高中概率與統計中易混問題的研究

劉凌岳

摘要：概率與統計一直是高中數學的教學難點與重點，加強對高中概率與統計中易混問題的研究，對明晰知識點、提高數學成績具有重要作用。基于此，本文將探究高中概率與統計中的易混問題，以期對高中學生學習數學有所裨益。

關鍵詞：高中；概率；統計；易混問題

中圖分類號：G633.6 文獻識別碼：A 文章編號：1001-828X（2016）033-000-01

高中概率與統計是最能反映數學應用性的章節，概率注重對隨機現象的研究，統計注重對數據的整理分析，均與日常生活息息相關。加強對高中概率與統計中易混問題的研究，具有重要指導意義。

一、高中概率與統計學習要點

1.突出統計思維

統計的一個重要特征就是能夠通過部分數據來反應或推測全體數據。所以，統計結果具有誤差性和隨機性，也就是說，統計結果是會產生一定的偏差的。從這方面來看，統計思維與確定性思維不同。但與此同時，統計思維是一種極其重要的思維方式，它在人們生產和生活中的重要性絕不亞于確定性思維。而概率統計正是不確定思維的一種數學表現形式，它能幫助我們進行科學的決策，大大降低錯誤率。

2.加強對概率意義與隨機思維的理解

概率實質上是一門研究隨機現象的科學，即：在重要因素都相同的情況下，重復多次相同的實驗而實驗結果不完全相同或不同，并且這種實驗結果是不確定的，是實驗之前無法預測的，但是，當我們大量地進行實驗時，幾種結果的發生頻率會趨于穩定。概率教學的一個重要方面就是要讓學生了解隨機現象與概率的關系，這樣做有助于培養和發展學生們的隨機觀念。此外，統計和概率是與我們日常生活聯系緊密的課程，學生在學習這兩部分知識時，應注意多體會生活中的統計和概率思想，這樣不但能使自己得到充分的鍛煉，還有助于提高個人學習興趣。

二、高中概率與統計中易混問題的研究

1.對等可能事件理解有誤

如果學生對等可能事件的概念和內涵理解不透徹，就很可能混淆等可能事件和非等可能事件。如果學生掌握辨認某一事件是否是等可能關系的能力，明確某一事件所包含的幾種表現形式，則其界定“某一事件是否是等可能”的能力必將有所提高。為此，學生在平時的學習過程中，要尤其注重“實驗解讀”類課程的學習，這類實驗課程能夠激發學生的問題探究意識，引導學生獨立動手操作來驗證自己的答案，而實驗課學習之后，要及時回歸練習題，讓自己學到的知識得到更有效的鞏固。

例題1：桌上有兩個相同的盒子，每個盒子內都放有6個標有“1、2、3、4、5、6”的大小形狀均相同的乒乓球，若小明分別從兩個盒子內隨機取出一個乒乓球，則兩球標號之和等于8的概率是多少？

本例題中，隨機從每個盒子內分別取出一球，兩球標號之和總共有11種可能，分別為：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。但此時學生容易產生思維定式，認為這11種結果是等可能的。對此，學生一方面要加強概念研究，另一方面要利用實驗課機會，親自驗證一下答案，這樣就能讓自己更深刻地認識到等可能事件的意義。

2.排列組合順序

排列組合中的順序問題至關重要。對于某一問題，從樣本空間中抽取樣本時，學生常常不明確此問題是否存在順序，即抽出來的樣本是否需要排序。而是否考慮順序直接決定了是采取“排列”方法，還是采取“組合”方法。在思考這類問題時，學生應先觀看老師的“模擬實驗”，然后再解答典型例題。“模擬實驗”就是老師通過操作幾個簡單的（樣本較少的）實例來分別展示“排列”和“組合”的應用條件以及應用結果。通過認真觀看并思考這種“模擬實驗”，學生可以非常直觀地感受到有序抽取和無序抽取的區別，加深印象。

例題2：廠家規定，20個彩球裝一盒，但因生產上的原因，每盒都存在2個次品球，檢驗人員采取一個一個往外抽取檢測的方法，并且抽出后不再放回，問：在總共抽取5個球的情況下，其中恰有一個是次品球的概率是多少？

本例題中，由于抽取順序的影響，決定了采用“排列”的方法解答，但是如果學生對是否考慮順序或其它做法產生疑惑，學生可以通過自己減少樣本數量以實驗的形式還原問題場景，幫助自己理解和加深記憶。

3.互斥、對立以及獨立事件混淆

互斥事件、對立事件以及獨立事件的概念是高中數學統計章節中的重難點內容，由于內容比較抽象，學生理解起來十分困難。實際上，三個概念并不是毫無聯系的，而是存在交叉和包含的關系。也正是由于三者之間既有交叉部分、包含關系，又有絕對區別部分，才導致學生在解答具體的題目時，容易混淆它們的概念和性質。根據老師講解例題和課下學生做練習可以得出以下結論：老師一般直接講述概念，并配合相應的例題來幫助學生理解，但是，這些例題往往是簡單、只涉及一方面內容的，例如：①將除顏色外其他都相同的紅、黃、藍三個球放在盒子中，再請一位同學隨機摸出一球，則摸出紅球和摸出藍球是互斥事件；②小明閉著眼往天空隨便拋一枚硬幣，則硬幣正面朝上和反面朝上是一組對立事件。這類比較簡單、相對基礎的題目學生解答起來絲毫沒有障礙，但如果換成課下練習題，對兩個概念甚至三個概念的辨析同時出現在同一題目中，學生解答起來就感覺困難了，出錯率也會直線上升。

例題3：將紅、黃、藍、綠四張卡片隨機放入1、2、3、4四個抽屜中，事件“1號抽屜中放置了黃色卡片”和事件“3號抽屜中放置了黃色卡片”之間是（ ）。

A、互斥但不對立事件 B、對立事件 C、獨立事件 D、以上均不正確。

對于該例題，肯定會有許多學生錯誤地選擇“B、對立事件。”選項。在講解這類同時涉及三個概念的習題時，學生就需要通過“先理解核心概念，再觀看老師的實驗演示，最后再深度剖析習題”的順序解答處理問題。

三、結語

綜上所述，本文以高中概率與統計的學習要點為切入點，從等可能事件、排列組合順序，以及互斥、對立、獨立事件等角度，詳細論述了高中概率與統計中的易混問題，希望更好地幫助高中學生進行數學學習。

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