圓錐曲線的一個相似結論

梅帝松

[摘 要] 圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）可以看作是符合某個條件的點的軌跡，而且與每個圓錐曲線具有近乎相同條件所產生的新軌跡又驚人相似，本文對此稍作探討.

[關鍵詞] 圓錐曲線；軌跡；相似

圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）雖然各自定義不同，圖形各異，但它們有很多共性.近日筆者在一次解題中偶然發(fā)現(xiàn)一個與圓錐曲線有關的點的軌跡具有極其相似的結論，特此展示，以便讀者參考.

性質1：垂直于x軸的直線l交圓C1：x2+y2=r2于兩點A，B，點P是l上一點，且PA·PB=k（0

證明：如圖1，設A（x1，y1），B（x1，y2），P（x1，y3）.

因為PA·PB=k，所以

y3-y1·y3-y2=k①，

將y2=-y1代入①式，得y-y=±k②.

將y=r2-x代入②式，得

y+x=r2-k或y+x=r2+k（

x1

因此，點P的軌跡為圓C2：x2+y2=r2-k，或圓C3：x2+y2=r2+k（

x

特別地，當k=r2時，同理可證得點P的軌跡為點（0，0），或圓C4：x2+y2=2r2（

x

性質2：垂直于x軸的直線l交橢圓D1：+=1于兩點A，B，點P是l上一點，且PA·PB=k（0

證明：如圖2，設A（x1，y1），B（x1，y2），

P（x1，y3）.

因為PA·PB=k，所以y3-y1·y3-y2=k③，

將y2=-y1代入③式，得：y-y=±k④，

將y=

1-

b2代入④式，

得+=1，

或+=1（

x1

x

特別地，當k=b2時，同理可證得點P的軌跡為點（0，0），或橢圓D4：+=1，若將點（0，0）看成是點橢圓D5，則橢圓D5、橢圓D1、橢圓D4的長半軸的平方成等差數(shù)列，短半軸的平方成等差數(shù)列.

性質3：垂直于x軸的直線l交雙曲線E1：-=1于兩點A，B，點P是l上一點，且PA·PB=k（0

證明：如圖3，設A（x1，y1），B（x1，y2），P（x1，y3）.

因為PA·PB=k，所以y3-y1·y3-y2=k⑤，將y2=-y1代入⑤式，得y-y= ±k⑥.

將y=

-1

b2代入⑥式，

得-=1（

x1

>a），或-=1. 因此，點P的軌跡為雙曲線E2：-=1（

x

>a），或雙曲線E3：-=1，雙曲線E2、雙曲線E1、雙曲線E3的實半軸的平方成等差數(shù)列，虛半軸的平方成等差數(shù)列，且三者有共同的漸近線y=±x.

特別地，（1）當k=b2時，同理可證得點P的軌跡為雙曲線E4：-=1，或兩直線：y=±x（

x

>a），由此得到以下推論.

推論：過雙曲線的漸近線上任一點P且垂直于x軸的直線l交該雙曲線于兩點A，B，則PA與PB的積是定值.

（2）當k>b2時，同理可證得點P的軌跡為雙曲線E5：-=1（

x

>a），或雙曲線E6：-=1. 雙曲線E1、雙曲線E5、雙曲線E6有共同的漸近線y=±x.

性質4：垂直于x軸的直線l交拋物線F1：y2=2px（p是常數(shù)，且p>0）于兩點A，B，點P是l上一點，且PA·PB=k（k≠0），則點P的軌跡是兩個同軸拋物線（其中一個只是拋物線的一部分），該兩個同軸拋物線與拋物線F1的頂點橫坐標成等差數(shù)列.

證明：如圖4，設A（x1，y1），B（x1，y2），P（x1，y3）.

因為PA·PB=k，所以

y3-y1·y3-y2=k⑦，

將y2=-y1代入⑦式，得y-y=±k⑧.

將y=2px1代入⑧式，

得y-2px1=±k，因此，點P的軌跡為拋物線F2：y2=2p

x+

（x>0），或拋物線F3：y2=2p

x-

，拋物線F2、拋物線F1、拋物線F3的頂點的橫坐標成等差數(shù)列.

以上四個性質如此相似，正體現(xiàn)圓錐曲線間的本質脈搏相連、息息相關.