一道源于課本例題的高考題的分析與思考

龔永輝

[摘 要] 從歷年來的高考數學題中可以發現，有很多題目都是源自于課本例題，因此，讓學生掌握課本例題將有助于學生高考成績的提升.

[關鍵詞] ：高考題；課本例題；橢圓

[?] 試題再現

2016年四川高考文科第20題是這樣的：已知橢圓E：+=1（a>b>0）的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點P

，

在橢圓E上.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：MA·MB=MC·MD.

解析：（Ⅰ）橢圓E的方程是+y2=1.

（Ⅱ）設直線l的方程為y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由方程組

+y2=1，

y=x+m，得x2+2mx+2m2-2=0. ①

方程①的判別式為Δ=4（2-m2），由Δ>0，即2-m2>0，解得-

由①得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，

所以M點的坐標為

-m，

，直線OM方程為y=-x.

由方程組

+y2=1，

y=-x，得C

-，

，D

，-

.

所以MC·MD=（-m+）·（+m）=（2-m2）.

又MA·MB=AB2=[（x1-x2）2+（y1-y2）2]=[（x1+x2）2-4x1x2]=·[4m2-4（2m2-2）]=（2-m2），

所以MA·MB=MC·MD.

本題是一道有關圓錐曲線中的相交弦問題，涉及的知識面廣，運算量大，上手容易，得滿分難，尤其是對于基礎較薄弱的文科生而言，有一定的難度.筆者通過對此題的再研究發現此題源于一道課本例題，又高于課本，活于課本，請看：

普通高中課程標準實驗教科書人教A版數學選修4-4坐標系與參數方程第38頁，

例4：如圖1所示，AB，CD是中心為O的橢圓的兩條相交弦，交點為P，兩弦AB，CD與橢圓長軸的交角為∠1=∠2，求證：PA·PB=PC·PD.

從兩道題目的條件和結論來看都非常的相似，解法也應該差不多，如果用參考答案的方法直接計算往往會因為運算量過大或未知量過多而失分或無從下手，但換一個角度深入研究可以發現兩道題目其實都等價于證明四點共圓問題，對于此類問題是否有更一般的解法或結論呢？筆者通過對這兩題的進一步研究探索發現了一個有關圓錐曲線中四點共圓的一個充要條件，可以妙解此類問題.

[?] 發現定理

定理1：已知橢圓Mx2+Ny2=1（M>0，N>0，M≠N）與直線l1交于A，B兩點，與直線l2交于C，D兩點，其中A，B，C，D為不同的四點，則“A，B，C，D”四點共圓的充要條件是“l1與l2的斜率互為相反數或斜率均不存在”.

證明：（1）當l1與l2的斜率均存在時

設兩條直線li：y-y0=ki（x-x0）（i=1，2），則經過它與橢圓的四個交點的二次曲線一定能表示為（λ，μ不同時為0）以下形式：

λ（Mx2+Ny2-1）+μ[y-y0-k1（x-x0）]·[y-y0-k2（x-x0）]=0. ①

必要性： 若四個交點共圓，則存在λ，μ使方程①表示圓，故式①左邊展開式含xy項的系數-μ（k1+k2）=0. 而μ≠0，否則①表示曲線，不表示圓，所以k1+k2=0.

充分性：當k1+k2=0時，式①左邊的展開式中不含xy的項，取μ=1時，令式①左邊的展開式中含x2，y2項的系數相等，即λM-k=λN+1，得λ=.

此時曲線①即x2+y2+C′x+D′y+E′=0②的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個圓，一個點，無軌跡，而題中的四個交點在曲線②上，所以方程②表示圓. 這就證得了四個交點共圓.

（2）當l1與l2的斜率均不存在時，有AB∥CD∥y軸，易知A，B，C，D四點共圓，反之也成立.

類比于定理1的證明，我們可得定理2、3如下：

定理2：已知雙曲線Mx2-Ny2=1（MN>0）與直線l1交于A，B兩點，與直線l2交于C，D兩點，其中A，B，C，D為不同的四點，則“A，B，C，D”四點共圓的充要條件是“l1與l2的斜率互為相反數或斜率均不存在”.

定理3：已知拋物線y2=2px（p>0）與直線l1交于A，B兩點，與直線l2交于C，D兩點，其中A，B，C，D為不同的四點，則“A，B，C，D”四點共圓的充要條件是“l1與l2的斜率互為相反數或斜率均不存在”.

繼續深入研究定理1、2、3的極限情形可得：

推論1：設點A是定圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線）E上的定點但不是頂點，C，D是E上的兩個動點，直線AC，AD的斜率互為相反數，則直線CD的斜率為曲線E過點A的切線斜率的相反數（定值）.

證明：由定理1可知，kAC=-kBD?A，B，C，D四點共圓?kAB=-kCD，當點A，B重合時，直線AB即為二次曲線L：Mx2+Ny2+Ex+Fy+Q=0（M≠N）的切線，于是有kAB=-kCD的充要條件是點A處的切線的斜率kA=-kCD.

通過以上四個問題的研究我們得到了圓錐曲線有關四點共圓的一個統一性質和推論，下面我們用以上結論妙解高考試題.

[?] 定理應用

例1：（2016年四川高考文科第20題第2問）（見上文）

解析：（Ⅱ）設直線l的方程為y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由方程組

+y2=1，

y=x+m，得x2+2mx+2m2-2=0，①

方程①的判別式為Δ=4（2-m2），由Δ>0，即2-m2>0，解得-

由①得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2.

所以M點坐標為

-m，

，直線OM的斜率為kOM=-，從而有kAB+kOM=0.

由定理1可知A，B，C，D四點共圓，再由圓的相交弦定理可知

MA·MB=MC·MD成立.

例2：（2014年高考全國大綱卷理科第21題（文科22題））

已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且

QF

=

PQ

.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程.

解析：（Ⅰ）y2=4x.

（Ⅱ）由題意可知直線AB，直線MN的斜率必存在，設直線AB的斜率為k1，直線MN為k2，則由已知和定理3可知k1+k2=0，

k1·k2=-1，從而得到k1=±1，直線方程為x±y-1=0.

例3：（2002年廣東卷）設A，B是雙曲線x2-=1上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點，

（Ⅰ）求直線AB的方程；

（Ⅱ）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C，D兩點，那么A，B，C，D四點是否在同一個圓上，為什么？

解析：（Ⅰ）直線AB的方程為y-2=x-1，即y=x+1.

（Ⅱ）因為CD是AB的垂直平分線，所以直線CD的方程為y-2=-（x-1），即y=-x+3，故kAB+kCD=1+（-1）=0，由定理知A，B，C，D四點在同一個圓上.

例4：（2009年遼寧卷理科第20題） 已知A

1，

是橢圓C：+=1上的定點，E，F是C上的兩個動點，直線AE，AF的斜率互為相反數，證明：EF直線的斜率為定值，并求出這個定值.

解析：由推論1可知EF直線的斜率為定值，等于過A點的切線的斜率.

除了上題，在2004年北京文（理）科17題中如果用推論1來解答也非常的精妙.

由此可見，高考試題大都來源于教材，教材就是高考試題的“根”，教材中設置的不少例題很具有典型性、探究性，教師在教學中學會用一雙“慧眼”去發現具有典型性、可拓展性的例題或習題，善于做解后的反思，方法歸類，規律的總結和技巧的揣摩，在探究過程中讓學生去收集、整理、歸納，獲得新知識，在知識的聯系中進行有效整合，這對學生能力的提高和思維的發展大有益處，同時也能優化學生的知識結構，培養思維的靈活性.