯設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，因?yàn)榧缀鸵宜叩木嚯x之和等于A1到A2的距離。如圖②，如果直線上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，不難判斷，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A2處最合適。因?yàn)槿绻鸓放在A2處，則點(diǎn)P到A1、A2、A3的距離之和恰好為A1到A3的距離。而如果把P放在別處，例如D處，那么點(diǎn)P到A1、A3的距離之和仍是A1到A3的距離，但多了一段點(diǎn)A2到D的距離。因此，P放在A2處是最佳選擇。當(dāng)x=2時(shí)，|x-1|+|x-2|+|x-3|的值最小。

解：當(dāng)x=2時(shí)，原式的值最小。

最小值是：|2-1|+|2-2|+|2-3|=1+0+1=2

類似地，如果上述直線上有奇數(shù)點(diǎn)，P就放在中間的點(diǎn)的位置，如果有偶數(shù)點(diǎn)，P就放在中間兩個(gè)點(diǎn)之間（包括最中間兩個(gè)點(diǎn)）的任何一個(gè)位置，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，P應(yīng)設(shè)在第 臺(tái)和（ +1）臺(tái)之間的任何地方，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，P應(yīng)設(shè)在第 臺(tái)的位置。

又如，在講勾股定理時(shí)，要使學(xué)生聯(lián)想到直角邊分別為a和b的直角三角形斜邊可表示為代數(shù)式 ，在講二次根式 時(shí)，又要使聯(lián)想到它可表示直角邊分別為a和b的直角三角形的斜邊。這樣，學(xué)生就可以自主解決下列問(wèn)題了。

例2. 求出代數(shù)式 + （x為實(shí)數(shù)）的最小值。

分析：利用代數(shù)方法求代數(shù)式 + 的最小值很困難，可聯(lián)想勾股定理構(gòu)造直角三角形來(lái)求。

解：如圖③所示，作BD=12，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，設(shè)BC=x，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù) + 的最小值。

過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，

則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，

所以，AE= = =13

即 + 的最小值為13。

數(shù)學(xué)思想方法的另一條滲透途徑是：要在問(wèn)題解決的過(guò)程中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。經(jīng)過(guò)在知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中不斷地歸納提煉，學(xué)生的頭腦中已經(jīng)有了數(shù)形互相轉(zhuǎn)換的意識(shí)和模型。然而，這種意識(shí)和模型只有在解決問(wèn)題的過(guò)程中加以運(yùn)用和強(qiáng)化，學(xué)生才能最終形成解題能力。

例3. AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是半圓上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B都不重合），點(diǎn)C是BE延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD⊥AB，垂足為D，C只D與AE交于點(diǎn)H，點(diǎn)H與點(diǎn)A不重合。連結(jié)HO，若CD=AB=2，求HD+HO的值。

分析：首先要按點(diǎn)D分別在OB段，與O重合，在OA段三種情況畫出不同位置時(shí)的圖形。由CD=AB=2的條件很難直接計(jì)算求得HD+HO的值，但若設(shè)OD=x，易證△AHD∽△CBD，則可利用x的代數(shù)式表示出HD和HO，再轉(zhuǎn)化成求代數(shù)式和的運(yùn)算。

解：設(shè)OD=x，則BD=1-x，AD=1+x，

∵AB是⊙O的直徑 ∴∠AEB=90°，則∠ABC+∠BAE=90°，

又∵CD⊥AB，∴∠BAE+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠ABC，

又∵∠ADH=∠CDB=90°，∴△AHD∽△CBD.

則HD∶BD=AD∶CD，即HD∶（1-x）=（1+x）∶2，

即HD= ，在Rt△HOD中，由勾股定理得：OH= = = ，所以HD+HO= + =1；

②當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到使D與O重合的位置時(shí)，這時(shí)HD與HO重合，由Rt△AHO∽R(shí)t△CBO，利用對(duì)應(yīng)邊的比例式為方程，可以算出HD=HO= ，即HD+HO=1；

③當(dāng)D在OA段時(shí)BD=1+x，AD=1-x，同①可求得HD+HO=1

本題利用了代數(shù)法成功地求出了兩條變化的線段之和，是數(shù)形結(jié)合思想方法的成功應(yīng)用，但學(xué)生不易想到。“劍只有在磨礪中才能鋒利！”教師只有在解決問(wèn)題的過(guò)程中時(shí)時(shí)啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，讓數(shù)形結(jié)合思想方法成為學(xué)生解決問(wèn)題的習(xí)慣思維，學(xué)生才自然想到用數(shù)形結(jié)合思想方法解決遇到的困難。

三、要在作業(yè)布置和測(cè)試中精心設(shè)計(jì)數(shù)形結(jié)合思想方法類題型

課堂上學(xué)生的學(xué)習(xí)和解題一般都是在教師有意無(wú)意的啟發(fā)和幫扶下進(jìn)行的。在這樣的情境下，學(xué)生思考與解決問(wèn)題缺乏自主性與獨(dú)立性。所以，我們常看到這樣一種現(xiàn)象：學(xué)生上課聽聽都懂，可一到獨(dú)立作業(yè)或測(cè)試就不會(huì)了。數(shù)形結(jié)合思想方法的學(xué)習(xí)更是如此。這就要求我們教師要精心設(shè)計(jì)數(shù)形結(jié)合類的作業(yè)和測(cè)試題，讓學(xué)生時(shí)常獨(dú)立地經(jīng)歷和體驗(yàn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問(wèn)題的過(guò)程。只有這樣，學(xué)生才能真正領(lǐng)悟和掌握用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題。比如為了突出數(shù)形結(jié)合思想方法這一知識(shí)教學(xué)，教師可設(shè)計(jì)以下作業(yè)題：

“已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖⑤所示，試判斷a+b+c與0的大小。”一同學(xué)是這樣回答的：“由圖像可知：當(dāng)x=1時(shí)y=0，所以a+b+c=0。”他這種說(shuō)明問(wèn)題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫做 思想方法。

總之，學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的學(xué)習(xí)和掌握絕不是一朝一夕之功，它需要教師精心策劃，在學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)中進(jìn)行長(zhǎng)期的有機(jī)滲透，它更需要學(xué)生的主動(dòng)參與和獨(dú)立思考。只有這樣，才能有效地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，切實(shí)提高學(xué)生的解題能力。

（作者單位：浙江省江山市城南中學(xué) 324100）