中等難度函數(shù)題的解題切入點(diǎn)

[摘 要] 本文重點(diǎn)介紹了數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、消元和換元等數(shù)學(xué)方法在解決函數(shù)問題時(shí)發(fā)揮的巨大作用，同時(shí)闡述了處理中等難度函數(shù)問題時(shí)如何找準(zhǔn)思維突破口，從而達(dá)到破題的目的.

[關(guān)鍵詞] 定義域；奇偶性；換元；數(shù)形結(jié)合

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，與之相關(guān)的知識在高中數(shù)學(xué)中枝繁葉茂，幾乎每一個(gè)模塊都會(huì)涉及，沒有函數(shù)的基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)里必將舉步維艱. 函數(shù)還是數(shù)學(xué)思想方法的良好載體，諸如數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、消元和換元等數(shù)學(xué)方法在函數(shù)中都得到了很好的體現(xiàn).由此造成函數(shù)問題綜合性強(qiáng)，思維難度高，師生都深感棘手. 本文擬從以下幾個(gè)方面探究中等難度函數(shù)問題的思維突破口，理清解題思路，總結(jié)其中規(guī)律，從而形成解決函數(shù)問題的一些常用解題切入點(diǎn).

[?] 優(yōu)先考察定義域

函數(shù)的定義域是函數(shù)的三要素之一，面對函數(shù)問題，優(yōu)先考慮定義域是基本原則.有了定義域就有了研究的范圍，有了較小的范圍，就不必再在R上去大海撈針！

例1：已知定義在[-1，1]上的偶函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞增，若f（2x2）>f（x+1），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_______.

解析：如果考慮運(yùn)用偶函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞增，可以將條件f（2x2）>f（x+1），轉(zhuǎn)化為f（-2x2）>f（-x+1），從而得到-1≤-x+1<-2x2≤0，即0≤2x2

如果定義域優(yōu)先，可以解不等式組2x2≤1，

-1≤x+1≤1（這個(gè)工作早晚都是要做的），解得-≤x≤0，這樣（*）式右側(cè)的絕對值就自動(dòng)去掉了，從而解出2x2

-，0

. 這里的定義域優(yōu)先使得不需討論即可去掉絕對值，從而減少了討論過程.

從上例可知，函數(shù)的定義域不但是研究函數(shù)其他性質(zhì)的基礎(chǔ)，且有時(shí)對解決問題的方法會(huì)產(chǎn)生重要影響. 面對函數(shù)問題，第一要考慮其定義域，這一原則切不可忘.

[?] 主動(dòng)試探奇偶性

有了函數(shù)的定義域后，如何研究函數(shù)的其他性質(zhì)呢？在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是教材重點(diǎn)給出的兩個(gè)重要性質(zhì)，許多問題都圍繞這兩者展開. 結(jié)合這兩個(gè)性質(zhì)的特點(diǎn)可知，面對一個(gè)陌生的函數(shù)，當(dāng)我們已經(jīng)有了函數(shù)的定義域且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（否則無奇偶性），我們應(yīng)優(yōu)先考察函數(shù)的奇偶性，再考察其單調(diào)性.

從形上觀察，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸成軸對稱；從式中探求，當(dāng)一個(gè)函數(shù)具有奇偶性時(shí)，知道其定義域內(nèi)x處的函數(shù)值，即可確定-x處的函數(shù)值. 因此當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)函數(shù)的奇偶性，關(guān)于該函數(shù)的一切問題都可轉(zhuǎn)化為y軸一側(cè)的問題，使研究的范圍進(jìn)一步縮小減半.

如上面的例1，已經(jīng)明確函數(shù)是偶函數(shù)了，這就給我們研究問題提供了明顯的思路：一是形的方面關(guān)于y軸的對稱性，二是式的方面滿足f（x）=f（-x）=f（x）=f（-x），從而形成上面的解法.

當(dāng)題設(shè)條件沒有明示函數(shù)的奇偶性時(shí)，我們也要朝著美好的方向去想，即該函數(shù)若具有奇偶性，那不就可以省一半事了嗎？此時(shí)需要我們主動(dòng)考察函數(shù)的奇偶性，將隱性轉(zhuǎn)化為顯性，從而使問題解決能夠事半功倍.

例2：函數(shù)f（x）=log2（x≠0）的圖像在第________象限.

解析：先求定義域可得：x∈（-1，0）∪（0，1），明顯地，x∈（0，1）時(shí)，t的值大于1，從而f（x）為正，故y軸右側(cè)的函數(shù)圖像在第一象限，若能判斷出函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像在一、三象限，而f（x）為奇函數(shù)是顯然的.

若令t=，畫出它的圖像，再根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性等特點(diǎn)試探畫出f（x）示意草圖，則費(fèi)時(shí)費(fèi)力；再者，也有學(xué)生化t==-1，再根據(jù)x的取值范圍求出t的取值范圍，進(jìn)而求出x不同范圍時(shí)t的取值范圍，這樣將更加費(fèi)時(shí)費(fèi)力. 這就體現(xiàn)了主動(dòng)研究函數(shù)的奇偶性帶來的優(yōu)越性.

例3：設(shè)函數(shù)f（x）=log

x，x>0，

log2（-x），x<0， 若f（m）>f（-m），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

解析：此函數(shù)的定義域已經(jīng)明確，那么想一下f（x）能有奇偶性嗎？易判斷其為奇函數(shù)，從而f（m）>f（-m）可以轉(zhuǎn)化為f（m）>0，至此可以避免一切討論，若能結(jié)合函數(shù)圖像，更是一目了然.

由以上幾例可知，獲得函數(shù)的奇偶性，對作圖和函數(shù)其余性質(zhì)的研究都會(huì)帶來方便.盡管單調(diào)性通常是我們解決函數(shù)問題最需要的性質(zhì)，但在考察函數(shù)的單調(diào)性之前，先主動(dòng)試探一下函數(shù)的奇偶性，或可使問題的解決事半功倍.

[?] 回歸教材巧換元

“一次二次反比例，三角函數(shù)冪指對.”這兩句話說的是中學(xué)數(shù)學(xué)教材（包括初中）要求學(xué)生掌握的常用基本初等函數(shù)，學(xué)生在遇到與此類函數(shù)相關(guān)的問題時(shí)，可直接利用教材所給的圖像和性質(zhì)解題. 高中數(shù)學(xué)涉及的函數(shù)盡管復(fù)雜多樣，其構(gòu)成形式無外乎兩類：一類是由基本初等函數(shù)通過內(nèi)外復(fù)合構(gòu)成的新函數(shù)，一類是由基本初等函數(shù)通過四則混合運(yùn)算構(gòu)成新函數(shù). 遇到這些復(fù)雜函數(shù)時(shí)，應(yīng)整體觀察函數(shù)解析式構(gòu)成，對于復(fù)合式的函數(shù)，都可令內(nèi)函數(shù)為新變元，回歸教材基本初等函數(shù)；對于混合式的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是常用方法，但有時(shí)也可從解析式中發(fā)現(xiàn)新變元，換元化簡后再求導(dǎo)會(huì)更簡單.

例4：函數(shù)y=的值域?yàn)開_____.

解析：函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），易知其為奇函數(shù)，所以求它值域，只需先考慮x∈（0，+∞）的情形.

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，令t=2x-1∈（0，+∞），得2x=t+1，代入得：

y==1+. 因?yàn)閠∈（0，+∞），所以y∈（1，+∞），

由奇函數(shù)性質(zhì)知原函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）.

本題解法以2x-1為整體換元，最終將原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)的值域. 若令t=2x換元再代入，因?yàn)閾Q元不徹底，最后所得函數(shù)便不如上法簡潔.

例5：已知f（x）=，且f（1）=1，f（-2）=4.

（1） 求a，b的值；

（2）已知定點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）（x<-1）的圖像上任意一點(diǎn)，求AP的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：（1）a=2，b=1.

（2）由（1）知f（x）=，所以Px

，，建立目標(biāo)函數(shù)AP2=（x-1）2+

，

其中x<-1.觀察該函數(shù)解析式，直接通分較復(fù)雜，不如令t=x+1∈（-∞，0），將分母化簡單后再處理.

于是AP2=（t-2）2+

=（t-2）2+

2-

=t2+-4

t+

+8，

觀察式子特征，聯(lián)系t2+和t+的關(guān)系，可知上式可以t+為整體再換元.

令u=t+∈（-∞，-2]，繼續(xù)化AP2=u2-4u+4.

此時(shí)問題已經(jīng)回歸為一元二次函數(shù)的值域問題，不難解出當(dāng)u=-2時(shí)，APmin=2+2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1-，2+）.

以上解法中用了二次換元，其目的都是為了讓目標(biāo)函數(shù)解析式足夠簡單，最終回歸為基本初等函數(shù). 當(dāng)我們面臨的函數(shù)解析式比較復(fù)雜時(shí)，若能細(xì)心觀察解析式，優(yōu)選出某一整體進(jìn)行換元，即使換元后不能化為基本初等函數(shù)，也為接下來用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)準(zhǔn)備了相對簡潔的形式. 否則，若能換元而不換元，直接求導(dǎo)將會(huì)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，更有學(xué)生在求導(dǎo)后再去換元，極易發(fā)生錯(cuò)誤.

[?] 及時(shí)變形定核心

有時(shí)題設(shè)所給函數(shù)的解析式比較復(fù)雜，直接研究其性質(zhì)會(huì)比較困難或容易出錯(cuò)，嘗試換元也不能化簡，這時(shí)我們可以將函數(shù)的解析式加以變形，將函數(shù)的自變量集中在一起構(gòu)造核心函數(shù)，達(dá)到去繁存簡化難為易的目的.

例6：已知函數(shù)f（x）=，當(dāng)f（x）=有兩個(gè)不同的解時(shí)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.

解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽， f（x）=1+，從而可輕易發(fā)現(xiàn)f（x）為偶函數(shù)，從而它的圖像關(guān)于y軸對稱. 當(dāng)k≤1時(shí)，顯見f（x）≤1，不合題意. 當(dāng)k>1時(shí)，令g（x）=2x+1+，由g′（x）=

2x-

ln2=0得x=0，且在（-∞，0）上，g′（x）<0，g（x）遞減；在（0，+∞）上，g′（x）>0，g（x）遞增. 從而在（-∞，0）上，f（x）遞增；在（0，+∞）上，f（x）遞減. 考慮到g（x）≥g（0）=3，可知在（-∞，0）上，f（x）的值從小到大的變化范圍是

1，1+

；在[0，+∞）上，f（x）的值從小到大的變化范圍是

1，1+

. 故只要>?k>2. 綜上，k的取值范圍是（2，+∞）.

本題已知方程解的具體數(shù)目，一般要數(shù)形結(jié)合作圖，而作圖必須先研究函數(shù)的性質(zhì). 由于f（x）的解析式復(fù)雜，直接研究其奇偶性和單調(diào)性都很困難. 考慮到解析式是分式，在高中數(shù)學(xué)中，除了通分和分母有理化，換元法和部分分式法都是處理分式常用的變形手段. 以上解法先將分式分開，再將分子除下，發(fā)現(xiàn)核心函數(shù)g（x）=2x+1+，其奇偶性顯然，單調(diào)性易求，原函數(shù)問題也因此得解.

注：本題也可去分母換元后轉(zhuǎn)化為二次方程問題求解，或分離參數(shù)后求解.

例7：求函數(shù)f（x）=800-+，θ∈

0，

的最小值.

解析：f（x）=800-+=800+600

.

設(shè)g（θ）=，g′（θ）=，令g′（θ）=0得θ=，

當(dāng)θ∈

0，

，g′（θ）<0，g（θ）單調(diào)遞減；當(dāng)θ∈

，

，g′（θ）>0，g（θ）單調(diào)遞增.

所以g（θ）min=g

=，從而f（x）min=1400.

本題函數(shù)來源于一道模擬考試的應(yīng)用題. 應(yīng)用性問題因?yàn)閬碜陨顚?shí)際，數(shù)據(jù)一般比較復(fù)雜，有些應(yīng)用題的目標(biāo)函數(shù)解析式更含有常數(shù)型字母，導(dǎo)致學(xué)生即使能順利建模，也會(huì)因計(jì)算出錯(cuò)導(dǎo)致失分. 本題解法是流行的解法，即將函數(shù)自變量盡量集中，從原解析式中抽離核心函數(shù)，以后求導(dǎo)過程與周邊數(shù)據(jù)無關(guān)，大大減少了計(jì)算中的出錯(cuò)率.

[?] 作圖重視點(diǎn)和線

從以上論述可知，函數(shù)圖像在函數(shù)問題的解決中有著舉足輕重的作用. 即便在解答題的代數(shù)推理中，函數(shù)圖像也往往是輔助思考的“幕后英雄”. 高中數(shù)學(xué)素有“有圖像，有一切”的說法，當(dāng)代數(shù)推理遇到困難時(shí)，嘗試作圖是必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

我們作出的函數(shù)圖像通常是一條曲線，可看作無數(shù)多個(gè)點(diǎn)的集合.然而曲線只能反映直觀的變化趨勢，無數(shù)多個(gè)點(diǎn)也不可能逐一研究. 作圖中必須重視曲線相關(guān)的一些關(guān)鍵直線如對稱軸、切線、分段函數(shù)的分隔線、漸近線等，正是這些線給函數(shù)圖像的復(fù)雜變化定下了“規(guī)矩”；對于圖像上的點(diǎn)，要重視一些關(guān)鍵的點(diǎn)如零點(diǎn)、極點(diǎn)、定點(diǎn)、分段函數(shù)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)等，這些點(diǎn)往往是函數(shù)整體性質(zhì)研究的關(guān)鍵“穴位”.

例8：若x+a+2x-a>3（a≠0）對一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

解析： 設(shè)f（x）=x+a+2x-a，雖然式中絕對值的兩個(gè)零點(diǎn)-a和大小不確定，但我們可以整體想象一下f（x）的圖像，它被兩條分隔線x=-a和x=分隔為三段. 無論這兩條分隔線誰左誰右，易知最右邊的一段函數(shù)圖像是一條單調(diào)遞增的射線，其起點(diǎn)A在右邊的分隔線上；最左邊的一段函數(shù)圖像是一條單調(diào)遞減的射線，其起點(diǎn)B在左邊的分隔線上.因?yàn)樵瘮?shù)圖像是連續(xù)的，在兩條分隔線中間的圖像顯然是線段AB. 為使f（x）>3恒成立，只需f（x）的圖像恒在直線y=3的上方，結(jié)合圖像特征可知，只需兩個(gè)聯(lián)結(jié)點(diǎn)A和B都在直線y=3的上方即可. 于是原問題等價(jià)于f（-a）>3且f

>3，易解得a∈（-∞，2）∪（2，+∞）.

本題的常規(guī)解法需討論-a和的大小，再分段研究f（x）的最小值，過程復(fù)雜冗長. 上述解法緊扣分段函數(shù)的分隔線和聯(lián)結(jié)點(diǎn)，切中問題要害，遂使解法簡潔明了.

例9：設(shè)a為常數(shù)，f（x）=（2x2-a2x+a）lnx的最小值為零，則a=________.

解析：設(shè)g（x）=lnx，φ（x）=2x2-a2x+a，則g（x）=lnx的零點(diǎn)為1，故1也是f（x）的零點(diǎn)，從而題設(shè)條件中的f（x）的最小值為零就可轉(zhuǎn)化為f（x）≥0恒成立. 由于在（0，1）上g（x）<0，（1，+∞）上g（x）>0，從而在（0，1）上φ（x）≤0；（1，+∞）上φ（x）≥0，所以二次函數(shù)φ（x）=2x2-a2x+a的零點(diǎn)之一為1，且另一個(gè)零點(diǎn)必須小于或等于0. 由φ（1）=0，得a=2或a=-1，檢驗(yàn)可知：a= -1符合條件.

對本例中涉及的兩個(gè)函數(shù)g（x）=lnx和φ（x）=2x2-a2x+a而言，零點(diǎn)兩側(cè)兩個(gè)函數(shù)的值要保持同號. 圖1就是符合條件的函數(shù)的圖像；圖2是對應(yīng)于a=2的被舍去的不符合題意的函數(shù)的圖像.

[x][O][y][1]

本題若直接求最值或變量分離都是煩不堪言的，作圖也呈現(xiàn)多種變化. 而上述解法特別關(guān)注零點(diǎn)及其兩側(cè)的函數(shù)值的情況，讓原問題在復(fù)雜多變的圖形中有了清晰的解決思路.

例10：已知函數(shù)f（x）=2x-1，x≤1，

，x>1， 當(dāng)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

解析：這個(gè)問題等價(jià)于函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=m圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖3，y=-1是函數(shù)在x≤1部分圖像的漸近線，y=0是函數(shù)在x>1部分圖像的漸近線，由此可知0

對于有漸近線的函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)等，作圖時(shí)一定要重視漸近線.漸近線規(guī)定了函數(shù)圖像變化的邊界，若忽視漸近線，極易對函數(shù)的定義域或值域做出錯(cuò)誤判斷.如上題，忽視漸近線將得到錯(cuò)誤答案m<1.

綜合以上論述，中等難度的函數(shù)問題盡管方法多樣綜合性強(qiáng)，但只要我們明察解析式特征，按一定規(guī)律找準(zhǔn)解題切入點(diǎn)，便可理清解題思路，得到最終解法. 本文列舉一些常見問題，嘗試探究其中思維規(guī)律，其中必有不當(dāng)之處，今后還將繼續(xù)思考.