淺談高中學生數學解題能力的培養

于建偉

《全日制普通高中數學新課程標準》指出“高中數學課程應注意提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一?！倍忸}能力是數學思維能力的重要組成部分，在日常的教學實踐中我們發現學生由于不同原因導致了在數學解題中出現了問題，本文就高中學生在解析幾何章節解題中出現的幾種問題淺談一下高中學生數學解題能力的培養。

一、審題不清導致出錯

例1. 直線x=π-3的傾斜角等于（ ）

A.0 B.π-3 C.π-2 D.π

分析：學生解題匆忙，望文生義，以為π-3就是傾斜角以致出錯。

解析：選C 直線x=π-3，知傾斜角為π-2.

提醒學生在日常的解題過程中培養良好的解題習慣，提高解題的準確率。

二、數學概念理解錯誤導致解題出錯

例2. 過點M（3，-4），且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為 .

分析：學生在解題中沒有準確理解“截距”的概念，錯認 “截距”為 “距離”，認為截距只能為正值，導致解題出錯。

解析：①若直線過原點，則k=- 4-3，所以y=- 4-3x，即4x+3y=0.

②若直線不過原點.設x-a + y-a =1，即x+y=a.

則a=3+（-4）=-1，所以直線的方程為x+y+1=0.

準確的理解概念是數學解題的前提和基礎，因此我們要引導學生透徹理解概念，準確把握題意。

三、考慮問題不全導致解題出錯

例3. 求經過點A（-5，2），且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程.

分析：學生在待定系數法設截距式方程時，忽視了截距為0的特殊情況。

解析：當直線不過原點時，設所求直線方程為x-2a + y-a =1，將（-5，2）代入所設方程，解得a=- 1-2，所以直線方程為x+2y+1=0；當直線過原點時，設直線方程為y=kx，則-5k=2，解得k=- 2-5，所以直線方程為y=- 2-5x，即2x+5y=0.故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0.

引導學生注意總結常見概念和題型中易出錯的地方，考慮問題全面，積累解題經驗。

四、基本題型的基本解法不熟練導致思路受阻

例4. 若直線x-a + y-b =1（a>0，b>0）過點（1，1），則a+b的最小值等于（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：學生在解題時對基本不等式中1的代換求最值的方法遺忘導致解題受阻。

解析：選C 將（1，1）代入直線x-a + y-b =1得1-a + 1-b=1，a>0，b>0，故a+b=（a+b）（1-a + 1-b）=2+ b-a + a-b ≥2+2=4，等號當且僅當a=b時取到，故a+b的最小值為4.

提醒學生注意總結典型題型的典型解法，提高自己的解題能力。

五、只會死搬硬套，不知具體問題具體分析導致解題受阻

例5. 已知圓C與直線y=x及x-y-4=0都相切，圓心在直線y=-x上，則圓C的方程為（ ）

A.（x+1）2+（y-1）2=2

B.（x+1）2+（y+1）2=2

C.（x-1）2+（y-1）2=2

D.（x-1）2+（y+1）2=2

分析：學生解題時憑感覺用待定系數法設未知數列方程運算量過大，容易出錯，沒有具體考慮到題中三條直線的特殊性。

解析：選D 由題意知x-y=0 和x-y-4=0之間的距離為=2，所以r=；又因為y=-x與x-y=0，x-y-4=0均垂直，所以由y=-x和x-y=0聯立得交點坐標為（0，0），由y=-x 和x-y-4=0聯立得交點坐標為（2，-2），所以圓心坐標為（1，-1），圓C的標準方程為（x-1）2+（y+1）2=2.

提醒學生具體問題具體分析是數學解題的基本要求，沒有一成不變的題型和方法。

六、常見數學思想方法不熟練，導致思路受阻

例6. 已知圓O：x2+y2=1，直線x-2y+5=0上動點P，過點P作圓O的一條切線，切點為A，則|PA|的最小值為 .

分析：學生只看到兩端點都是動點的|PA|線段，不知道把它用轉化思想轉移到只有一個動點的|PO|線段，陷入解題陷阱。

解析：過O作OP垂直于直線x-2y+5=0，過P作圓O的切線PA，連接OA，易知此時|PA|的值最小.由點到直線的距離公式，得|OP|==.又|OA|=1，所以|PA|==2.

教師授課講授解題方法時不要忘穿插數學常見的解題思想，幫助學生提高解題能力。

七、運算能力不足導致出錯

例7. 橢圓C +=1左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點.

當△F2AB的面積為時，求直線的方程.

分析：運算能力不足與應對解析幾何中繁雜的運算，導致解題中斷，是非常典型的問題。

解析：當直線的傾斜角為π-2時，A（-1，3-2），B（-1，- 3-2），S△ABF2= 1-2|AB|·|F1F2|= 1-2×3×2=3≠.當直線的傾斜角不為π-2時，設直線方程為y=k（x+1），代入 +=1得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，

所以S△ABF2= 1-2 |y1-y2|×|F1F2|=|k|=|k|==，所以17k4+k2-18=0，解得k2=1（k2=舍去），所以k=±1，所以所求直線的方程為x-y+1=0或x+y+1=0.

運算能力是學生解題能力的集中體現，應引起老師和學生的共同關注和下大力氣解決的問題。

學生在解題中出錯的路千條萬條，但只有真正提高自己的解題能力，才能少犯錯，不犯錯，從而走到正確的解題道路上來。

注：本文為河南省教育科學研究所河南省農村學校應用性教育科研課題“高中學生在數學解題中思維障礙的成因及突破研究”成果。