淺析高考數學中“最值問題”的思考方向與求解策略

江蘇省如皋第一中等專業學校(226500) 盧坤宏 ●

淺析高考數學中“最值問題”的思考方向與求解策略

江蘇省如皋第一中等專業學校(226500) 盧坤宏 ●

數學最值問題的求解已成為新課改形勢下高考數學中的必考點與高中數學課堂重點研究對象．本文借助于兩道最值例題，從高中數學中最常見的最值問題的四個思考方向(函數、三角函數、均值定理、線性規劃)著手分析出各個方向所必備的條件與解決問題的策略．

最值問題;思考方向;解決策略;函數;三角函數;均值定理;線性規劃

例題1 已知正數x，y滿足x+y=4，求xy的最大值．

一、利用函數的單調性求最值

函數是數學研究的重要對象，函數思想一直貫穿高中的數學教學中，因此函數也就必然成為高考的重要內容．函數隨著單調性的改變，圖象此起彼伏，圖象上就出現了高點與低點，對應的函數值出就出現了大值與小值．因此函數的單調性必然成為求解最值問題的重要工具．

1．利用二次函數的性質求最值

二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是學生在高中階段學習的一個重要函數．根據二次函數的單調性和它的圖象特點不難知道它有最大值(最高點)或最小值(最低點)，因此二次函數在求解最值中必然會有重要作用．

我們通過例題1來品味二次函數在求解最值中的作用．

分析 若我們運用函數的性質求解本題，首先我們應該看到例題1中含有兩個變量x，y，而我們高中階段所學習的函數均為一個自變量，所以我們應首先選擇消去一個變量，降二元為一元．但在消元過程中學生容易顧此失彼，忽視變量的取值范圍．通過分析我們不難得到如下解題過程:

因為正數x，y滿足x+y=4，所以y=4－x(x∈(0，4))，因此xy可化為xy=x(4－x)=－x2+4x x∈(0，4)．根據二次函數的性質不難得出當x=2時，xy有最大值為4．

通過分析求解我們可以總結出運用二次函數性質求解問題的策略:(1)消元(化多元為一元，轉化為二次函數形式);(2)定范圍(確定函數定義域);(3)求最值(根據二次函數性質確定最值)

2．高次多項式函數及超越函數運用導數求解

導數作為研究函數的一個重要工具，它以獨特的方式來闡述了函數單調性的變化規律，從而確立了它在研究函數(尤其是高次多項式函數及超越函數)中的重要地位．

我們通過例題2來體會導數在最值求解中的作用．

通過分析求解我們可以總結出運用導數求解問題的策略:(1)求導(確定函數的單調性);(2)判斷最值點．

二、利用三角函數的性質求最值

正弦函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0)是學生高中階段學習的另一個重要函數，它在自然科學中有著重要的作用．正弦函數具有獨特的單調性與有界性，確立了它在最值求解中的重要地位．

我們分別通過例題1、例題2來體會正弦函數的作用．

分析 若我們運用正弦函數的性質求解，首先我們應該考慮到正弦函數的有界性，變量必須限制在特定的范圍內，而且必須能構造出sin2α+cos2α=1的形式．

對于例題1有正數x，y滿足x+y=4，滿足了變量有界的特征．我們可以作如下考慮:設 x=4 cos2α，y=4 sin2α，則xy=4 cos2α×4 sin2α=4(sin2α)2，根據正弦函數的有界性可以得到 －1≤sin2α≤1，從而有0≤4 (sin2α)2≤4，故0≤xy≤4，因此xy的最大值為4．

通過分析求解我們可以總結出能運用正弦函數性質求解問題必須具備這樣的條件:變量有界，可構造出sin2α +cos2α=1，從而實現向三角函數的轉化．具備這一條件的問題，我們的求解策略如下:(1)

換元轉化(將原變量分別用sinα，cosα替換，轉化為三角函數的形式);(2)整理變形(化歸為f(x)=Asin(ωx +φ)+B);(3)運用正弦函數的性質求解．在求過程中要注意新元的范圍．

三、利用均值定理求最值

均值定理建立了和與積之間的不等關系，它獨特的表述形式決定了它能夠解決“和定求積”或“積定求和”的相關問題．從而確立了它在求解最值問題中的重要地位，也就自然成為了高中階段學生解決最值問題的重要工具．

我們通過上述兩個例題分別來體會均值定理在求解最值問題中的作用．

四、利用線性規化求最值(數形結合求最值)

線性規劃是高中數學的重要內容之一，它是“以形助數”即主要利用圖形的直觀性來解決問題．通過研究目標函數的幾何意義，使目標函數具體化和明朗化，從而找到最優解(最值)．作為高中數學中運用“數形結合”思想解決問題的一個重要代表，當然線性規劃也必然成為研究最值問題的一個重要工具．

通過對兩例題的分析，我們可以看到最值問題的求解的思考方向大致有函數、三角函數、均值定理、線性規劃這四個方向．而各個方向所必備的條件與解決問題的策略又有不同的特點．(1)函數方向必須具備這一特征:能通過消元，化歸為一元函數．化歸的函數為二次函數，我們可以通過二次函數的性質與圖象特點求解;若不是二次函數可以借助導數來求解．(2)三角函數方向必須具備這一特征:條件有界，能構造出sin2α+cos2α=1的形式．具備這一特征的最值問題我們可以通過換元，將變量用sinα，cosα替換，轉化為三角函數的形式．從而實現運用三角函數的有界性求解最值．(3)均值定理方向必須具備這兩特征:(1)條件中各變量均為正數;(2)條件中各變量之間必須滿足一個“定量”關系．具備這兩個特征可以思考運用均值定理來求解．(4)線性規劃方向必須具備這一特征: (1)約束條件確定(“定量”)，可作出可行域(幾何圖形); (2)目標函數(最值)，具有一定的幾何意義．具備這兩個特征可以思考運用線性規劃思想來求解．

當然這只是筆者平時教學過程中解決最值問題的粗淺的思考方向與解決的策略，我們遇到具體問題時，還需要具體分析．只有真領悟數學的方法與思想，才能融會貫通，遇題不驚，應變有道．

［1］陳克勝．求函數最值的方法舉例［J］．高等函授學報(自然科學版)．2006(2)．

［2］吳鍔．透視函數最值解法解決常見最值問題［J］．中學課程輔導，2014(8)．

［3］張明明．論高中數學常見最值問題及解題策略［J］．課程教育研究(新教師教學)，2014(9)．

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