從教材實例談如何理解教材教學

管明貴

[摘 要] 用教材教是數學教學的基本準則，但如何教卻因人而異. 不少教師在常態課教學中并沒有真正領會用教材教的含義，使得學生陷入數學學習的一種惡性循環之中. 筆者結合自己的實踐經驗以為，腳踏實地地研究教材，思考為什么這么教，理解教材選擇例題的重要性，才是一個教師真正成長的標記.

[關鍵詞] 教材教學；數學；函數；素養；建模；圖像

從小學數學到初中數學，我們發現學生學習數學的興趣驟然下降. 這是由很多原因造成的，比如：初中數學需要對數學知識本質屬性更進一步的認識，這勢必導致數學學習變得相對枯燥；種種升學應試造成的壓力，讓教師在教學中不敢放手讓學生還原知識來源的過程，建構新知的形成途徑，要讓學生短時間內快速理解知識、掌握知識，還不如通過大量的試題訓練來得高效.

這些因素造成初中生數學學習出現了下列問題：其一，對新知一知半解，通過大量訓練來理解新知、運用新知，離開了這種訓練模式，學生就不會學習數學、不會思考問題；其二，這種訓練模式下的數學學習讓學生接觸的是機械化的操作，對于熟練的問題模型尚等得到分數，但面對以靈活考查能力為主的試題則無從下手；再者，最關鍵的是學生對學習數學的興趣已經完全被扼殺了，如今初中生喜歡數學的愈來愈少. 中科大研究所調查顯示，若數學競賽對升學不具備加分作用，百分之九十九的學生都是不喜歡數學競賽的.

這也從一個側面反映了初中數學教學陷入了模式化過渡的教學之中. 西南師大陳重穆教授說：形式化是數學的特征之一，模式是數學問題的經典總結，在恰當的范圍內運用非形式化手段以及模式識別，對于學生學習數學是高效的途徑. 但是，現在初中數學教學陷入了一種模式化過渡的誤區，即合理的新知教學也演變成三分之一的新知教學，三分之二的知識訓練，這種做法對于學生的數學興趣和創新性是無益的.

課程標準中明確指出：數學教學旨在培養學生的抽象能力、運算能力、數學建模、數據分析等素養，通過數學知識理解其運用于生活、作用于生活的目的. 如何將教材中的知識做合適于學情的開發，并在教學中進行演繹才是用教材教最好的反饋.

本文以八年級函數一節中一個問題為例，通過教材設計思路研究、教材知識結構研究、教材教學價值研究、學生的認知結構分析等方面來談談如何用教材教.

問題情境

蘇教版八年級“5.1 函數”一節中的問題：小麗、小明、小亮乘車去旅游.

如圖1，汽車在公路上勻速行駛，用t來表示汽車行駛的時間，s表示汽車行駛的路程. 怎樣表示s與t的關系？

可以列表表示（如表1）：

可以在坐標系中畫圖表示（如圖2）：

可以列式表示：因為汽車勻速行駛的速度為100 km/h，所以s=100t.

提出問題：變量s是變量t的函數嗎？為什么？

通常，表示兩個變量之間的關系可以用3種方法：表格、圖形和數學式子. 表示兩個變量之間的式子通常稱為函數關系式，例如s=100t就稱為s與t的函數關系式.

教材知識結構分析

教材中對于函數的學習采用了以生活情境為載體的設計，首先讓學生明白要學習的函數來源生活，是對生活問題的抽象、是對生活問題本質屬性的研究；其次，教材給出了函數表示的三種方法（即列表法、圖像法、解析式法，這是函數表示的核心知識），并從函數圖像和函數關系式中理解函數是一種變量與變量之間的關系，多維度、多層次、多方面地接觸函數概念以及函數的意義和本質屬性. 讓學生從本情境中感知事物變化的過程以及變量主導的相互關系式，并引導學生思考生活中還有很多問題都具備類似的變量性，因此變量研究是普適性的，成為后續學習的核心. 要將這些變量關系表述出來，該如何利用情境問題中的三種表示方法進行滲透，這成為后續揭示事物變量關系規律的核心手段.

教材設計思路分析

對于用教材教，教師還需要深刻理解教材為什么這樣設計. 可以從三個方面分析：

（1）我們回到問題情境，學生從問題中比較容易理解：在速度為定值的情況下，路程和時間成一定的變量關系，這是啟發變量思維形成函數概念的一個關鍵節點.

（2）表格的作用在于將這種變量關系的展示直觀化、具象化，使學生明確這種變量關系的直觀性. 同時表格還可以清晰地展示變量之間的聯系，即速度是定值，這種以圖表形式表達變量關系的方式是函數表達的重要手段，但是時間t的選擇往往以整數形式較為方便，暗示了以表格方式表達變量關系的局限性.

（3）圖像是變量關系最直觀的體現，教材以圖形展示位移和時間的關系，其設計明顯有兩個用意：其一是了解圖像是表示變量關系的主要手段，從圖像變換中理解不同變量模型具備不同的圖像變換；其二是圖形化讓變量關系的研究成為一種直覺，即數形結合思想在函數學習中的不斷滲透.

從教材給出的問題，我們清晰地掌握了其基本教學意圖：掌握變量關系的三種表示方法，即列表法、圖像法、解析法，這是函數表示的基本構成；從情境問題中理解特殊到一般研究方法的重要性，數形結合思想貫穿始終.

教材的教學價值分析

函數是中學數學最重要、最核心的數學概念，教材的問題設計正是基于這樣的考慮. 教師要學會理解和體會教材中問題的價值，才能理解為什么要用教材教.

1. 引入問題的主要目的是向學生滲透變量間關系的三種表示方法，這為學生后續研究類似問題、理解生活中普遍存在的函數關系奠定了研究基調，即圖像法和列表法可以直觀地研究變量關系，解析式法可以將這種關系數學化，這是教學價值一.

2. 在以往中學數學雙基的基礎上，初中數學又強調了基本活動經驗和基本數學思想，教材問題的教學價值二恰好在此處體現出來. 基本活動經驗體現了本問題的數學現實之用，基本數學思想可以從特殊到一般、數形結合思想上得到體現.

3. 價值三也是教材最想告誡教師在教學中應該關注的一點：學習數學最主要的目的是什么？是為生活、生產實際服務. 在看不到數學的地方，找到數學知識的運用和價值，是教師需要向學生進行滲透的. 這種在建模中不斷“思考——抽象——再思考”的過程，是數學學習的重要方式.

學生認知結構分析

1. 常量思維動態化

勒溫認為“學習即認知結構的變化”. 可以這么說，學生對于路程和時間的關系，并不是老師想象的那樣屬于變量認知，勒溫研究表明學生只認識這是一種常量之間的聯系. 函數是研究變量與變量之間的關系，如何讓這樣的觀念在教學中滲透？這就需要考慮時間的任意性問題，當在任意時刻計算路程，這種動態的關系自然而然地滲透到學生的頭腦中，變量關系的建立初具雛形.

2. 變量關系代數化本質即方程

在“s=100t”中，速度100是已知的，S與t是未知的，這是一個含有兩個未知數的等式，也就是為了尋求未知數，在已知數和未知數之間建立的一種等式關系. 在兩個未知數中，給出一個未知數的值，就可以求出另一個未知數的值，并且有無數組解，s與t的值是不可數的. s與t是在變化著的變量，一個變化能引起另一個變化，此時只是認識到有兩個變量，但對兩個變量有聯系以及聯系的程度認識還比較模糊.

3. 變量和變量之間的關系即核心——函數

“s=100t”，這不僅是路程、速度、時間之間的關系，這是同一運動系統中兩個變量之間有相互制約、相互協調的關系. 第一，發生變化的量稱為“變量”；第二，不發生變化的量稱為“常量”；第三，對于變量t的每一個值，s都有唯一的值與之對應，則稱t為自變量，s為t的函數；第四，如果當t=a時，s=b，那么稱b為t=a時的函數值. 至此，學生才對函數的概念有一個比較清楚的認識.

到這里，對本問題的剖析已經全面到位. 通過深刻的理解和認知，教師認識到教材中的例題是精挑細選的，經典的緣由是如何形成的. 作為教師，也進一步理解了用教材教學和用教輔教學的天壤之別. 教教材是課程標準積極提倡的，也是提高學生數學學習能力、思維能力、綜合素養的根本，更是教師自身專業化成長的訴求. 筆者以為，腳踏實地地研究教材，思考為什么這么教，理解教材選擇例題的重要性，才是一個教師真正成長的標記. 張奠宙先生所說的“用心體會教教材，合理思考用教材教”正是這個含義吧！