初中數學培養學生猜想能力的途徑研究

錢紅娟

[摘 要] 猜想對數學理論的建立和發展有著重要的作用，在初中數學教學中，教師要結合現代教育理論，積極聯系學生的生活經驗和認知基礎，探索并實踐培養學生猜想能力的有效途徑，從而提升數學課堂效率.

[關鍵詞] 初中數學；猜想；基本途徑

猜想能夠為科學認知的發展提供強大的推動作用，愛因斯坦就曾經指出：相比于知識，想象力的重要性更大，因為知識畢竟是有限的，但是想象力卻能對整個世界進行概括，推動人們認識的進步，是認知發展的動力源泉. 初中數學課程標準也指出，數學學習應該具有現實性和挑戰性，要有助于學生主動參與實驗觀察、質疑猜想、驗證推理等數學探究活動. 主動探索、參與實踐以及合作交流應該成為學生數學學習的主要方式，所以教師要關注學生進行科學猜想和創造的過程，培養學生數學研究過程中的直覺思維和獨創意識.

猜想與數學的關系

數學研究思想和研究方法有一個龐大的理論體系，其中較常使用的歸納類比與合情推理都與猜想有著密不可分的關系. 眾所周知，數學思維強調嚴謹性和邏輯性，在初中數學學習中，我們要引導學生學習論證推理的基本操作和探究習慣，同時必須積極引導學生進行合情推理. 換言之，初中數學不僅要強調讓學生學習證明法，也要讓學生掌握猜想法.

1. 猜想是數學思維的“先知先覺”

作為學生數學思維活動的一種“先知先覺”，猜想機制是對具有形式化、多樣化、抽象化等特征的數學信息所進行的一種思辨認知活動，科學性和預測性是它的重要標志. 自然規律的探索之所以如此復雜，其關鍵就在于受到多種因素的共同影響，而猜想有助于人們借助靈光一現的靈感，穿透認知的迷霧，成功誘發人們發現，從而推動人們理性思維的進一步飛躍與升華，讓學生找到解決問題的方案.

2. 猜想是數學能力的發展動力

作為數學思維機制中最為活躍、最為積極、最為靈活的因素之一，數學猜想一旦得以證實，那就直接對應著數學問題突破口的發現，同時也對應著理想化為現實. 假設成為定理的過程，也將成為人們數學認知體系中的重要組成部分，它有效促成了數學理論的完善，也推動了研究方法的進步和發展.

初中數學培養學生猜想能力的基本途徑

初中數學研究中的科學猜想有別于生活中的胡思亂想，它屬于一種高階的思維方式，而且和學生的知識基礎以及其他理性思維能力緊密結合在一起. 因此，在實際教學中，教師要善于創造機會，引導學生積極開展猜想訓練，以此提升他們相應的能力.

1. 在知識遷移中培養學生的類比猜想

所謂類比猜想，就是采用類比的方法，對兩個問題或對象的相似性進行比較，通過數學知識的遷移運用，形成新方法或建構新知識的猜想. 這里的“新”主要針對的是學生的思維過程，這也是一種獨創意識的體現，此種途徑往往用在課堂導入環節.

例如，引導學生研究相似三角形的判定定理時，教師可先讓學生對全等三角形的判定方法進行回顧，然后由學生對相似三角形和全等三角形的相似性進行比較，從而引發類比猜想：怎樣來判定兩個三角形相似呢？學生從處理全等三角形的思路出發，通過知識的遷移展開猜想：兩條邊對應成比例并且夾角相等（類比于全等三角形的判定定理SAS）、三條邊對應成比例（類比于全等三角形的判定定理SSS）、兩個角相等且夾邊成比例（類比于全等三角形的判定定理ASA）、兩個角相等且其中某角的對邊成比例（類比于全等三角形的判定定理AAS），由此猜想出四條相似三角形的判定定理. 猜想一經提出，學生就開始進行爭論，有人指出：ASA和AAS都不可能成立，一條對應邊與誰成比例？學生進一步思考，對猜想進行了修正：是否可以簡化上述猜想，即兩個角相等，就可以確認三角形相似？無論學生的猜想最終能否被證實，這些都是難能可貴的探究過程，因為它們是學生采用類比思維向未知領域邁出的第一步.

從上述例子中我們可以發現，在導入環節采用類比來誘發學生猜想，不僅能夠有效激活學生的思維，而且容易讓學生的思維保持亢奮狀態，這有助于學生通過猜想來概覽知識的輪廓，能讓學生從整體的層面了解即將探究的問題.

2. 在歸納思維中培養學生的科學猜想

歸納是數學研究的重要方法，人們在研究數學問題時，由具體的對象出發，從一定的個體或特例開始研究和分析，最終形成一種有關普遍性的原理和結論的猜想，這就是歸納思維中的猜想活動. 此類方法往往運用于對新知識、新規律的探索.

例如，七年級學生在探索“多邊形內角和的規律”時，教師可以這樣引導學生進行研究：首先，讓學生自己畫出若干種不同類型的多邊形——三角形、四邊形、五邊形等，由學生確定邊的數目，再引導學生對圖形進行觀察，并逐個確定多邊形的內角和，學生對三角形早已有所認識——內角和為180°，然后他們在分析中發現四邊形是360°，而五邊形的內角和又恰恰是540°，一組非常和諧的數列呈現在學生面前，他們開始大膽猜想：六邊形的內角和應該是720°，七邊形應該是900°，那么n邊形的內角和就應該是（n-2）×180°. 學生從大量的事實出發，數字之間特殊的關系激活了學生的歸納思維，最終形成猜想. 而這一猜想不僅僅是針對結論，更包括證明方法，很多學生又通過180°聯想到三角形：多邊形能否轉換為三角形來實現對猜想的驗證呢？進一步的思考和處理讓學生的思路豁然開朗.

學生進行猜想時需要一定的時間和空間，教師對課堂時間的分配應該慷慨一點，讓學生能夠充分把握自己的思維節奏. 事實上，學生一旦獲得思維和討論的自由，他們的熱情就會無比高漲，他們會交流自己的設想和觀點，在彼此啟發中完善各自的猜想. 這顯然能比純粹的灌輸式教學產生更好的效果.

3. 通過數學實驗培養學生的實驗猜想

在初中數學課堂中，實驗教學也能為課堂注入無限的活力，會讓數學課堂不再是純理論化的說教. 事實上，實驗、猜想以及證明正是數學問題解決和理論發展的關鍵利器. 在數學發展史上，諸如牛頓、傅立葉、亥姆霍茲等人都有物理學家和數學家雙重身份，在研究中，他們正是對物理實驗進行分析的過程中需要用到大量的數學知識和方法才大力推進了數學理論的進步. 因此，我們的初中數學教學要善于采用實驗來提出問題，引導學生進行猜想，從而提升他們的數學認知能力和相關能力.

例如，組織學生研究三角形的三邊關系時，教師可以讓學生先準備好長度分別為3厘米、4厘米和10厘米的三根小棒，然后由學生動手操作：用自備的小棒構建三角形. 學生屢試屢敗，這時教師再提出問題：你們能否適當調整小棒的長度，然后拼成一個三角形？學生答道：要么將長邊縮短，要么將短邊延長. 在此基礎上，教師鼓勵學生形成猜想：三角形的兩邊之和大于第三邊. 當學生形成猜想后，教師再要求學生自己對其進行證明，由于學生親自通過實驗發現了問題，并由實驗操作形成了猜想，所以他們的驗證異常順利.

將實驗操作和猜想融合在一起搭建數學課堂，既能促成學生融合多種感官參與到認知探究中，也能讓學生親歷數學問題的提出過程和知識的形成過程，能有效提升課堂效率，何樂而不為呢？

4. 通過創新意識的激發來培養學生的探索猜想

所謂探索猜想，就是人們采用嘗試探索的方法，依據自身的已有認知與經驗，對新知識和問題形成局部性或方向性的猜想. 這一過程需要研究者充分發揮創新意識，敢于突破傳統思維的藩籬，運用科學的方法提出自己充滿建設性的猜想. 探索性是此類猜想的基本特征，即研究者需要根據研究的不斷深入，及時而適當地對猜想進行修正，以便增強猜想的合理性和可靠性.

例如，學生在探索三角形的內角和定理時，教師可以引導學生通過折疊或剪拼的方式來尋找結論. 學生不難發現：三角形的內角和是180°，但是為什么有這樣的結論呢？有的學生猜想是平角，有的學生從兩條平行線截出的同旁內角進行猜想，有的學生將180°聯系到直角的兩倍或周角的一半……究竟哪一個做法才是正確的呢？這時教師要鼓勵學生大膽地進行探索和驗證，進而從多個角度證明定理.

學生在探索新知的過程中，會迸發出很多猜想，教師要給予學生充分的耐心和信任，讓學生積極驗證，引導學生克服盲目猜想，實施合理猜想，發展他們的創新意識.

理性思維是數學理論不斷進步的根基所在，而猜想則是這一過程的催化劑. 初中數學教師在課堂上有策略地培養學生的相關能力，能讓學生像科學家一樣經歷猜想、驗證等一系列過程，并從中體驗到創造和發現的快樂與成功.