從統計學的角度理解“平均數”

牛獻禮

【摘要】平均數是一個重要的統計量，它的統計學意義是能刻畫、代表一組數據的整體水平（一般水平）。在教學中，如何落實《義務教育數學課程標準（2011年版）》所強調的“從統計學的角度理解平均數”呢？如何將算法水平的理解與統計學水平的理解整合起來呢？筆者在教學中創設“記數游戲”的情境，讓學生在數學活動中體驗平均數的代表性。接著，借助直觀形象的象形統計圖，動態呈現“移多補少”的過程，直觀理解“平均數能刻畫一組數據的整體水平”。然后，精心設計應用練習，把“平均數”與真實的生活情境相鏈接，在解決現實問題的過程中應用平均數，體驗平均數，從而更深入地理解平均數的意義。

【關鍵詞】平均數 統計學意義 情境

教學內容：人教版數學四年級下冊“平均數”

教學思考：

學生如何學習“平均數”這一重要概念呢？傳統教學側重于對所給數據（有時甚至是沒有任何統計意義的抽象數）計算其平均數，即側重于從算法的水平理解平均數，這容易將平均數的學習演變為一種簡單的技能學習，忽略平均數的統計學意義。因此，《義務教育數學課程標準（2011年版）》特別強調從統計學的角度來理解平均數，然而什么是“從統計學的角度”來理解平均數呢？在教學中如何落實？如何將算法水平的理解與統計學水平的理解整合起來？

平均數的統計學意義是它能刻畫、代表一組數據的整體水平（一般水平）。平均數不同于原始數據中的每一個數據（雖然可能碰巧等于某個原始數據），但又與每一個原始數據相關，代表這組數據的平均水平。要對兩組數據的總體水平進行比較，就可以比較這兩組數據的平均數，因為平均數具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公平。

那么，在教學中如何落實呢？筆者在課的起始環節設計了“記數游戲”的教學情境，并精心設計了歡歡的三次記憶數據都是“5”，目的是讓學生憑直覺體驗平均數的代表性；而樂樂的三次記憶數據分別是5、4、9，到底哪個數據能代表樂樂的一般水平呢？自然激發了學生的認知沖突。設計這些活動的核心就是讓學生體驗平均數的代表性。

計算平均數通常有兩種方法，即“移多補少”和“總數÷份數”，每種方法的教育價值各有側重點，其核心都是強化對平均數意義的理解，而非僅僅計算出結果。教學中，利用直觀形象的象形統計圖，通過動態的“移多補少”過程，為理解平均數所表示的均勻水平提供感性支撐。這樣做，強化了平均數的產生過程，是對平均數能刻畫一組數據的整體水平的進一步直觀理解，強化了對平均數意義而非算法的理解。

在通過兩種方法求出平均數之后，一再追問：“這里的平均數6是樂樂第一次記住的個數嗎？”“是樂樂第二次、第三次記住的個數嗎？”“那它代表的究竟是哪一次的個數？”通過這樣的追問，連同后續教學中的“計算自己記數的平均數”，幫助學生理解平均數只刻畫整體水平而不是真正的其中某一次記住的個數，從而強化了平均數的統計學意義。

由于平均數這個概念對小學生而言是非常抽象的（因為它“虛幻”，學生不能具體看到），平均數的背景也很復雜，因此能敘述出“平均數能較好地反映一組數據的總體情況”或者“會計算平均數”并不等于真正理解了平均數，還要看能否在不同情境中運用平均數，能使用它來解決實際問題。如果學生能在稍復雜的背景下運用平均數的概念解決問題，說明學生就初步理解了平均數，而且也更容易感受到平均數的應用價值。為此，教學中精心設計了“全班同學的平均身高”“辯一辯，說一說”“想一想，選一選”的應用練習，把“平均數”與真實的生活情境相鏈接，在解決現實問題的過程中應用平均數、體驗平均數，從而更深入地理解平均數的意義。

教學過程：

一、記數游戲——認識“平均數”

規則：每次出現10個數字，觀察2秒鐘，看你每次能記住幾個數字。

1.師生一起玩三次，讓學生記錄自己每次記住的數字個數。

2.出示：歡歡和樂樂比賽，“誰記住的數字多”。

出示：（1）歡歡3次記住數字的情況統計表（3個5逐次呈現）。

師：還真巧，歡歡三次都記住了5個。看來，要表示歡歡能記住的個數，用哪個數比較合適？為什么？

生：因為她三次都是記住了“5個”，所以用“5”這個數代表歡歡的水平。

（2）樂樂3次記住數字的情況統計表。

師：樂樂三次記住的個數都不相同，又該用哪個數來表示樂樂記住數字的一般水平呢？（同學們意見不一）

質疑：能不能用“9”來表示樂樂記住的個數呢？（對歡歡“不公平”）那能不能用“4”來表示樂樂記住的個數呢？（對樂樂“不公平”）

生：應該計算出這三個數的平均數，用平均數表示比較公平。

師：怎樣求出這組數據的平均數呢？

生：（4+5+9）÷3=6（個），先求出三次記住的總個數，再用總個數除以3，就是平均一次記住的個數。（板書：總數÷次數=平均數）

生：還可以把多的數給少的數，勻一勻，求平均數。

出示：象形統計圖，動態呈現“移多補少”的過程。

師：數學上，像這樣從多的里面移一些補給少的，使得每個數都一樣多，這種求平均數的方法叫作“移多補少”。移完后，樂樂每次記住了幾個？（6個）能代表樂樂記住數字的一般水平嗎？（能）

師：其實，無論是“移多補少”，還是“總數÷次數”，目的只有一個，就是使原來幾個不相同的數變得同樣多，數學上把這個數叫作原來這幾個數的平均數（板書）。在這里，我們就說6是5、4、9這三個數的平均數。

追問：這里的平均數“6”是樂樂第一次記住的數字嗎？（不是）是他第二次、第三次記住的數字嗎？（不是）那奇怪啦，哪一次也沒記住6個數字呀？那它究竟代表的是什么呢？

生1：代表的是“平均”記住的個數。

生2：代表的是他的平均水平。

師：“6個”是三次的個數“勻”出來的，平均數“6”代表的是這三次的平均水平。（板書：平均水平）用平均數“6”代表樂樂的水平，公平嗎？

生：公平！

二、聯系實際——深化理解“平均數”

1.計算自己的“記數平均數”

讓生獨立計算出自己記數的平均數，全班交流。

生1：我三次分別記住了4個、6個、8個，平均數是（4+6+8）÷3=6。

生2：我三次分別記住了6個、8個、9個，平均數是（6+8+9）÷3≈7.7。

生3：我三次分別記住了6個、10個、9個，平均數是（6+10+9）÷3≈8.3。

……

師：很奇怪！你們記數時，要么記住了，要么沒有記住，怎么出現了小數呢？

生1：因為這是平均數，并不是實際記住的數，所以可以是小數。

生2：平均數并不是真實的數，是代表平均水平的數，所以出現小數很正常。

師：確實，平均數并不是每一次記住的真實的個數，而是一個“虛幻”的數，代表的是這一組數據的平均水平。

2.生活中的“平均數”

師：說一說生活中你在哪里見到過“平均數”。

生：考試平均分、平均身高、平均體重、平均年齡……

現場測量全班最高和最矮的兩位同學的身高（1.65米、1.41米）。

師：你估計一下我們班同學的平均身高是多少米？

生：1.45米、1.48米、1.50米、1.47米……

師：你們為什么不估計平均身高是1.65米呢？

生：1.65是最大的數，它還要移一些補給少的。所以不可能是1.65米。

師：你們為什么不估計平均身高是1.41米呢？

生：1.41米是最小的數，其他數都比它大，移一些補給它以后，就不止是1.41米了。

師：這樣看來，盡管還沒有計算，但我們可以肯定的是，平均身高應該比這里最大的數——

生1：小一些。

生2：還要比最小的數大一些。

生3：應該在最大數和最小數之間。

師：平均數是一個——

生：不大不小的數。（板書：不大不小的數）

三、應用練習——深化理解“平均數”

1.辯一辯，說一說

（1）學校籃球隊隊員的平均身高是160厘米，籃球隊員壯壯的身高有可能是155厘米嗎？（ ）

生：有可能。

師：不對呀！不是說隊員的平均身高是160厘米嗎？

生：平均身高160厘米，并不表示每個人的身高都是160厘米。萬一壯壯是隊里最矮的那個，當然有可能是155厘米了。

生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊員身高的一般水平，并不代表隊里每個人的身高。壯壯有可能比平均身高矮，如155厘米，當然也可能比平均身高高，如170厘米。

師：看來，平均數代表的是一組數據的一般水平，并不是其中的一個數據。

（2）池塘平均水深120厘米，亮亮想：我身高155厘米，下水游泳一定不會有危險。（ ）

生：不對！

師：為什么呀？亮亮的身高不是已經超過平均水深了嗎？

生：平均水深120厘米，并不是說池塘里每一處的水深都是120厘米。可能有的地方比較淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比如180厘米。所以，亮亮下水游泳可能會有危險。

師：說得真好！想看看這個池塘水底下的真實情形嗎？

出示池塘水底的剖面圖，印證同學的說法。

生（很驚訝）：原來是這樣，真的有危險！

（3）樂樂所在的三（1）班，同學們的平均身高是1.36米；可可所在的三（2）班，同學們的平均身高是1.32米。判斷下面說法是否正確，為什么？

①樂樂一定比可可長得高。（ ）

生：不對。因為樂樂有可能是三（1）班里最矮的，他的身高不到1.36米，甚至1.32米都不到，高個同學需要“勻”一些身高給他；可可有可能是三（2）班里最高的，他的身高“勻”給了個矮的同學。

②總體上說，三（1）班同學比三（2）班同學長得高。（ ）

生1：不對，因為兩個班的人數有可能不一樣多。

生2：是對的，因為題目中說“總體上說”，是看他們的“總體水平”，而我們學過“平均數能較好地反映一組數據的總體水平”，所以比較平均數就行了。1.36大于1.32，就說明總體上說，三（1）班比三（2）班同學長得高。

師：你同意哪一種意見？（生2）確實，平均數代表的是一組數據的總體水平，“總體上說”，三（1）班的1.36米要比三（2）班的1.32米高。

2.想一想，選一選

小林和小華進行了三場套圈比賽，每人每次都是套15個圈，下面是小林套中個數的統計。

A.比10個多 B.比10個少 C.套中10個

師：小林第三次套中的個數可能會是多少呢？為什么？

師：能確定第三次套中幾個嗎？為什么？

生1：7個。因為第一次的12比平均數10多2個，就需要移走2個，第二次的11比平均數多1個，需要移走1個，這樣一共要移走3個給第三次，所以第三次是10減3等于7個。

生2：我補充一下他的說法，因為第一次和第二次都比平均數多，它們都要移走幾個給第三次，所以第三次一定比平均數少。

生3：我是算出來的，10×3=30（個），30-12-11=7（個）。

師：真好！利用“移多補少”或者計算都能知道第三次是7個。如果第三次套中的不是7個，而是4個，平均數又該是多少？

生1：12+11+4=27（個），27÷3=9（個）。

生2：不用算就能知道，原來是7個，現在是4個，少了3個，平均分到每一次上，每一次正好可以分1個，所以平均數就少了1，變成了9個。

出示：兩次套圈情況統計圖。

師：請大家觀察剛才兩次套圈的統計圖，你有什么發現？

生：前兩次成績一樣，第三次成績變了。

師：兩次的平均數呢？

生：也不一樣。

師：看來，要使平均數發生變化，只需要改變其中的幾個數？

生：一個數。

師：難怪有人說，平均數很敏感，一組數據中的任何一個有點兒“風吹草動”，都會使平均數發生變化。現在看來，這話有道理嗎？（有）大家還有別的發現嗎？

生：比平均數多的部分和比平均數少的部分一樣多，都是3個。

師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數的部分和不到平均數的部分都一樣多呢？

生：如果不一樣多，超過的部分移下來后，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數了。

師：說得有道理！這也是平均數的一個重要特點。

四、課堂總結。