《拋物線及其標準方程》說課稿

郭江燕

一、教材分析

1.教材的地位與作用

眾所周知，解析幾何是一門通過建立直角坐標系，用代數方法研究幾何對象之間的關系和性質的一門幾何學分支。具體的做法是建立直角坐標系，使平面上的點與一個有序實數對一一對應，從而體現了形與數的統一與轉化，其內容有著豐富的辯證關系。

解析幾何主要解決兩類基本問題：（1）已知曲線求方程；（2）已知方程求曲線性質。橢圓、雙曲線、拋物線統稱為圓錐曲線，高中解析幾何主要研究它們的性質與應用，是學生掌握解析幾何的關鍵，是領會解析法構思的途徑。本節內容是在學習了曲線與方程，以及橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質的基礎上進行學習的，所以可通過類比的方法得到拋物線的定義、標準方程以及下節課內容拋物線的簡單幾何性質。

2.教學重點與難點

重點：（1）掌握拋物線的定義及標準方程；（2）能根據拋物線的標準方程，求出焦點坐標、準線方程，并畫出其圖形；根據拋物線的焦點坐標或準線方程，求出拋物線的標準方程。

難點：（1）拋物線定義的形成過程，用坐標法求出拋物線的標準方程；（2）引導學生正確進行數學圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉化。

二、目標分析

解析幾何的基本方法是坐標法，在坐標系的基礎上，用代數方法研究圓錐曲線。本章我們將繼續采用必修課程《數學2》中研究直線與圓所用的坐標法，在探究圓錐曲線幾何特征的基礎上，

建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質，并用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題和實際問題，進一步感受數形結合的基本思想。

本節課的內容是拋物線及其標準方程，通過45分鐘，學生需要掌握的內容有：（1）了解拋物線的定義，在根據圖形得出拋物線定義的過程中培養學生的觀察能力、理解能力，繼續滲透數形結合的思想。（2）掌握拋物線四種形式的標準方程，在得到拋物線四種形式的標準方程的過程中培養學生的分析能力、探索能力、合

作交流的能力和團隊精神，激發學生積極主動地參與數學學習活動，養成良好的學習習慣，同時通過一些實例加強學生對拋物線的認識，使學生感受到美的享受，陶冶情操。

三、教法分析

本節課我以學生為中心，以問題為載體，采用啟發、引導、探索相結合的教學方法。

1.通過實例和設置“問題”情境，激發學生解決問題的欲望。

2.提供觀察的機會，引導學生獨立思考，有效地調動學生思維。

3.通過探索、交流，使學生在開放的活動中獲取知識。

四、過程分析

數學教學是數學活動的整合。因此，我將整個教學過程分為以下六個教學環節：

（1）創設情境，引入課題；（2）研究圖形，形成概念；（3）根據概念，得到方程；

（4）變式演練，深入探究；（5）運用新知，解決問題；（6）歸納總結，鞏固提高。

1.創設情境，引入課題

課堂教學的開始，我會問學生幾個熟悉的問題：在現實中，我們都有觀看籃球比賽的經歷，那么籃球劃過的軌跡是什么？逢年過節我們都會放煙花，那么煙花綻放的痕跡是什么？我把手里的粉筆拋進垃圾桶，粉筆劃過的痕跡是什么？而在數學中我們學過二次函數，請問二次函數的圖象是什么？所有的答案都是拋物線，我以實例激發學生學習的興趣，明確今天的課程主題，引領學生進入學習情境。

由上面的問題我們可以發現，無論在日常生活中，還是在數學中，我們都能見到拋物線的影子，那么究竟什么是拋物線呢？這就是我們今天要學習的內容。（書寫課題）根據書中描述的拋物線的產生過程在黑板上畫出拋物線，邊畫邊口述畫法，通過在定直線上取不同的點，產生幾個拋物線上的點，最后把那幾個點用平滑的曲線連接起來便得到了拋物線。

2.研究圖形，形成概念

雖然拋物線已經呈現在大家的面前，那么，究竟拋物線的定義是什么呢？

【設問意圖】本章的主要學法就是類比，通過這個問題，學生會很自然想到橢圓、雙曲線的定義，想要去找尋同橢圓、雙曲線相似的在拋物線產生過程中始終不變的一個幾何關系。

通過觀察拋物線的圖形，逐步引導，讓學生發現拋物線上的點是隨著定直線上任意點的運動而運動的，而在運動過程中，一個始終不變的幾何關系是：到定點的距離等于到定直線的距離。從而確定拋物線的大致定義：平面內，到定點與定直線的距離相等的點的軌跡叫拋物線。

請大家想一想，定義中有一個定點、一條定直線，是不是無論這兩者是任何位置關系，只要滿足定義中的條件，就一定可以形成拋物線呢？

【設問意圖】從內容的完整度和準確度出發，讓學生通過分析點與直線的兩種位置關系，得出只有定點不在定直線上時才會形成拋物線，否則是一條直線。

從而得到拋物線的完整定義：我們把平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡叫拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。

由前面的畫圖過程和與橢圓、雙曲線定義的類比進行新概念的講解，使得知識的銜接較為順暢，概念的形成水到渠成。

3.根據概念，得到方程

由拋物線的定義，我們可以得到一個幾何關系式MF=d（其中d是拋物線上的點到準線的距離），那么，如何建系才能使拋物線的方程更簡單呢？

【設問意圖】此問題會讓學生自然想到橢圓、雙曲線的建系方式，激發學生靈感，讓學生主動思考交流。

學生可能會想到三種建系方式，無論哪種建系方式都設焦準距為P，按照三種建系方式，通過將幾何關系代數化、化簡，可以得到三個不同的方程，通過對比，可以發現y2=2px是最簡單的，從而得到了拋物線的標準方程。

4.變式演練，深入探究

我們知道，在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選擇不同的坐標系我們得到了不同形式的標準方程，那么，拋物線的標準方程有哪些不同的形式？

【設問意圖】學生會自然想到橢圓、雙曲線的兩個標準方程是通過變換x軸，y軸得到的，所以學生會通過變換坐標軸的方式去獲得拋物線的其他標準方程。

分別將拋物線的焦點放在x軸的負半軸，y軸的正、負半軸可以得到其他三種形式的標準方程。完成表格：

拋物線有四種形式的標準方程，那么，如何根據標準方程，快速得到拋物線的焦點在哪里呢？

【設問意圖】通過觀察標準方程得到一個一般性的結論，對于學生來說更實用。

結論：x，y中誰是一次項焦點就在哪個軸上，一次項系數的正負決定了焦點在正半軸還是負半軸。

5.運用新知，解決問題

為了及時鞏固知識，反饋教學信息，就必須有練習這個環節。所以我安排了以下的練習：

（1）已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程。

（2）已知拋物線的焦點是F（0，-2），求它的標準方程。

6.歸納總結，鞏固提高

為使學生對所學的知識有一個完整而深刻的印象，我請學生從以下兩方面自己小結。

（1）拋物線的定義和標準方程是什么？

（2）如何根據給定的拋物線的標準方程得出其焦點坐標和準線方程？

（學生回答）

【設計意圖】有利于學生養成及時總結的好習慣，并將所學知識納入已有的認知結構，同時也培養了學生數學交流和表達的

能力。

五、評價分析

對于本節課，我的設計思路是：從學生熟悉的案例及數學中的二次函數出發引出拋物線，始終以學生為主體，以問題為載體，得到拋物線的定義及標準方程。教授過程以合作交流為手段；以能力提高為目的。整堂課我較重視概念的提取過程和知識的形成過程，學生通過自主探究、合作交流，體會冥思苦想后的豁然開朗、合作學習的默契和諧，通過本堂課的學習，讓學生進一步體會數形結合的思想，感受幾何坐標的美。

參考文獻：

[1]鄔建云.拋物線及其標準方程的教學設計[J].數學教學通訊，2007（7）.

[2]裴小珠.說課稿：圓的標準方程[J].中華少年，2015（25）.