百僧吃九十二饃如何

陳連玉

原題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭。小僧三人分一個，大小和尚得幾丁？”意思是：100個和尚吃100個饅頭。大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個。求大、小和尚各多少人。（以下簡稱“題1”）

大部分教師是這樣解的：從題中信息“大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個”，知道1個大和尚和3個小和尚一共吃4個饅頭，也就是說4個饅頭正好分給1個大和尚和3個小和尚。所以我們可以把100個饅頭每4個分成一組，一共可以分成100÷4=25組，而100個和尚也正好分成這樣的25組。在每組中有1個大和尚和3個小和尚，這樣就可知大和尚有25人，小和尚有75人。這就是用分組法解答“雞兔同籠”一類的具體問題。

如果用“雞兔同籠”問題的常用解法，即用假設法來解答，我們可以這樣解答：假如全部是大和尚，那么就會吃掉100×3=300個饅頭，這樣就多吃300-100=200個饅頭。而把3個小和尚當作3個大和尚，就會多吃3×3-1=8個饅頭，多吃8×2個饅頭就是把3×2個小和尚當成3×2個大和尚了，多吃8x3個饅頭就是把3×3個小和尚當成3×3個大和尚了……所以小和尚是200÷8×3=75個，大和尚是25個。

顯然，分組法解答本題是最省事，學生也最容易理解的方法。不過，題目中有這樣的信息：大、小和尚數是成比例關系的（從人數和饅頭數都可以分成25組可知），即是可以分成組，分成1個大和尚帶3個小和尚的小組，也就是1個大和尚和3個小和尚，2個大和尚和6個小和尚這樣搭配成組的情況。

但如果大、小和尚數不成比例的話，用該分組法就解答不出了。我們不妨設計一個題2——百僧吃九十二饃：100個和尚吃92個饅頭。大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個。求大、小和尚各多少人。

如果我們不仔細分析，一開始就用分組法來解答的話：92個饅頭可以分成92÷（3+1）=23組，因此大和尚有23個，小和尚有100-23=77個。

我們馬上就會發現，小和尚數目不對，不是3的倍數，為什么呢？這就回到題1——百僧吃百饃這問題的特殊性，饃跟和尚都是剛好可以分成25組，即他們是成比例的。而我們看題2，和尚可以分成100：-4=25組，但是92個饃只能分成92÷4=23組，可見他們是不成比例的，所以本題用假設法求解才對。用假設法我們可以這樣解答：假如全部是大和尚，那么就會吃掉100×3=300個饅頭，這樣就多吃300-92=208個饅頭。而把3個小和尚當作3個大和尚，就會多吃3×3-1=8個饅頭，也就是每多出8個饅頭就是把3個小和尚當成3個大和尚了，所以小和尚是208÷8×3=78個，大和尚是22個。

如果我們把題2改造成一個成比例的數字關系，出題3：假如我們學校四年級45個師生開展植樹比賽，教師1人可以植樹3棵，學生2人可以植樹l棵，共植樹60棵，求教師、學生各多少人。

此時，因為師生分組數為45÷（1+2）=15組，和種植的樹的分組數60÷（3+1）=15組是相同的，即師生數是成比例的，所以用分組法解答本題是最快捷的，即教師15人，學生30人。而該題用假設法解答就較費事：假如全部是教師，那么就可以植樹45×3=135棵，這樣就多出135-60=75棵。把2個學生當作2個教師，每次就會多出3×2-1=5棵，也就是每多出5棵樹就是把2個學生當成2個教師了，所以學生是75+5x2=30個，教師是45-30=15個。

筆者在這里研究不成比例的數量關系，即題2的這種情況，在正常授課時是不一定要拓展的。教師們講解“百僧吃百饃”的問題時，需注意其中的“成比例”（分組數相同）問題。教師是有必要了解到這一點的，否則，所提供的分組法就還有邏輯上的缺陷。