基于整體性思考的初中數學教學

王麗

[摘 要] 初中數學教學有線性與整體性兩種思路，前者強調知識的遞進性建構，后者強調學生知識建構中需要的知識與能力的立體性. 后者更能夠準確分析學生數學學習中需要什么，因而能夠給予更準確的指導，更能實現有效教學.

[關鍵詞] 初中數學；整體性；線性

初中數學教學存在一個基本矛盾，那就是數學知識的整體性與課時知識遞進性之間的矛盾. 也就是說，數學知識本身是立體的，并不是線性的. 比如我們都知道數學是研究數與形的學科，初中階段的數在多個知識點中都有體現，從最初的有理數（以阿拉伯數字加上符號表示），到后面描述數之間關系的函數，以及方程. 那么學生對數的認識，怎樣建構才是有效的？又如，作為數學知識建構基礎的數學建模，其是一種數學思想，也是一種數學方法，在眾多的數學知識建構中也都有運用，其又應當如何實施有效的教學呢？更重要的是，學生的數學學習總是一個線性的循序漸進的過程，以時間為序的教學決定了課堂上很難有立體的教學行為——一個知識的建構不可能“東拉西扯”地將所有聯系到的知識都納入建構過程. 如何認識這樣的矛盾？筆者的觀點是：線性教學順序是客觀存在的，但教師心中要有數學教學的整體觀. 基于整體觀去實施教學，尤其是在學生有認知需要的時候，及時提供相應的知識聯系，這應當成為初中數學課堂上教師的職業自覺.

從整體性視角研究初中數學知識建構

通常情況下我們研究學生的數學學習過程，往往是從學生接納某個具體的概念或規律本身出發的，譬如“反比例函數”的教學，在建構其概念的時候，往往就是默認學生已經掌握了反比例概念、函數的概念，再通過一定的示例，得出反比例函數的基本形式，然后定義其為反比例函數，最后進行應用. 其實很多數學知識的建構都遵循著這樣的模式，這一模式并非沒有可取之處，起碼其教學效率是較高的，但其忽視了學生在建構過程中的具體想法，尤其忽視了學生建構反比例概念過程中可能想到的其他一些知識，需要其他一些能力. 這就使得傳統的概念教學不可避免地具有灌輸的特征.

而將學生的數學學習放到整體觀的視角之下就會發現，在教學設計與實際教學過程中需要多一個“關注學習過程中的可能性”的意識. 現仍以“反比例函數”的教學為例，進行具體闡述.

教師設計教學時，需要思考到的知識除了反比例關系與函數之外，還需要考慮如何回憶函數與自變量的關系，需要考慮如何引入函數的三種基本表現形式，需要考慮如何讓圖像成為函數學習的一種直覺，還需要考慮學生在原有的一次函數學習過程中形成的認知經驗——而這種經驗又往往是默會的形式，難以用語言表達，教師自身對學生這種默會知識的理解也常常是默會的，只能憑著教學過程中的一種感覺去判斷，而判斷水平的高低則由教學經驗（不是教學年齡）來決定.

在課堂教學中，教師則需要根據學生建構反比例函數概念與實際運用時的反應，判斷應當采取的教學措施. 這里強調的整體觀，主要體現在教師對學生建構反比例函數的整體過程的把握，這里要特別強調反比例函數概念構建的背景或者說情境，良好的情境可以讓學生調動所有的知識基礎與思維，去努力構建對反比例函數的認識. 而如果缺失了這個背景，學生很有可能滑入機械記憶的泥沼. 當然，這里還有一些思想方法的因素，如從特殊到一般（分析與綜合）、從具體到抽象（數學建模與數學抽象）、數形結合等，這些方法又是普遍應用的，在反比例函數的教學中，更多的屬于一種思想方法的變式運用.

建立了這樣的整體性教學視角，教師就可以保證在實際教學中能夠有效地應對學生的各種可能性（這是教學中出現生成的關鍵，也是教學中出現精彩環節的關鍵）. 也就是說，整體性的視角可以保證教師更好地面對課堂上出現的各種情況，并且做出更為科學的判斷，采取更為科學的措施.

基于學生的認知需要實施整體性教學

在初中數學教學中建立整體性視角，實際上是基于學生的認知需要而做出的選擇. 如上所說，學生在數學學習過程中的思維活動并不是教師所想的那樣簡單，甚至可以說任何人都無法準確地描述學生學習的具體過程（這一點并不奇怪，就是讓教師描述自己的教學過程，那也是十分困難的事情，或者說是不可能的事情. 國內外有關默會知識的研究就說明了這一點）. 但是，在教學中，教師應當盡可能了解學生的學習心理過程，尤其是學生在學習中遇到困難時的所思所想，這樣才能真正做到因材施教. 也就是說，因材施教這一教學基本原則其實是建立在整體觀的基礎之上的.

這里還是舉“反比例函數”教學的例子. 整體觀教學視角下，筆者的教學設計包括這樣幾個部分：一是在概念引入的環節精心選擇幾個具體的事例，以引發學生產生必須建立新的概念（實際上也是一種數學模型）才能解決面臨的實際問題的意識. 二是利用分析與綜合的思想方法，引導學生概括出不同事例中的共同屬性，以確定最終的共同特征. 這時的共同特征往往是通過生活語言來描述的，或者僅僅是一種感覺. 此時，學生的理解可能性很多，盡管最終的目的可能一致，但其途徑一定有所不同. 三是利用數學語言去抽象學生建立起來的表象，然后進入下定義的教學環節. 在這個過程中，從生活語言向數學語言轉換，決定了課堂上出現的是一種殊途同歸的情形，這個過程中教師要關注不同的學生個體，尤其是他們遇到的抽象過程中的困難，并給予幫助.

到了具體的課堂上，就按照上面的三個組成部分實施教學，因為已經充分考慮了學生學習中的各種可能性，因此過程一般會比較順利. 這里筆者舉幾個細節來具體闡述.

細節一：反比例函數的圖像與性質學習中. 當提出反比例函數的圖像是什么樣子時，學生普遍的思維形式是直接思考可能的圖像形狀，這是一種直覺性的但水平很低的思維方式，也基本上想不到正確的樣子. 因此此時教師要從學生的思維角度出發，對學生的學習進行指導. 具體的指導途徑倒不難，就是提醒學生回憶所學過的一次函數的圖像是如何得到的. 學生自然就會想到描點法. 到了這個時候，學生又會分成兩類：一類是立即動手去尋找數據，確定點，然后描點；還有一類學生會不急著動手，而是憑著自己的想象去猜想，這個猜想不是沒有依據的猜想，而是有思路的猜想. 事實證明，后者往往是數學猜想能力較強的學生，對前者的指導就是確定點需要精確，對后者的指導就是培養他們想象表象的構建能力. 這是不同的指導，也是整體觀教學設計下的產物.

細節二：給出一些具體的反比例函數圖像，讓學生判斷這些函數圖像分別處于哪些象限，并判斷函數隨自變量變化的趨勢. 這里的一個重要工作，是讓學生基于不同的函數進行分析與歸納，然后得出一般性的結論. 這也是一個需要因材施教的過程，因為教學實踐中筆者注意到的情形是：有些學生只滿足于單個問題的解決，缺乏尋找共性的意識，這就導致他們不能在原有水平上更進一步. 這些學生所需要給予的指導就是同中求異、異中求同思維的指導；還有一部分學生知道要總結共同點，但是不能有效地發現共同點，這實際上是思維能力有問題（不是思維意識有問題），于是教師所給予的指導應當更細致一點，應當具體到問題的細節當中，指導學生尋找幾個題目的共同點. 這類學生的思維能力一般來說比前一種要弱，因此指點需要更為精細.

在教學反思中提升整體性的教學認知

通常情況下，數學教學中難以建立整體觀，其中一個重要的原因就是應試. 在應試這根指揮棒所指揮下的教師，基本上在數學課堂上都是線性教學的模式，而不是整體的、立體的教學模式. 在這種情況下，只有教學反思才能有效地幫教師走出教學慣性，真正建立起整體的教學觀. 具體來說有以下兩個方面.

1. 整體的知識觀

教師頭腦中的知識體系一定需要是整體的，這個判斷可以依照自己的復習思路來進行. 在數學復習過程中，以知識為序進行復習，還是以知識框架（或者思維導圖）來實施復習，這是兩種不同的思路. 前者就是線性思維，而后者就有很典型的整體性特征. 尤其是思維導圖，其往往是在學生思維延伸的過程中體現實際思維的特征，延伸到哪里往往就知道學生在哪些知識的掌握上比較順利，而無法延伸的就是復習過程中需要努力的. 通過對復習模式的反思，可以讓學生知道自己整體觀所處的層次.

2. 整體的學生觀

這一觀點即是如何理解學生的學習，如果認為學生的學習需要循序漸進，因此教學就需要依次進行，這極有可能是線性觀的教學思維. 而如果認為學生在學習某個知識的時候，需要綜合運用到相應的知識基礎，需要運用到不同的能力支撐，那這種思維一般就是整體觀下的思維. 這種思維所導致的教學，往往是根據學生的學習需要而“對癥下藥”的.

總的來說，初中數學教學中建立整體觀，更貼近學生建構知識的實際，因而更容易實現有效教學.