數(shù)學實驗：數(shù)學“創(chuàng)客教育”的課程載體

摘要：作為數(shù)學“創(chuàng)客教育”的課程載體，數(shù)學實驗有著自身的特質(zhì)——思想與實踐對接、歸納與演繹圓融、思維與創(chuàng)造共生。運用“創(chuàng)客教育”理念進行數(shù)學實驗，要警惕“講解”對“操作”的代替、“結(jié)果”對“過程”的僭越、“操作”對“思想”的輕視。在引領兒童進行“數(shù)學眾創(chuàng)”過程中，必須引發(fā)兒童的“主動之意”，彰顯兒童的“理解之美”，呈現(xiàn)兒童的“解放之樂”，實現(xiàn)兒童的“成長之需”，由此開辟嶄新的兒童數(shù)學“眾創(chuàng)路徑”。

關鍵詞：數(shù)學實驗；創(chuàng)客教育；課程載體

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）04A-0069-04

基于互聯(lián)網(wǎng)時代“大數(shù)據(jù)”、“云計算”背景，以創(chuàng)新為靈魂的“創(chuàng)客教育”必須扎根學校課堂。作為數(shù)學“創(chuàng)客教育”的課程載體，數(shù)學實驗能夠有效統(tǒng)合課程資源，實現(xiàn)跨學科、跨領域的知識融合、技能整合。在數(shù)學實驗過程中，兒童擺脫“離身思維”，“手腦”結(jié)合、“做思”共生，形成一種“具身認知”。[1]數(shù)學實驗將成為開啟數(shù)學“創(chuàng)客教育”的新動力引擎。

一、創(chuàng)客教育：訴求數(shù)學實驗的“課程價值”

現(xiàn)代數(shù)學觀認為，數(shù)學不是無可懷疑的“真理集合”，而是動態(tài)、可誤的，是一個不斷地猜想、嘗試、計算、推理、證實或證偽的動態(tài)生長過程。正是在這個意義上，著名數(shù)學教育家波利亞說，“數(shù)學有兩個側(cè)面：一方面是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數(shù)學像是一門系統(tǒng)的演繹科學；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學。”在數(shù)學“創(chuàng)客教育”過程中，數(shù)學實驗有著獨特的課程價值。

（一）思想與實踐對接

所謂數(shù)學實驗，是指兒童在數(shù)學學習過程中所產(chǎn)生的操作性、印象性或符號性的實驗或準實驗（虛擬實驗），它超越了純粹的“紙筆數(shù)學”，讓兒童的數(shù)學思想與數(shù)學實踐無縫對接、有效整合。教學《三角形三邊關系》，筆者首先向?qū)W生們提供一根小棒（15厘米），讓學生測量，然后讓他們自主創(chuàng)造“結(jié)構(gòu)性素材”——將小棒分成三段嘗試圍，在圍的實驗過程中展開自我追問：為什么有的能圍成，而有的卻圍不成？思維的觸角延伸至“三角形三邊的數(shù)據(jù)關系”。最后筆者讓學生們將“圍成”和“圍不成”的實驗數(shù)據(jù)用表格分類整理，產(chǎn)生對“三角形三邊關系”的理性認識。在此，數(shù)學實驗引領兒童數(shù)學思維，數(shù)學思維修正兒童的數(shù)學實驗。[2]

（二）歸納與演繹圓融

數(shù)學實驗開辟了兒童“用手思考問題”的道路，兒童正是在“動手做”的過程中解壓了數(shù)學思維。同時，數(shù)學思維反過來對數(shù)學實驗經(jīng)驗進行必要的凝聚——抽象和概括。這是一個伴隨兒童認知沖突、矛盾解決的不斷猜想、探究、嘗試與論證的過程。教學《兩位數(shù)除以一位數(shù)》，筆者首先出示63÷3，學生用手中的小棒實驗，有的先分個位上的3根，有的先分十位上的6捆；然后筆者出示76÷2，學生依然是兩種分法，但已經(jīng)開始通過自我“內(nèi)部言語”歸納出“先分十位”更合理、更方便些；接著筆者出示42÷3，這時個位上的2不夠分，學生只能從高位開始。在學生通過實驗理解了算理后，筆者讓他們進行豎式計算，演繹生成出“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的算法模型[3]。從“工具操作”到“表象歸納”再到“符號演繹”，兒童的實踐經(jīng)驗升華為數(shù)學的理性認知。

（三）思維與創(chuàng)造共生

數(shù)學實驗是孕育兒童數(shù)學創(chuàng)造的孵化器，兒童的一個個“小微創(chuàng)”在數(shù)學實驗中誕生。在“微創(chuàng)”過程中，兒童主動觀察、思維、想象、推理，主動畫圖、剪拼、測量，等等。教學綜合實踐活動——《神奇的“莫比烏斯圈”》，筆者首先讓學生觀察、觸摸，他們迅速感知到：“莫比烏斯圈”只有一個面、一條邊。然后，筆者讓學生用剪刀沿“莫比烏斯圈”中線剪開，他們驚奇地發(fā)現(xiàn)：剪后的“莫比烏斯圈”變成一個大紙環(huán)。接著，筆者讓學生展開實驗，于是有學生剪了“莫比烏斯圈”的三分之一，有學生先剪二分之一，再剪二分之一等。在看、剪的過程中，他們萌發(fā)出創(chuàng)造性想象：老師，如果把磁帶做成莫比烏斯圈，就不用翻面了；老師，如果把“輸送帶”做成莫比烏斯圈，或許能延長使用壽命呢……學生們激情飛揚，創(chuàng)意迭出。最后，筆者用迷人的“莫比烏斯建筑”、“莫比烏斯涼鞋”等激活兒童創(chuàng)想、創(chuàng)行。

二、創(chuàng)客教育：觀照數(shù)學實驗的“問題現(xiàn)象”

在數(shù)學實驗過程中，兒童的抽象思維與形象思維并存，感性觀察與理性分析交織。唯有如此，數(shù)學學習才能激活兒童的“群智群力”，激發(fā)兒童的研究與探索。然而，當我們運用“創(chuàng)客教育”理念觀照當下數(shù)學實驗時，卻發(fā)現(xiàn)存在諸多問題——“數(shù)學講解”對“實驗操作”的代替、“數(shù)學結(jié)果”對“實驗過程”的僭越、“實驗操作”對“數(shù)學思想”的輕視等。

（一）“數(shù)學講解”對“實驗操作”的代替

數(shù)學實驗是實施數(shù)學“創(chuàng)客教育”的價值載體。實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學實驗蜻蜓點水、一帶而過，甚至將豐富生動的“做實驗”減縮為“說實驗”“講實驗”“演實驗”。教學《可能性》，有教師為節(jié)約課堂教學時間，將他們自認為枯燥、繁瑣的摸球?qū)嶒灪喕驊抑茫詳?shù)學講解，讓學生們猜測“摸球結(jié)果”，直接出示數(shù)學家研究“等可能性”的“拋硬幣”實驗數(shù)據(jù)。如此，兒童體驗不到事件的隨機性，更談不上掌握統(tǒng)計方法、感悟概率思想。

（二）“數(shù)學結(jié)果”對“實驗過程”的僭越

教學中，有教師為追求實驗結(jié)果一步到位，甚至為求實驗順暢而對實驗過程進行前置告知、過渡預設，導致兒童操作簡單、思維膚淺。教學《圓的周長》，一位教師首先出示圓周率近似數(shù)——3.14，接著讓學生實驗驗證。于是有學生用“繞線法”測量圓周長，有學生用“滾圓法”測量圓周長。通過計算圓周長和直徑的商，學生發(fā)現(xiàn)不是3.14，他們?yōu)橛辖處熂娂姶鄹摹⒍抛珜嶒灁?shù)據(jù)，甚至懸置數(shù)學實驗，代之以數(shù)學計算。充滿童趣的探究實驗被教師誤導為驗證實驗，而教師對兒童實驗過程又缺乏具體、明確的指導，導致兒童偽造實驗數(shù)據(jù)。

（三）“實驗操作”對“數(shù)學思想”的輕視

在創(chuàng)客教育中，“實驗”是“數(shù)學”的載體，“思想”是“數(shù)學”的靈魂，要警惕兒童淪落為機械的“操作工”。必須導引兒童展開深度的數(shù)學思考，讓兒童感悟、體驗、應用數(shù)學。例如“間隔排列”問題是數(shù)學經(jīng)典問題，有教師教學時只是蜻蜓點水地讓學生“擺學具—觀察特征”“猜想—驗證”。整個過程沒有“對應學具”的分組操作，沒有讓學生慢慢感悟“對應思想”，導致學生一頭霧水，始終不能深刻理解“為什么‘兩端物體相同，‘兩端物體比‘中間物體多1”，在應用時學生不知所措，加1、減1還是相等呢？

三、創(chuàng)客教育：探尋數(shù)學實驗的“眾創(chuàng)路徑”

作為體驗式學習，數(shù)學實驗是兒童在“做中學”、“做中玩”、“做中研”、“做中創(chuàng)”。實驗過程中，教師成長為創(chuàng)客導師，營建創(chuàng)想氛圍、打造創(chuàng)想空間、激發(fā)兒童創(chuàng)想意識，對兒童的實驗創(chuàng)新進行“眾扶”、“眾籌”，讓兒童想創(chuàng)、敢創(chuàng)、能創(chuàng)。

（一）從“約”到“放”，通過“對比實驗”引發(fā)兒童“主動之意”

在數(shù)學實驗過程中，要引發(fā)兒童主動學習的愿望，讓兒童自主建構(gòu)。教學《圓錐的體積》，許多教師實驗時直接出示“結(jié)構(gòu)性素材”——“等底等高的圓柱圓錐”，這是教師脅迫下兒童的“被實驗”，為什么非得選擇圓柱且是“等底等高”的圓柱？[4]筆者教學時由“約”而“放”，首先出示大小、形狀不同的立體模型（如長方體、正方體、圓柱體、三棱柱等）讓學生自主選擇。學生們紛紛選擇圓柱。

師：你們?yōu)槭裁催x擇圓柱？

生1：因為圓柱和圓錐的底面都是圓形，便于比較。

師：這里有四種規(guī)格的圓柱圓錐（“等底不等高”1組、“等高不等底”1組、“等底等高”2組、“不等底不等高”2組），你們選擇哪種規(guī)格？

生2：我選擇“等底等高”的圓柱圓錐，這樣更便于比較。

接著筆者讓學生用四種規(guī)格的圓柱圓錐（裝沙子、水）分組進行對比實驗。學生們驚奇地發(fā)現(xiàn)有三組實驗結(jié)果是“圓柱的體積大約是圓錐體積的三倍”，其中兩組是“等底等高”，一組是“不等底不等高”。接著筆者組織學生討論，討論中，他們認識到，由于沙子之間有空隙，所以用水做實驗更科學，并且深刻地感悟到，等底等高的圓柱圓錐，圓柱的體積一定是圓錐的3倍，而圓柱的體積是圓錐的3倍，它們可能“等底等高”，也可能“不等底不等高”。他們還用“高瘦瘦和矮胖胖”生動地解釋“不等底不等高”的實驗結(jié)果。這里，兒童充分發(fā)揮自我數(shù)學實驗的能動性，真正經(jīng)歷了“圓錐體積公式”誕生歷程，成為數(shù)學意義上的“創(chuàng)客”。

（二）從“迷”到“思”，通過“模型實驗”彰顯兒童“理解之美”

兒童在生活、數(shù)學學習中會產(chǎn)生許多“迷思概念”（一種錯誤概念或思維結(jié)構(gòu)），教學中教師可以運用數(shù)學實驗點化兒童思維，讓兒童思維澄明、敞亮。

六年級試卷有這樣一道選擇題：一個真分數(shù)，如果分子和分母同時加上k（k>0），所得分數(shù)（）（>、<、=）原分數(shù)。許多學生看到“同時加上k”，所以選擇了“現(xiàn)分數(shù)=原分數(shù)”。

對于兒童的“迷思”，筆者沒有如一般教師運用“假設法”（即舉幾個例子讓學生嘗試運算），而是做了一個可視性的“模型實驗”[5]。

師：老師這兒有一杯糖水，它的糖占糖水 ，如果老師再加入k克糖，糖、糖水、含糖率分別發(fā)生了怎樣的變化？

生1：糖多了，糖水也多了。

生2：變甜了。

師：變甜了就是什么變化了？

生3：含糖率升高了。

師：現(xiàn)在你知道一個分數(shù)的分子和分母同時加上同一個大于0數(shù)，分數(shù)變大的道理了嗎？

學生們恍然大悟，原來一個抽象的“不等式問題”竟然可以用一個“糖水濃度”實驗來解釋，既直觀形象又嚴密深刻！這里，兒童感受到數(shù)學的美妙與神奇。

（三）從“低”到“高”，通過“模擬實驗”呈現(xiàn)兒童的“解放之趣”

數(shù)學實驗過程應該成為兒童感受數(shù)學力量的過程，充分彰顯兒童的解放旨趣。從本質(zhì)直觀到理性判斷，兒童能夠感受自我的本質(zhì)力量！教學《長方形和正方形面積》，筆者讓學生們做“貼瓷磚”的模擬實驗。

教師首先給出一個小長方形紙（長、寬均為整厘米數(shù)），讓學生用“1平方厘米”的小正方形塑料片進行拼擺，通過數(shù)，兒童直觀感知到長方形紙的面積；然后出示一個大長方形紙，先讓學生估計長方形紙的面積，再讓他們用直尺分別量出長方形紙的長、寬，接著再讓他們用“1平方厘米”的小正方形塑料片拼擺。學生發(fā)現(xiàn)，塑料片不夠拼擺了。

師：不夠拼擺怎么辦呢？

生1：可以用筆畫出空出的部分，然后數(shù)一數(shù)。

生2：可以先用小正方形塑料片擺一行，然后畫一條橫線，再沿著這條橫線向上對折。（簡化思想初現(xiàn)端倪）

生3：可以在頭腦中想象。

師：非得畫滿、折滿么？有沒有更為簡單的方法？（沉默片刻）

生4（興奮地）：只要用小正方形擺在長方形紙的長邊和寬邊上，然后再用“長邊上的個數(shù)”乘“寬邊上的個數(shù)”。

生5：長方形紙的長邊長度就是長邊上的小正方形的個數(shù)，寬邊長度就是寬邊上的小正方形的個數(shù)，所以我們只要知道長方形紙的長和寬，就能算出長方形紙的面積。

至此，“長方形的面積公式”自然誕生了。教師故意設置“短斤缺兩”的工具，讓兒童超越實驗的工具理性，經(jīng)由自我的實踐理性，邁向數(shù)學的解放理性。

（四）從“外”到“內(nèi)”，通過“切片實驗”實現(xiàn)兒童的“成長之需”

作為數(shù)學“創(chuàng)客教育”的課程載體，數(shù)學實驗能夠讓兒童外顯的實踐操作與內(nèi)隱的數(shù)學思維有機融合，讓活動成為外化的思維，讓思維成為內(nèi)化的活動。正是在這個意義上，用手思考也可以理解為用頭腦做、用頭腦看、用頭腦聽……例如對于這樣的習題：

小英像圖這樣擺正方形，擺1個用4根小棒，擺2個用7根小棒，擺3個需要（）根小棒，擺10個呢？擺15個呢？100根小棒能擺多少個正方形？

教學時，筆者讓學生做“切片實驗”[6]，即用火柴棒擺前幾個圖形探究，以小見大找規(guī)律。操作中，筆者適度介入，給操作注入思維，擺1個正方形需要幾根火柴棒？擺2個正方形需要增加幾根火柴棒？上下看，增加幾根？左右看，增加幾根……學生們將操作結(jié)果用表格進行整理，形成“實驗切片”。

當學生們操作到第3個正方形時，筆者引導他們觀察，將實驗結(jié)果用算式進行記錄，于是產(chǎn)生了多樣化的數(shù)學表達：

生1：4；4+3；4+3×2；……

生2：1+3；1+2×3；1+3×3；……

生3：2+2；4+3；6+4；……

生4：1×2+2×1；1×3+2×2；1×4+2×3；1×5+2×4；……

…………

師：還需要接著擺下去嗎？

生：不用了，我們找到了規(guī)律。

在擺小棒過程中，兒童始終關注著各自視界里的規(guī)律。這些規(guī)律的探尋過程是兒童將自我外在的操作實驗內(nèi)化成自我的思想實驗。他們在頭腦里操作，在頭腦中“下盲棋”，經(jīng)過自我推理、計算，建構(gòu)出各自的數(shù)學規(guī)律，其核心素養(yǎng)得到了提升。

數(shù)學實驗是一種打通教材文本和兒童知識經(jīng)驗、學習心理等的主客交融的綜合性學習。在這種整體性學習中，兒童主動觀察、思考、操作、發(fā)現(xiàn)。數(shù)學實驗為數(shù)學理解提供了外源幫助，數(shù)學理解為數(shù)學實驗提供了內(nèi)源支撐。在數(shù)學實驗過程中，兒童從依賴操作實驗的工具性理解走向超越操作的關系性理解、創(chuàng)新性理解，進而實現(xiàn)自我的思維躍遷，數(shù)學實驗室也成為兒童的“創(chuàng)想空間站”、“數(shù)學創(chuàng)客坊”。

參考文獻：

[1]葉浩生.身體與學習：具身認知及其對傳統(tǒng)教育觀的挑戰(zhàn)[J].教育研究，2015（4）.

[2]武建軍.數(shù)學實驗：小學生實踐操作與數(shù)學思維的視界融合[J].江蘇教育（小學教學），2015（1）.

[3]劉正松.數(shù)學實驗：推開數(shù)學學習的另一扇窗[J].教育研究與評論（小學教育教學），2015（8）.

[4]陳蕾.以“圓錐的體積”為例談小學數(shù)學實驗的教學[J].江蘇教育（小學教學），2009（6）.

[5]儲冬生.數(shù)學實驗：小學生實踐操作與數(shù)學思維的視界融合[J].教育研究與評論（小學教育教學），2011（12）.

[6]孫朝仁.朱桂鳳.初中數(shù)學“實驗切片”銜接教學的實踐與思考[J].江蘇教育研究（實踐版）.2015（6）.

責任編輯：石萍

收稿日期：2016-10-28

作者簡介：汪樹林，如皋市東陳鎮(zhèn)丁北小學（江蘇如皋，226571）教科室主任，南通市骨干教師，研究方向為兒童數(shù)學教與學。