角的平分線的性質教學詳案

趙青麗

一、教學目標

知識技能：掌握用尺規作已知角的平分線的方法，掌握角的平分線的性質。

數學思考：了解角的平分線的性質在生活生產中的應用。

解決問題：在探索角的平分線的性質中培養幾何直覺，提高綜合運用三角形全等的有關知識解決問題的能力。

情感態度：在探討作角的平分線的方法及角平分線性質的過程中，培養學生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題成功體驗，逐步培養學生的理性精神。

二、學情分析

學生已學習了角平分線的概念和全等三角形的相關知識，并掌握了一定的尺規作圖技能，由此可引出本節課的教學。

三、重點難點

重點：角的平分線的性質的證明及運用。

難點：角平分線的性質的探究。

四、教學過程

活動一【導入】、角平分儀的演示

教學內容：感悟實踐經驗，用尺規作角的平分線

問題1：同學們手中都有一個角，請快速你將手中的角分成兩個相等的角，你有什么辦法？

追問1：如果把紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？

生活中，工人師傅常常利用一種簡易的角平分儀來平分角，下面我們就一起研究一下這種平分角的儀器，如圖就是角平分儀，角的頂點為O，其余三個頂點分別是D、C、E，其中OD=OE，DC=EC，把點O放在角的頂點上，OD和OE沿著角的兩邊放下，沿OC畫一條射線觀察射線OC和∠AOB有什么關系？

追問2：當角的度數發生變化時，結論還成立嗎？（課件演示任意兩次改變角的大小，而OC所分成的兩個角的度數仍然相等）

追問3：你能說明理由嗎，為什么射線AC會是∠AOB平分線？

設計意圖：教學中設計了用幾何畫板動態演示角平分儀的用法的環節，變換角的度數師啟發學生建立數學模型，并用全等三角形的知識解釋.有利于學生直觀觀察和思考所出示的問題，為得出用尺規作已知角的方法做良好的鋪墊。讓學生運用全等三角形的知識解釋平分角的儀器的工作原理，體會數學的應用價值，同時從中獲得啟發，用尺規作角的平分線，增強作圖技能，最后讓學生在簡單推理的過程中體會作法的合理性.

【活動】二、感悟作圖

教學內容：感悟實踐經驗，用尺規作角的平分線

問題2：從這個的探究中， 你能否受到啟發？探索出用尺規作已知角的平分線的方法呢？

自己動手畫一畫.然后與同組同學交流你的方法.實在沒有思路的同學可以根據提示來思考，尋找答案。

提示：

1.已知、求作分別是什么？

2.OD=OE，用尺規怎么畫？

3.DC=EC，用尺規怎么畫？

通過進行“你說我做”的互動，請學生說出作圖過程，教師按所圖步驟完成作圖.

已知：∠AOB.

求作：∠AOB的平分線.

作法：（略）

追問1：去掉“大于1/2 DE的長”這個條件行嗎？

追問2：所作的兩弧交點一定在∠AOB的內部嗎？

設計意圖：作圖的每一個步驟都與提示的問題及前面的課件演示相聯系，學生能夠較容易得到用尺規作已知角的平分線的方法，而且因為知其然，因而不是死記硬背作圖過程，而是有感而發，印象深刻.

問題3：下面我們再來作一個特殊的角--平角的平分線，找一名同學在黑板上畫，其余同學在練習本上完成.

追問1：在這個圖形中你還能得到什么結論？

追問2：如果反向延長OC得到直線CD，請問直線CD與AB有什么樣的位置關系.

追問3：你能把剛才的角四等分嗎？每份角的度數是多少？

追問4：你還能把角幾等分？有什么規律嗎？

設計意圖：通過作特殊角的平分線，除可以讓學生更熟練掌握作已知角的平分線的基本作圖外，還可以讓學生掌握過直線上一點作已知直線的垂線及用尺規作特殊角—90°和45°的角的方法，達到培養學生的發散思維的目的.追問四則對學有余力的學生的邏輯推理能力有所提高.

活動三、發現證明

教學內容：經歷實驗過程，發現并證明角的平分線的性質

問題3：剛才我們把把得到了一條折痕，也就是這個角的平分線，接下來

把對折后的紙片繼續折疊，折出一個直三角形

（而且使斜邊在第一次的折痕上）

把紙片展開，并用筆描畫出三條折痕（學生動手折疊、展開、描線）

觀察第二次折疊形成的兩條折痕與角的兩邊有何位置關系

追問1：它們的長度有何關系？

設計意圖：培養學生的動手操作能力和觀察能力，為下面進一步揭示角平分線的性質作好鋪墊.

追問2：下面我們再用課件進行演示，看看同學們得到的結論一定成立嗎？（先變換點P在角平分線上的位置、再變換角的大小，圖略）

追問3：是因為點P的位置比較特殊嗎？下面我們改變點P在OC上的位置，觀察PD與PE還相等嗎？

追問4：那是因為∠AOB的度數比較特殊嗎？下面我們再來改變∠AOB的度數，觀察PD與PE還相等嗎？

追問5：PD與PE的長也就是什么？

追問6：由此，你能得到什么結論？

設計意圖：通過動手實驗、觀察比較，特別是幾何畫板的動態演示，讓學生去發現發現“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”.

追問7：要證明這個文字命題，我們首先要做什么？

（寫出已知和求證）

已知：∠AOC = ∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.

求證：PD =PE（圖略）

追問8：要證明兩條線段相等，你想到通過什么來證明？

設計意圖：進一步培養學生的邏輯思維，規范學生證明過程.

追問9：你能把角的平分線的性質用符號語言來表述嗎？

追問10：角的平分線的性質的作用是什么？

追問11：由角的平分線的性質的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？

設計意圖：讓學生通過實驗發現、分析概括、推理證明角平分線的性質，體會研究幾何問題的基本思路.以角的平分線的性質的證明為例，讓學生概括證明幾何命題的一般步驟，發展歸納概括的能力.

活動四、應用提高

教學內容：（略）

設計意圖：通過有梯度的訓練，提高學生運用角的平分線的性質解決問題的能力。

活動五、本課之星

如圖，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于點E， 三角形ABC的面積等于30，AB=10，BC=5，則DE的長為 .（圖略）

設計意圖：檢測學生對本節課內容的掌握情況.

活動七、歸納總結

設計意圖：旨在讓學生學會歸納總結，梳理知識，并建立知識體系.教師概括時順勢引出下節課將要學習的內容，給學生留下懸念.

活動八【作業】、實踐延伸 （略）