巧用變式，減負增效

鄭麗珍

摘要：變式教學，是對教學中的數學問題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景等方面的變式。它的核心是設計一系列變式的方法，來展示知識發生、發展過程，數學問題的結構和演變過程，解決問題的思維過程，以及創設暴露思維障礙情境，從而形成一種思維訓練的有效模式。

關鍵詞：九年級數學；變式教學；教師；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0103

通過近幾年的變式教學嘗試，筆者淺談幾點體會，僅供各位同行參考。

一、變已知條件

我們在數學教學中經常會碰到這樣的問題，有些題型看起來陌生，其實它只是稍微改變了一下已知條件，而解題的思路和方法并沒有改變。所以，求解時只要牢牢抓住知識考點，萬變不離其宗。

例1. 拋物線y=x2+x-7與x軸的交點個數為 個。

變式一：拋物線y=x2+x-7與坐標軸的交點個數為 個。

錯解：由b2-4ac>0得，拋物線y=x2+x-7與坐標軸的交點個數為2個。

錯因：與坐標軸的交點既要考慮與x軸的交點，還要考慮與y軸的，所以共有3個。

變式二：拋物線y=x2+x+a與坐標軸有兩個交點，求a的值。

錯解：由b2-4ac>0得，a< 錯因同上。正解：由b2-4ac=0得，a=

變式三：拋物線y=x2+x+a與坐標軸有三個交點，求a的取值范圍。

變式四：函數y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的圖像與坐標軸有兩個交點，求a的值。

錯解：只考慮了二次函數的情況得a=- 。正解：當a-2≠0時，由b2-4ac=0得，a=- ，當a-2=0即a=2時，一次函數與坐標軸也有兩個交點。∴a取- 和2。

反思：審清題意：有沒有標明函數類型，是與x軸、y軸還是坐標軸的交點。

可見，通過改變已知條件，學生對知識考點的理解更加透徹了，培養學生在相同背景、不同條件下遷移知識的能力，跳出了題海戰術，達到舉一反三、觸類旁通的效果，增強他們的學習信心，使他們的應變能力得以提高，進而提高教學質量。

二、變問題形式

給定相同的已知條件下，教師通過改變問題的形式，引導學生獨立思考，從易到難，層層遞進，讓不同層次的學生各得其所。

例2. 如圖，將正方形ABCD沿AD、BC的中點M、N對折，得到折痕MN。再將點C折至點P的位置，折痕為BQ，連結PQ ， BP。設正方形ABCD的邊長為1。

問題1：找出圖中相等的量。

問題2：探求PBC的度數。

問題3：△PQR是否是特殊的三角形？

問題4：Q點是否為CD的中點？

問題5：QP的延長線會不會經過點A？

問題6：求MP的長。

問題7：求MP ∶ PN的值是多少？MP ∶ PR ∶ RN又如何？

問題8：聰明的你還能提出哪些有意義的問題？

分析：問題1屬于容易題，人人都會；問題2-5屬于中等題，層層遞進、環環相扣，加深了學生對這類題型的理解，并且問題4、5可以用多種方法解決，也體現了一題多解的變式思想。問題6-7屬于難題，可以用相似三角形、勾股定理、方程的思想解決，問題8屬于開發題，通過諸多問題的變式，培養了學生的發散思維和求知欲望，同時讓不同層次的學生都能吃飽。

可見，變變問題形式，對于一道題不局限于就題論題，而要進行適當變化引申，拓寬思路，培養學生的發散思維，展示知識發生、發展過程，數學問題的結構和演變過程，加深了學生對知識點的理解，避免題海戰術，取得事半功倍的效果。

三、變已知圖形

許多數學題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，并讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。

例3. 題1：如圖，A是CD上一點，ABC、ADE都是正三角形，求證CE=BD。

題2：如圖，ABD、ACE都是正三角形，求證CD=BE。

題3：如圖，分別以ABC的邊AB、AC為一邊畫正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE、BG，求證BG=CE。

題4：如圖，有公共頂點的兩個正方形ABCD、BEFG，連接AG、EC，求證AG=EC。

題5：如圖，P是正方形ABCD內一點，ABP繞點B順時針方向旋轉能與CBP′重合，若PB=3，求PP′。

反思：上述五題均利用正三角形、正方形的性質，為證明全等三角形創造條件，并利用全等三角形的性質進行進一步的計算或證明。教師要把這類題目成組展現給學生，讓學生在比較中感悟它們的共性。

四、變解題方法

教學中可以一題多解來培養學生靈活運用知識的能力，培養他們的發散思維能力，同時可以激發他們的好奇心、好勝心，培養他們的探索精神。

例4. 如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB，交AB的延長線于E，CF⊥AD，交AD的延長線于F，請你猜想CE與CF的大小有什么關系？并證明你的猜想。

分析：解法一：證明△CBE≌CDF（AAS）得CE=CF；

解法二：連結AC，證明△ACE≌△ACF（AAS）得CE=CF；解法三：先證AC平分∠BAD，再根據CE⊥AB，CF⊥AD得CE=CF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）；解法四：根據S菱形ABCD=AB×CE=AD×CF（等積法），得CE=CF。

反思：巧用多種方法，發散學生思維，培養學生一題多解的能力，巧用簡便方法，可達到事半功倍的效果，激發學生的學習興趣。

例5. 已知，如圖7，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，E為AB中點，連接CE，CD。求證：CD=2CE。

分析：解法一：取CD的中點G，連接BG，

利用三角形的中位線（BG）的性質和平行線（BG∥AC）的性質

可證△BEC≌△BGC（SAS），∴CE=CG∴CD=2CE

解法二：取AC的中點F，連結EF，

利用三角形的中位線（EF）的性質和等角（∠ABC=∠ACB）

的補角相等（即∠DBC=∠EFC）可證△EFC∽△DBC∴CD=2CE

解法三：取AC的中點F，連結BF，巧用全等易證CE=BF，

利用三角形的中位線（BF）的性質可得2BF=CD∴CD=2CE

解法四：（利用平行四邊形的判定、性質和全等）延長CE到F，使CE=EF，

易證四邊形AFBC是平行四邊形 ∴BF=AC=BD BF∥AC

∴∠CBF+∠ACB=180°∵AB=AC ∴∠ACB=∠ABC

∵∠DBC+∠ABC=180°∴∠CBD=∠CBF ∴△CBD≌△CBF（SAS）

∴CD=CF=2CE

解法五：（巧用相似）

∵AC=AB=2AE AD=2AC

∴AE∶AC=AC∶AD=1∶2

又∵∠A=∠A

∴△AEC∽△ACD

∴CE∶CD=1∶2 即CD=2CE

反思：由已知條件，首先應該聯想到等腰三角形的性質，還應考慮中點可能聯系到三角形中位線的性質，由求證的結論CD=2CE，應聯想到若改為CE∶CD=1∶2，可考慮相似三角形，由中點還可以考慮平行四邊形對角線等知識。通過本題的變式復習，鍛煉了學生靈活運用等腰三角形、三角形中位線、三角形全等、三角形相似、平行四邊形等有關知識，加強了解輔助線作法，同時激發了學生的興趣，提高了課堂的有效性。

實踐證明，變式教學能擺脫“題海”變被動思維為主動自覺思維，形成“趣學”“樂學”的氛圍，讓學生成為學習的主人，減小差生面，培養學生良好的思維品質，提高教學效益；并且適當的變式教學是課堂教學藝術的一種表現形式，它防止習題課被上成一種枯燥乏味的課，學生害怕的課；它是活躍課堂氣氛、調動學生積極性的一種有效途徑；是促進學生進行聯想、轉化、探索、推理能力的一種主要手段，能有效地提高課堂效率，最終達到提高教學質量的目的。

（作者單位：浙江省江山市城北中學 324100）