淺談高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)

于建偉

《全日制普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。”而解題能力是數(shù)學(xué)思維能力的重要組成部分，在日常的教學(xué)實踐中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生由于不同原因?qū)е铝嗽跀?shù)學(xué)解題中出現(xiàn)了問題，本文就高中學(xué)生在解析幾何章節(jié)解題中出現(xiàn)的幾種問題淺談一下高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)。

一、審題不清導(dǎo)致出錯

例1. 直線x=π-3的傾斜角等于（ ）

A.0 B.π-3 C.π-2 D.π

分析：學(xué)生解題匆忙，望文生義，以為π-3就是傾斜角以致出錯。

解析：選C 直線x=π-3，知傾斜角為π-2.

提醒學(xué)生在日常的解題過程中培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣，提高解題的準(zhǔn)確率。

二、數(shù)學(xué)概念理解錯誤導(dǎo)致解題出錯

例2. 過點(diǎn)M（3，-4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為 .

分析：學(xué)生在解題中沒有準(zhǔn)確理解“截距”的概念，錯認(rèn) “截距”為 “距離”，認(rèn)為截距只能為正值，導(dǎo)致解題出錯。

解析：①若直線過原點(diǎn)，則k=- 4-3，所以y=- 4-3x，即4x+3y=0.

②若直線不過原點(diǎn).設(shè)x-a + y-a =1，即x+y=a.

則a=3+（-4）=-1，所以直線的方程為x+y+1=0.

準(zhǔn)確的理解概念是數(shù)學(xué)解題的前提和基礎(chǔ)，因此我們要引導(dǎo)學(xué)生透徹理解概念，準(zhǔn)確把握題意。

三、考慮問題不全導(dǎo)致解題出錯

例3. 求經(jīng)過點(diǎn)A（-5，2），且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程.

分析：學(xué)生在待定系數(shù)法設(shè)截距式方程時，忽視了截距為0的特殊情況。

解析：當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)所求直線方程為x-2a + y-a =1，將（-5，2）代入所設(shè)方程，解得a=- 1-2，所以直線方程為x+2y+1=0；當(dāng)直線過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為y=kx，則-5k=2，解得k=- 2-5，所以直線方程為y=- 2-5x，即2x+5y=0.故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0.

引導(dǎo)學(xué)生注意總結(jié)常見概念和題型中易出錯的地方，考慮問題全面，積累解題經(jīng)驗。

四、基本題型的基本解法不熟練導(dǎo)致思路受阻

例4. 若直線x-a + y-b =1（a>0，b>0）過點(diǎn)（1，1），則a+b的最小值等于（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：學(xué)生在解題時對基本不等式中1的代換求最值的方法遺忘導(dǎo)致解題受阻。

解析：選C 將（1，1）代入直線x-a + y-b =1得1-a + 1-b=1，a>0，b>0，故a+b=（a+b）（1-a + 1-b）=2+ b-a + a-b ≥2+2=4，等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取到，故a+b的最小值為4.

提醒學(xué)生注意總結(jié)典型題型的典型解法，提高自己的解題能力。

五、只會死搬硬套，不知具體問題具體分析導(dǎo)致解題受阻

例5. 已知圓C與直線y=x及x-y-4=0都相切，圓心在直線y=-x上，則圓C的方程為（ ）

A.（x+1）2+（y-1）2=2

B.（x+1）2+（y+1）2=2

C.（x-1）2+（y-1）2=2

D.（x-1）2+（y+1）2=2

分析：學(xué)生解題時憑感覺用待定系數(shù)法設(shè)未知數(shù)列方程運(yùn)算量過大，容易出錯，沒有具體考慮到題中三條直線的特殊性。

解析：選D 由題意知x-y=0 和x-y-4=0之間的距離為=2，所以r=；又因為y=-x與x-y=0，x-y-4=0均垂直，所以由y=-x和x-y=0聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），由y=-x 和x-y-4=0聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2），所以圓心坐標(biāo)為（1，-1），圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（y+1）2=2.

提醒學(xué)生具體問題具體分析是數(shù)學(xué)解題的基本要求，沒有一成不變的題型和方法。

六、常見數(shù)學(xué)思想方法不熟練，導(dǎo)致思路受阻

例6. 已知圓O：x2+y2=1，直線x-2y+5=0上動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的一條切線，切點(diǎn)為A，則|PA|的最小值為 .

分析：學(xué)生只看到兩端點(diǎn)都是動點(diǎn)的|PA|線段，不知道把它用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)移到只有一個動點(diǎn)的|PO|線段，陷入解題陷阱。

解析：過O作OP垂直于直線x-2y+5=0，過P作圓O的切線PA，連接OA，易知此時|PA|的值最小.由點(diǎn)到直線的距離公式，得|OP|==.又|OA|=1，所以|PA|==2.

教師授課講授解題方法時不要忘穿插數(shù)學(xué)常見的解題思想，幫助學(xué)生提高解題能力。

七、運(yùn)算能力不足導(dǎo)致出錯

例7. 橢圓C +=1左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn).

當(dāng)△F2AB的面積為時，求直線的方程.

分析：運(yùn)算能力不足與應(yīng)對解析幾何中繁雜的運(yùn)算，導(dǎo)致解題中斷，是非常典型的問題。

解析：當(dāng)直線的傾斜角為π-2時，A（-1，3-2），B（-1，- 3-2），S△ABF2= 1-2|AB|·|F1F2|= 1-2×3×2=3≠.當(dāng)直線的傾斜角不為π-2時，設(shè)直線方程為y=k（x+1），代入 +=1得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，

所以S△ABF2= 1-2 |y1-y2|×|F1F2|=|k|=|k|==，所以17k4+k2-18=0，解得k2=1（k2=舍去），所以k=±1，所以所求直線的方程為x-y+1=0或x+y+1=0.

運(yùn)算能力是學(xué)生解題能力的集中體現(xiàn)，應(yīng)引起老師和學(xué)生的共同關(guān)注和下大力氣解決的問題。

學(xué)生在解題中出錯的路千條萬條，但只有真正提高自己的解題能力，才能少犯錯，不犯錯，從而走到正確的解題道路上來。

注：本文為河南省教育科學(xué)研究所河南省農(nóng)村學(xué)校應(yīng)用性教育科研課題“高中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中思維障礙的成因及突破研究”成果。