初中數學拓展性課程的“哺育”與“反哺”
——“平方根”與“無理數的由來”對比研究

☉浙江杭州市富陽區永興中學 許靈嘉

初中數學拓展性課程的“哺育”與“反哺”
——“平方根”與“無理數的由來”對比研究

☉浙江杭州市富陽區永興中學 許靈嘉

拓展性課程開發的興起是伴隨著新一輪基礎教育課程改革出現的新生事物.2015年《浙江省教育廳關于深化義務教育課程改革的指導意見》指出：義務教育課程分為基礎性課程和拓展性課程.基礎性課程指國家和地方課程標準規定的統一學習內容；拓展性課程指學校提供給學生自主選擇的學習內容，是對基礎性課程的補充與拓展.

筆者認為，基礎性課程與拓展性課程猶如大樹與枝葉.基礎性課程提供主干作用，滋養著拓展性課程，對拓展性課程的開發和實施起到指導作用；拓展性課程豐富了基礎性課程的內容，也為基礎性課程的學習服務.那么，如何運用基礎性課程指導拓展性課程的設計、開發，拓展性課程又如何為基礎性課程服務呢？筆者通過一節成功的基礎性課程“平方根”教學與筆者在所在學校開設的拓展性課程“數學史拾趣”中“無理數的由來”一課進行對比探究.

一、明月松間照：基礎性課程對拓展性課程的“哺育”作用

（一）基礎性課程教學是拓展性課程教學的“指南針”.

基礎性課程的教學經過長時間的研究、實踐，有較為完善的體系，而拓展性課程作為新生事物，其教學處于探索階段.筆者認為，拓展性課程不是一門“想怎么教就怎么教”的課程，它也需要形成教學方法，基礎性課程的教學為其提供了“指南針”作用.

1.教學程序.

在“平方根”教學中，筆者運用的是概念教學的一般程序：

圖1 “平方根”教學程序

在“無理數的由來”教學中，筆者借鑒“平方根”的教學程序進行：

圖2 “無理數的由來”教學程序

筆者在拓展性課程“無理數的由來”中運用了基礎性課程“平方根”概念教學的教學程序，使教學過程完整、有序.

兩者的對比研究：

表1：“平方根”與“無理數的由來”教學程序對比表

由此可見，基礎性課程的教學程序為拓展性課程提供指導，而在具體的程序中，基礎性課程更注重知識的理解和應用，拓展性課程可以更注重知識的由來發展及趣味性體現.

2.教學方法.

“平方根”概念辨析環節教學實錄：

一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫作a的平方根.如果x2=a，則x叫作a的平方根.

師：在這個定義里，你還能讀出更多的信息來嗎？你覺得這里的a是一個什么樣的數？

生1：a是一個非負數.

師：a為什么是非負數？

生1：負數的平方是正數，正數的平方依然是正數，還要考慮0的平方是0，所以一個數的平方一定是非負數.

師：非常厲害！進一步，這里還有一個字母，你認為x是什么情況？

生2：x可能是正數、負數或0.

師：是不是同時出現的？

生3：不是，正數有兩個平方根，一個是正數，一個是負數，0只有一個平方根，就是0.

師：你的意思就是根據a的取值分情況來看.x是一個數或者是兩個數，如果是兩個數，一正一負什么關系？

生（七嘴八舌）：互為相反數.

師：看，我們又分析得到了兩個字母的取值問題，所以我們要善于發現概念背后的隱含信息，把它讀出來.

筆者在“平方根”的概念教授過程中花了大量的時間在概念的剖析上，以概念中的兩個字母為切入點，分析兩個字母的取值，得到了概念的隱含條件且順其自然地得到了平方根的性質.這樣的概念教學是學生依據自己已有的知識和經驗主動加以建構得到的，體現了學生的主體地位，又深入了概念本質.這為學生以后的概念學習提供了方法指導，既讓學生對數學知識有了深刻的認知，又培養了學生數學學習的能力.

由此可見，基礎性課程的教學已有理論支持和方法指導，在日常的教學中，一線教師已基本掌握基礎性課程的教學方法，所以拓展性課程的教學需要借鑒、依據基礎性課程的教學方法.比如，概念教學要深入概念本質，不能因為是拓展性課程就一帶而過；拓展性課程也需要以學生為主體，使學生根據已有知識經驗主動地對知識進行建構；基礎性課程需要培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，拓展性課程更是學生提出、分析、解決問題的最好平臺.

（二）數學思想方法的滲透是拓展性課程的“風向標”.

初中數學蘊含著大量的數學思想與方法，這些是數學學習最本真的東西，在基礎性課程中隱性地體現其中.

“平方根”教學片段實錄1：

師：乘方的逆運算是什么？我們一起來研究一下.首先我們來回憶一下乘方運算，xn中，x稱為底數，n稱為指數，整個結果稱為冪.在乘方運算中，比如，x的平方、立方、四次方……如果要一一研究，特別難，那我們怎么辦？

生（齊）：挑一個.

師：你挑哪個？

生（齊）：平方，簡單.

“平方根”教學片段實錄2：

師：乘方的逆運算有嗎？我們先來看加法的逆運算是怎么產生的.加法運算中有加數、和，已知一個加數與和，求另一個加數，產生了減法.那么乘除呢？

生1：乘法運算中已知一個因數和積，求另一個因數，產生了除法.

師：那么乘方呢？加法運算中我們把一個加數變成問號產生逆運算，乘法運算中我們把一個因數變成問號產生逆運算，乘方運算中我們把什么變成問號？

生（齊）：底數.

師：求指數的運算我們高中將學習——對數，求底數的運算我們今天來學習，也就是乘方的逆運算——開方.

“平方根”教學片段實錄3：

觀察思考：兩種運算有什么不同？

圖3

“無理數的由來”教學片段實錄1：

師：通過計算我們發現，我們可以得到一系列越來越接近的近似值，但是不能做到底，這與我們學過的很像，它們都是無限不循環的小數，我們把這種無限不循環小數叫作無理數.你還能舉出類似的無理數嗎？

“無理數的由來”教學片段實錄2：

(二)離合詞“A了個B”與網絡語“A了(嘞)個B”在不同的語體中使用。前者一般在書面語體中或是在正規場合的口語中出現。而后者則主要出現在網絡即時工具聊天，網絡游戲或者網絡論壇中，不過現在也開始“入侵”到非正規場合的口語中，用以表示幽默和時髦。如：

兩者對比研究：“平方根”三個教學片段分別在教學過程中滲透了從一般到特殊的數學研究方法、類比的數學思想、圖表探究法等數學思想方法，基礎性教學對數學思想方法的滲透可見一斑.“無理數的由來”中，從特殊的的研究、得到一般的無理數的概念，滲透了從特殊到一般的數學思想方法；模仿是無理數的證明方法證明是無理數運用了類比思想；又由特殊的無理數證明可以歸納出證明一般的“開不盡方”產生的無理數的方法.

顯而易見，是基礎性課程對數學思想方法的滲透方式指導著拓展性課程如何在教學過程中體現數學思想方法.而拓展性課程的教學更是滲透數學思想方法的最好平臺.

（三）短片式閱讀為拓展性課程提供“活水源”.

在“平方根”教學中，涉及根號的學習，筆者通過查閱根號的演變歷史，在教學中以短片式閱讀的方式向學生介紹了根號的寫法：

平方根號曾經用拉丁文“Radix”（根）的首尾兩個字母合并起來表示.1840年前后，德國人用一個點“.”來表示平方根.1525年，路多爾夫在他的代數著作中，首先采用了“”表示根號，“”是由拉丁字母“r”變化而來的.十七世紀初葉，法國數學家笛卡兒在他的《幾何學》中，第一次使用現今的“這是出于什么考慮呢？有時候被開方數的項數較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫線把這幾項連起來，因此我們的根號書寫中橫線長短要恰當.

這樣的教學素材為筆者的拓展性課程的開展提供了“活水源”，在“無理數的由來”一課中，筆者將“根號的歷史”作為一塊內容展開進行教學：

根號的由來

古時候，埃及人用記號“┌”表示平方根.印度人在開平方時，在被開方數的前面寫上ka.

1840年前后，德國人用一個點“.”來表示平方根，兩點“..”表示4次方根，三個點“...”表示立方根，比如，.3、..3、...3就分別表示3的平方根、4次方根、立方根.

與此同時，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個字母的大寫R來表示開方運算，并且后面跟著拉丁文“平方”一字的第一個字母q，或“立方”的第一個字母c，來表示開的是多少次方.

直到十七世紀，法國數學家笛卡爾（1596—1650年）第一個使用了現今用的根號“在一本書中，笛卡爾寫道：“如果我想求a2+b2的平方根，就寫作，如果想求a3+b3+abc的立方根，則寫作求

這是出于什么考慮呢？有時候被開方數的項數較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫線把這幾項連起來，前面放上根號就為現時根號形式.

立方根符號出現得很晚，一直到十八世紀，才在一書中看到符號的使用，比如25的立方根用表示.以后，諸如等形式的根號漸漸使用開來.

由此可見，一種符號的普遍采用是多么地艱難，它是人們在悠久的歲月中，經過不斷改良、選擇和淘汰的結果，它是數學家們集體智慧的結晶，而不是某一個人憑空臆造出來的，也絕不是從天上掉下來的.

兩者對比研究：基礎性課程的數學史滲透或短片式閱讀的呈現方式更為簡潔，它所起到的作用主要是引入，激發學生一定的學習興趣，拓寬學生的視野.“平方根”中根號的演變歷史介紹另一用途是由此強調了根號書寫中橫線的用處及寫法.基礎性課程介紹的這些數學史、短片式閱讀往往可以成為拓展性課程的設計開發的“活水源”，拓展性課程可以在此基礎上對內容、形式進行拓展，形成自身的教學內容.

基礎性課程的依據主要是課程標準和教材.由于課程改革，目前的教材中有大量的短片式閱讀為拓展性課程的開發提供了“活水源”.筆者所在學校將浙教版數學教材提供的短片式閱讀進行了簡單整理，這些基礎性課程的內容已經成為或即將成為開展拓展性課程教學的“活水源”，運用到學生開設的拓展性課程的開發和實施中.

1.課題學習與設計題.

數學來源于生活又服務于生活.現實生活中有大量與時代發展同步的數學素材，開發這些數學素材應用于拓展性課程的教學，既可以加深學生對數學知識的理解，又能提升學生的數學應用意識.教材中的課題學習與設計題為我們提供了范例.

表2

2.探究活動或習題.

教材中的探究活動或習題往往與所學內容相關，有一定的探究價值又具有一定的趣味性，由此可以開發由學生主體參與的問題發現、探究、解決、反思、歸納等形式的拓展性課程，通過運用數學的基本思想解決問題，讓學生感悟數學思想，歸納和形成解題方法和策略，激發學生數學學習的興趣，提升學生的數學素養.

表3

3.數學史閱讀.

數學史是研究數學思想和方法產生、發展及其規律的科學，有關的數學的重大歷史事件、重要的數學成果及其研究過程、數學大師的介紹等都能有機融入數學課程.數學史的滲透有助于學生用發展的眼光看數學、用堅毅的品質研究數學、用大家的眼光理解數學.

表4

七年級下冊第135頁閱讀材料八年級上冊第21頁閱讀材料實驗與歸納推理實驗與歸納推理費馬和他的猜想費馬大定理八年級上冊第79頁閱讀材料從勾股定理到圖形面積關系的發展勾股定理探索八年級上冊第125頁閱讀材料八年級下冊第129頁閱讀材料九年級上冊第52頁閱讀材料笛卡爾笛卡爾與直角坐標系有趣的拼圖移動與剪拼機會均等有趣的概率游戲九年級上冊第94頁閱讀材料生活離不開圓九年級上冊第101頁閱讀材料九年級上冊第122頁閱讀材料九年級上冊第159頁閱讀材料美妙的鑲嵌黃金分割精彩的分形生活中的圓與數學中的圓數學的構圖美學

二、清泉石上流：拓展性課程對基礎性課程的”反哺“作用

“有興趣的同學可以課外自己去研究.”這是我們數學教師提及教材中的探究活動、設計題、閱讀材料或布置課外實踐活動作業時常用的一句話.試問：學生課外真的去“研究”了嗎？有多少學生會去“課外研究”？他們又是否有時間、有能力去自行研究呢？作為教師，我們需要關注這些問題，真正為學生進行“課外探究”創造條件.拓展性課程為這樣的”課外探究“創造了條件.拓展性課程由基礎性課程“哺育”，又“反哺”基礎性課程的教學和學習.

（一）激發學生的興趣和成就動機.

有趣的數學實驗、生動的數學探究、精彩的數學歷史等都可以很大程度上激發學生的學習興趣，讓學生明白數學并不是一門枯燥呆板的學科，而是一門不斷發展、可以不斷探究的生動有趣的學科.在拓展性課程的學習中，評價可以多元化，同時，實驗、探究、閱讀等過程中每個人都有收獲，這使學生獲得數學學習的成就感，從而由于這種成就動機而更加熱愛數學學習.

（二）促進學生的數學思考和理解.

新課程強調讓學生經歷數學思維過程，體驗解決問題策略的多樣性.由于課程內容、時間的限制，基礎性課程無法給學生提供調查、探究、實驗等較大型數學課題學習的平臺，比如，調查“初中生最喜愛的電視節目”，七巧板、魔法、折紙等實驗，拓展性課程可以打破這種局限，提供這一平臺，讓學生參與問題的發現、探究、解決、反思、歸納等過程，促進學生的數學思考和對數學問題的理解.

（三）幫助學生形成正確的數學觀.

數學并不是單純的知識和習題，并不是坐在教室里耳朵聽、動腦思考、動筆做的課程，數學還有對問題的探究，還有調查和數據整理，還有生活的運用，還有美圖的構建，還有游戲，還有理財等.學習數學并不是學會做題和考試，還需要走出課堂深入生活.數學定理、公式并不是寫在書本上然后去記憶、背誦，還需要用嚴謹的態度和思維方式去探究、發現，還需要學會提出問題、分析問題、解決問題等.拓展性課程的設置可以通過這些方式幫助學生形成正確的數學觀.

（四）發展理性精神和創造性思維.

在數學閱讀中，學生可以知道當“萬物皆數”成為畢達哥拉斯學派的信條時，希伯索斯卻提出了無理數的存在，成為“叛逆者”而被葬身大海，由此產生了數學史上第一次數學危機；芝諾悖論和理發師悖論分別產生了數學史上的第二次、第三次數學危機.數學史的拓展性課程中可以介紹數學史上三次危機的產生與解決，介紹悖論，介紹未被證明的定理等，這些對基礎性課程的補充讓學生用發展的眼光看數學，鼓勵學生鍥而不舍地追求真理并不斷創新.

1.浙江省教育廳.浙江省教育廳關于深化義務教育課程改革的指導意見［Z］.浙教基〔2015〕36號.

2.王冰.教材分析——從宏觀到微觀［J］.中學數學教學參考，2011（5）.

3.史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.李紅婷.課改新視域：數學史走進新課程［J］.課程·教材·教法，2005（9）.