我國住房反向抵押貸款的長壽風險分析
——基于Black-Scholes期權定價方法

張英琪胡偉西南財經大學保險學院

我國住房反向抵押貸款的長壽風險分析
——基于Black-Scholes期權定價方法

張英琪胡偉西南財經大學保險學院

一、背景介紹

自新中國成立以來，第一個五年經濟計劃后，中國人口死亡率由1949年的20‰下降到1957年的10.8‰。在改革開放后，我國人口死亡率從1970年的7.6‰下降到2013年的5.86‰。中國人的平均預期壽命由1981年的67.77歲上升至2010年的74.83歲，且平均預期壽命延長的趨勢仍在繼續。

上個世紀80年代中期后，老年人口比重每年持續增加。根據世界衛生組織（WHO）的定義：“一個國家65歲以上的人口占總人口的7%以上（或60歲以上的人口占總人口的10%以上）即稱為老齡化社會，14%以上則稱老齡社會，20%以上則稱超老齡社會。”中國在2000年時，65歲以上的人口占比就已經達到了7%，截至2014年，我國60周歲及以上人口有21242萬人，占總人口的15.5%，65歲以上的人口占總人口的10.1%，人口老齡化不斷加劇。根據全國老齡辦的預測，到2020年，我國老年人口將達到2.48億，老齡化水平將達到17%。

綜上所述，在人口老齡化社會背景下，中國的長壽風險與日俱增。對個人而言，長壽風險是個人在其壽命期限內的累計支出超過自身累積財富導致退休金短缺的風險。對政府而言，我國政府是養老保險的主要提供者，長壽風險會增加養老基金的支出，加重政府的財政負擔。

在中國，老年人的收入主要來自兒女的供給、社會養老保險、工作時積累的企業年金或者職業年金。由于上個年代的生育政策，我國現在大部分家庭結構是“421”型和“8421”型，隨著二胎政策的開放，家庭結構將走向“422”結構，這使得傳統的家庭養老模式受到沖擊。企業年金和職業年金在我國普及范圍并不廣泛，2015年領取企業年金的僅有89.7萬人。對于大部分退休老人，收入的主要來源是社會養老保險，可是我國的社會養老保險從現收現付制轉向積累制，個人賬戶并未落實，社保基金也面臨巨額缺口。

?圖11953—2013年人口年齡結構和撫養比

因此，在現在的時代背景下，探索新的養老方式，充分利用老年人生命周期內的資源，借助于現有的金融和非金融體系，保證老年人的收入，保障老年人的老年生活幸福安康是十分必要的。

2013年，中國部分城市開展了“以房養老”養老產品的試點，該產品借鑒了美國的“以房養老”模式，而美國的“以房養老”模式的本質是住房反向抵押貸款。住房反向抵押貸款主要會面臨利率風險、長壽風險、房價波動風險和道德風險。本文主要探究在老齡化背景下的中國，“以房養老”的養老模式是否會面臨長壽風險。

二、選擇的死亡率情景

截至目前，我國有三張人壽保險生命表，但由于第三張人壽生命表于2017年1月1日正式啟用，故本文選取前兩張生命表即CL（1990-1993）和CL（2000-2003）運用期間的數據進行分析。通過對比2000年、2010年和2013年全國分年齡死亡率，我們發現十幾年來各年齡階段的死亡率明顯降低，特別是高年齡階段的死亡率下降得更為明顯。對年金類保險來說，沿用CL（2000-2003）會嚴重低估長壽風險。

為了精確地衡量住房抵押反向貸款中的長壽風險，我們納入日本死亡率作為參考。眾所周知，中國在擁有自己的第一張生命表之前，用的都是日本生命表，因為就人體內在因素而言，中國人和日本人的基因構成相似?；贖MD數據庫，我們用SPSS軟件，對中國2000年和2010年全國死亡率的數據與日本1947至2012年全國死亡率數據進行相關性分析，發現兩國人口死亡率相關性很強（我國2000年的死亡率與日本1978年和1980年相關性最高，而2013年死亡率與日本1991年的死亡率相關性最高）。因此，我們選取日本的人口死亡率作為預測未來我國人口死亡率變化的參考。

隨后我們進一步分析兩國高齡人口死亡率的變化。

我們觀察圖4發現，隨著日本國內經濟的發展，日本65歲以上的人死亡率經歷了一個快速下降到逐步穩定的過程。

圖5顯示，最近20年來，中國老齡人口的死亡率呈下降趨勢。而中國是一個發展中國家，我們的醫療水平和相關健康意識都還有提高的余地，死亡率有可能會進一步下降，也有可能逐步趨于穩定。

在此假設三個死亡率的情景：情景一是好的情景，即未來死亡率和2000年的年金表中的死亡率一直保持一致；情景二是中等的情景，即中國現在死亡率還處于下降狀態，未來高齡人群死亡率會和日本2010年時穩定的死亡率保持一致；情景三是最差的情景，相對于CL（2000-2003），未來我國高齡人群死亡率會下降一半。

三、房屋反向抵押貸款的期權定價模型

為了方便研究和考慮到家庭財富代際間傳遞的中國本土文化，我們將研究對象確定為有贖回權的住房反向抵押貸款養老產品。

根據有贖回權的住房反向抵押貸款的定義，我們將其視為一種歐式看跌期權，如果在抵押貸款合同到期時，房屋價值超過貸款人給付給借款人的貸款本息之和，借款人可以選擇償還其所有貸款贖回自有房屋；反之，如果房屋價格低于貸款人給付的貸款本息之和,借款人會放棄執行贖回自有房屋的權利。

我們假設貸款人支付給借款人貸款的本息之和XeRt=K（R為貸款合同的利率水平），K為期權的執行價格。當合同結束時，如果房屋價格小于貸款人支付給借款人的貸款額度st＜K，借款人在合同到期后不執行該期權；如果房屋價格大于貸款人支付給借款人的貸款額度st＞K，借款人在合同到期后有動機選擇執行期權。所以，合同結束時，貸款人收入的現值等于房價期望的現值減去期權價格，即

根據等價原則，貸款人在合同生效時一次性支付給借款人的貸款總額等于貸款人在合同結束時從借款人處得到的收益的現值。為了計算貸款額，我們需要計算抵押房屋未來價格和贖回權的價值。

在金融市場中，一般都假設基礎資產的價格變動服從幾何布朗運動。因此我們假設房價的變化跟股價的變化相同，都服從幾何布朗運動

其中：st表示合同已經生效t時間長度的房屋價格，

μ表示房屋價格的預期收益率，

σ表示房屋價格的波動率，

wt表示標準布朗運動。

根據前面的分析，我們可以得到貸款人在合同結束時的收益的現值用公式表現為

由房屋價格服從幾何布朗運動：

可求得：

到期具有贖回權的反向抵押貸款合同中期權價格為

綜合上述結果，我們可以得到合同到期貸款人能夠獲得的收益現值（也即借款人在合同生效時最多能夠獲得的一次貸款額度滿足以下公式：

其中：X是合同存續時間t的函數，X=X(t)。

X(t)表示擁有贖回權的借款人在參保t年后死亡，借款人能夠在合同生效時獲得的貸款額度，對于單個借款人的余命是不確定的，是一個隨機變量。

假設x歲的借款人的余命為t∈(0,w-x)，借款人合同生效時能夠借到的貸款X(t)，借款人的余命密度函數為fx(t)，則借款人能借到的貸款期望為L=X(t)×(t)dt。三部分的模型，求解兩種死亡率情景下的住房抵押貸款的一次性支付額。根據兩種情景下的定價結果，得到系統性長壽風險對住房抵押貸款經營的影響。

為了得到某種死亡率情景下，合同生效時借款人能夠獲得的貸款數額，首先對房屋價格服從的幾何布朗運動過程的參數進行估計，然后根據第三章模型得到不同余命的借款人合同生效時能夠獲得的一次性貸款數額，最后代入相應的死亡率數據，得到借款人在合同生效時獲得一次性貸款的期望值。

以下實證分析采用成都市商品房2011年7月到2015年12月銷售價格作為房價數據。

四、實證分析

（一）房屋價格函數的參數估計

根據模型關于房價的假設，房價服從幾何布朗運動：

為了度量系統性長壽風險對保險機構經營住房反向抵押貸款的影響，我們根據第

2011年7月2011年8月2011年9月2011年10月2011年11月2011年12月2012年1月2012年2月2012年3月2012年4月2012年5月2012年6月2012年7月2012年8月2012年9月2012年10月2012年11月2012年12月2013年1月2013年2月2013年3月2013年4月2013年5月2013年6月2013年7月2013年8月2013年9月6984 6646 6612 6800 7011 6449 6582 6482 6311 6708 6538 6626 6260 5945 7057 7465 6945 6707 6962 6960 6939 7260 7212 7374 7489 7607 7413 2013年10月2013年11月2013年12月2014年1月2014年2月2014年3月2014年4月2014年5月2014年6月2014年7月2014年8月2014年9月2014年10月2014年11月2014年12月2015年1月2015年2月2015年3月2015年4月2015年5月2015年6月2015年7月2015年8月2015年9月2015年10月2015年11月2015年12月7506 8135 7481 8047 7737 7510 7745 7272 7455 8208 7687 7951 7703 7406 7846 6889 7352 7294 6983 7324 7794 7830 7690 7749 7744 7523 7857

通過表1中成都市商品房2011年7月到2015年12月的銷售價格，根據Yt性質，可估計出房屋價格的預期收益率μ、房屋價格的波動率σ。

（二）住房反向抵押貸款一次性支付額

根據生命表的死亡數據，求解住房反向抵押貸款一次性支付額，假設借款人在合同生效的第k+1年內死亡，且反向抵押房屋在年末變現，根據第三部分的模型變換，其在合同生效時刻能夠獲得的一次性貸款可以得到：

如果我們計算一次性貸款額時不考慮具有贖回權的期權價格，僅僅考慮合同到期時房屋期望價格的折現值，雖然與合理定價有差距，但是這可以視為

基于死亡率數據，住房反向抵押貸款合同的一次性貸款給付L（x）是合同生效后x歲的借款人在以后各年死亡時能獲得的一次性貸款現值在死亡概率下的平均值。

假設成都市的一位老人從2016年參加住房反向抵押貸款，則2016年初成都商品房價為s0，根據收集到的成都商品房價格數據，則s0=7857，同時設合同的無風險利率r=0.02,合同利率R=0.035。首先根據上述分析求出，代入相應的死亡率數據可得到相應的房屋反向抵押貸款的定價。本文根據CL（2000-2003）（男）、日本2010年全國死亡率數據（男）和假設的第三個情景下的生命表，分別計算出相應死亡率下，60歲到65歲的老年人在住房反向抵押貸款合同生效時一次性可以獲得的貸款額。為了分析方便，我們此處僅考慮每平方米的住房反向抵押貸款合同在合同生效時刻能夠獲得的一次性貸款額。

由表2可知，在同一張死亡率表下，借款人參保時年齡越大，能夠獲得的一次性貸款越小。這是因為根據生命表中的死亡率數據，年齡越大，其預期余命越短，從而合同的期限越短，合同期限越短，房屋未來的預期增值越小，導致借款人年齡越大，其獲得的一次性貸款反而越小。

對比在CL（2000-2003）下和在日本2010年全國不同年齡死亡率表，我們發現借款人能領取的每平方米一次性住房抵押貸款的差別不大，即使與最差的情景三（死亡率下降了50%）對比，每平方米一次性住房抵押貸款額度都相差不大。這意味著在現有的房屋價格增長情況下，如果中國未來的死亡率和日本一樣，排除醫療水平有很大的突破的情況，最終高齡人群死亡率收斂于同一值，長壽風險將不是住房反向抵押貸款的主要風險，并且長壽風險在房地產市場中能被很好地分散掉。

年齡60 61 62 63 64 65 66 67 68 69情景一10902.28 10773.56 10648.19 10525.84 10406.54 10290.31 10177.15 10067.15 9960.34 9856.72情景二11324.48 11188.49 11055.72 10925.88 10798.90 10670.98 10547.89 10428.07 10308.86 10193.27情景二與情景一相差百分比3.87% 3.85% 3.83% 3.80% 3.77% 3.70% 3.64% 3.59% 3.50% 3.41%情景三11869.06521 11720.29399 11574.67966 11432.02378 11292.33884 11155.63468 11021.92437 10891.27395 10763.70341 10639.23354情景三與情景一相差百分比8.87% 8.79% 8.70% 8.61% 8.51% 8.41% 8.30% 8.19% 8.07% 7.94%

（三）住房反向抵押定價拓展--房價增長率對長壽風險的影響

為了更進一步分析房屋價格波動對住房反向抵押貸款面臨的系統性的長壽風險的影響，我們假設住房價格波動率σ不變，μ值分別取不同的值，計算在CL（1990-1993）和CL（2000-2003）下的每平方米住房反向抵押貸款合同的一次性貸款額。在此我們引入自定義的盈利百分比概念：

其中：LJ為按照日本2010年死亡率計算得到的一次性貸款額，LC為按照CL（2000-2003）計算得到的一次性貸款額。

年齡6 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 u = 0 . 0 1 -3 . 0 8 % -3 . 0 7 % -3 . 0 6 % -3 . 0 5 % -3 . 0 4 % -2 . 9 9 % -2 . 9 5 % -2 . 9 2 % -2 . 8 6 % -2 . 8 0 % u = 0 . 0 1 5 -1 . 6 8 % -1 . 6 7 % -1 . 6 7 % -1 . 6 6 % -1 . 6 6 % -1 . 6 3 % -1 . 6 2 % -1 . 6 0 % -1 . 5 7 % -1 . 5 4 % u = 0 . 0 2 -0 . 2 4 % -0 . 2 4 % -0 . 2 4 % -0 . 2 5 % -0 . 2 5 % -0 . 2 5 % -0 . 2 5 % -0 . 2 5 % -0 . 2 5 % -0 . 2 6 % u = 0 . 0 2 1 0 . 0 5 % 0 . 0 5 % 0 . 0 4 % 0 . 0 4 % 0 . 0 4 % 0 . 0 3 % 0 . 0 3 % 0 . 0 2 % 0 . 0 1 % 0 . 0 0 % u = 0 . 0 2 5 1 . 2 3 % 1 . 2 2 % 1 . 2 1 % 1 . 2 0 % 1 . 1 9 % 1 . 1 6 % 1 . 1 4 % 1 . 1 2 % 1 . 0 9 % 1 . 0 6 % u = 0 . 0 3 2 . 7 3 % 2 . 7 1 % 2 . 6 9 % 2 . 6 7 % 2 . 6 5 % 2 . 6 0 % 2 . 5 6 % 2 . 5 2 % 2 . 4 5 % 2 . 3 9 %

從表3可以看出，如果我國的人口死亡率朝著日本2010年人口死亡率方向收斂，隨著房價預期增長率越大，住房反向抵押貸款面臨的長壽風險越小，甚至給住房反向抵押貸款提供方帶來長壽機遇。當房價預期增長率為0.021時，長壽風險帶來的影響幾乎可以忽略；當房價預期增長率大于0.021時，其面臨的長壽風險會給住房反向質押貸款提供方帶來正收益；當房價預期增長率小于0.021時，住房反向質押貸款提供方面臨的長壽風險會給其帶來損失。

由此可得，住房反向質押貸款提供方面臨的風險具有交叉作用效應。

五、結論與建議

如果未來房屋價格保持成都市2011年至2015年的增長速度、我國人口死亡率最終收斂于日本穩定人口死亡率的狀態，那么長壽風險將不是住房反向抵押貸款面臨的主要風險，“以房養老”新型養老方式將會是有效地分散我國老齡化背景下長壽風險的手段。

過去的十幾年間，我國的經濟處于繁榮期，房地產市場欣欣向榮，房價波動式地向上增長。根據國內研究表明，我國房價周期與經濟周期同步，在經濟繁榮期，房價會在大背景下有好的增長預期，可是如果經濟周期進入衰退或蕭條期，房價預期的增長則不可能實現。通過計算可以發現，在不考慮利率風險的情況下，只要房屋價格預期增長率在2.1%以上，住房反向貸款面臨的長壽風險可以被分散；可是如果房價低于2.1%的增長速度，房價波動的風險會擴大長壽風險的影響。因此住房反向抵押貸款的提供方需要清楚地認識提供產品時的經濟周期的變化和房價未來預期的變化帶來的影響，當房價預期增長率低于2.1%時，住房反向抵押貸款的提供方需要重新審核自己的風險管理，并進行新的資產配置，或者調整住房反向抵押貸款的定價水平。另外，本文假設中國未來人口死亡率收斂到日本目前穩定的死亡率水平，但是如果未來中國的死亡率因為醫療水平的重大突破，發生更大的變化甚至進一步降低，低于日本目前的死亡率，那么長壽風險對住房反向抵押貸款提供方的影響需要根據房價預期增長率的大小具體測算。

本文通過將連續的模型離散化，引入與中國死亡率關聯程度高的日本死亡率作為中國未來死亡率的參考，根據兩張生命表得出的定價，比較分析長壽風險對住房反向抵押貸款提供方的影響；且突出考慮了房價預期增長率變動時，長壽風險對住房反向抵押貸款提供方影響的變化，得出結論：長壽風險的破壞力因房地產市場的行情不同而不同。不足之處是：第一，沒有考慮利率風險；第二，沒有考慮房屋土地使用權到期后需繳納的土地出讓金和房屋的折舊。SIM