高中數(shù)學(xué)中基于函數(shù)問(wèn)題的教學(xué)策略分析

江蘇省蘇州市昆山市第一中學(xué) 周維軍

高中數(shù)學(xué)中基于函數(shù)問(wèn)題的教學(xué)策略分析

江蘇省蘇州市昆山市第一中學(xué) 周維軍

作為高中數(shù)學(xué)的主要組成部分，函數(shù)是很多數(shù)學(xué)題目的解題關(guān)鍵，同時(shí)也是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。函數(shù)知識(shí)內(nèi)容較深，學(xué)生學(xué)習(xí)的難度較大，需要較長(zhǎng)的時(shí)間才能掌握。為了讓學(xué)生更好地掌握函數(shù)知識(shí)，教師應(yīng)該在教學(xué)過(guò)程中充分認(rèn)識(shí)函數(shù)的重要作用。本篇文中筆者在高中函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上深入研究函數(shù)知識(shí)教學(xué)，以此推動(dòng)高中函數(shù)教學(xué)的發(fā)展。

高中數(shù)學(xué)；函數(shù)教學(xué)；教學(xué)策略

函數(shù)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)重點(diǎn)，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中。有關(guān)函數(shù)知識(shí)的考題也是歷年高考的重點(diǎn)題型，且函數(shù)非常靈活，變化很多。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該根據(jù)新教材中有關(guān)函數(shù)知識(shí)的變動(dòng)，深入挖掘教材，精確定位函數(shù)知識(shí)的重點(diǎn)難點(diǎn)，結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)和考點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，以保持教學(xué)與課程標(biāo)準(zhǔn)同步，使學(xué)生充分理解函數(shù)知識(shí)的本質(zhì)。

一、函數(shù)概念教學(xué)方式

函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，是學(xué)習(xí)其他函數(shù)知識(shí)的前提，所以教師應(yīng)該在函數(shù)教學(xué)過(guò)程中重視函數(shù)概念的教學(xué)。換句話說(shuō)，學(xué)習(xí)函數(shù)概念的作用就是讓學(xué)生明白“函數(shù)是什么”的問(wèn)題。在教授函數(shù)概念的過(guò)程中，高中數(shù)學(xué)教師先讓學(xué)生預(yù)習(xí)課本，然后總結(jié)出有關(guān)函數(shù)概念的疑問(wèn)，要讓學(xué)生明白函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型，主要用于刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的關(guān)系，函數(shù)的本質(zhì)是一種對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)法則f可以是一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，也可以是一個(gè)圖形或是一個(gè)表格，對(duì)應(yīng)是建立在A﹑B兩個(gè)非空的數(shù)集之間，可以是有限集，當(dāng)然也可以是單元集，如f（x）=2x（x≠0）。在課堂上，教師再根據(jù)學(xué)生提出的疑問(wèn)進(jìn)行講解分析，教師講解完之后，讓學(xué)生課后總結(jié)和運(yùn)用所學(xué)到的函數(shù)基礎(chǔ)概念知識(shí)進(jìn)行練習(xí)，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)更高級(jí)﹑更復(fù)雜的函數(shù)知識(shí)打好基礎(chǔ)。因?yàn)楹瘮?shù)概念的復(fù)雜性，教師應(yīng)該循序漸進(jìn)地展開(kāi)函數(shù)概念教學(xué)，不能急于求成。比如學(xué)生對(duì)于復(fù)合函數(shù)的概念很難理解，如果教師一來(lái)就給出一些題目讓學(xué)生做，一道道題目計(jì)算下來(lái)，并不一定能幫助學(xué)生理解函數(shù)概念，反而會(huì)令學(xué)生對(duì)函數(shù)概念更加模糊。比如下面這道題：

案例1：求下列各題中的函數(shù)f（x）的解析式。

（1）已知f（1-x）=2x2-x+1，求f（x）；

分析：此題學(xué)生拿了會(huì)不知道如何下手，教師可從已知函數(shù)f（x）=x+3，求f（0），f（3），f（t），f（t+1）的值出發(fā)，由淺入深，揭示復(fù)合函數(shù)的本質(zhì)，再利用換元法或湊配法解決問(wèn)題。

解析：（1）（換元法）設(shè)t=1-x，則x=1-t，

∴f（t）=2（1-t）2-（1-t）+1=2t2-3t+2，

∴f（x）=2x2-3x+2。

∴f（x）=x2+2。

∴f（t）=（t-2）2+4（t-2）=t2-4，

∴f（x）=x2-4（x≥2）。

∴f（x）=x2-4（x≥2）。

教師在實(shí)際教學(xué)中給出的題目之間應(yīng)該是有聯(lián)系的，注重解題的過(guò)程，應(yīng)該先講解函數(shù)概念再安排學(xué)習(xí)做題，在解題的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)概念的理解。如果是先做題，即便是所有題目學(xué)生都做對(duì)了，也很可能知其然不知其所以然。教師應(yīng)該讓學(xué)生理解題目之間的關(guān)系，逐步讓學(xué)生明白為什么會(huì)出這樣的題目，并且通過(guò)比較找出題目之間的區(qū)別和聯(lián)系。如此一來(lái)，學(xué)生就很容易理解函數(shù)概念，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)概念幫助解題。

二、函數(shù)單調(diào)性教學(xué)策略

案例2：已知函數(shù)y=log2（ax-1）在（1，2）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為_(kāi)_______。

分析：此題為典型的一次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)形式，注意到對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2，故只需要一次函數(shù)也為單調(diào)遞增函數(shù)即可，同時(shí)需注意真數(shù)要大于零。

解析：令m=ax-1，則函數(shù)y=log2（ax-1）在（1，2）上單調(diào)遞增等價(jià)于m=ax-1在（1，2）上單調(diào)遞增，且ax-1＞0在（1，2）上恒成立，即a＞0，a-1＞0，即a＞1。

三、函數(shù)奇偶性和周期性教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)的奇偶性和周期性都是從函數(shù)圖象抽象出來(lái)的特殊性質(zhì)，函數(shù)圖象具有對(duì)稱性，通常具有奇偶性，可用多媒體展示日常生活中常見(jiàn)的對(duì)稱現(xiàn)象，如美麗的蝴蝶﹑太極八卦圖等等，并讓學(xué)生自己列舉生活中對(duì)稱的實(shí)例，從而抽象刻畫(huà)出一類特殊的對(duì)稱性——奇偶性。

分析：首先讓學(xué)生分別計(jì)算x=±1，x=±2，x=±3時(shí)的函數(shù)值，通過(guò)特殊值讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性反映到函數(shù)值上具有的特性：，進(jìn)而提出在定義域內(nèi)是否對(duì)所有的x都有類似的情況？借助課件演示函數(shù)的圖象，學(xué)生通過(guò)觀察和運(yùn)算發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)具有上述不同特性，即兩個(gè)函數(shù)各自對(duì)稱性的實(shí)質(zhì)是：自變量互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等和互為相反數(shù)這兩種關(guān)系，然后通過(guò)解析式給出嚴(yán)格證明，進(jìn)一步說(shuō)明這兩個(gè)特性對(duì)定義域內(nèi)任意的一個(gè)x都成立。

通過(guò)探索奇偶性定義的過(guò)程，使學(xué)生關(guān)注函數(shù)奇偶性與函數(shù)對(duì)稱性的關(guān)系，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合﹑猜想歸納的數(shù)學(xué)思想。

在一定范圍內(nèi)函數(shù)呈現(xiàn)規(guī)律性變化，一個(gè)完整的變化規(guī)律就是函數(shù)的變化周期。三角函數(shù)是函數(shù)周期性性質(zhì)的典型代表，比如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。而且不僅在數(shù)學(xué)中周期性很重要，在現(xiàn)實(shí)生活中周期性也經(jīng)常用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)規(guī)律，如我們可以用周期性來(lái)描述有周期性變化的量與量之間的關(guān)系，因此非常有必要讓學(xué)生掌握函數(shù)的周期性。比如正弦函數(shù)的周期是2π，余弦函數(shù)的周期也是2π，這兩個(gè)三角函數(shù)的函數(shù)周期性是完全一樣的，高中數(shù)學(xué)中關(guān)于三角函數(shù)的內(nèi)容比較多，也是高考中的必考點(diǎn)。三角函數(shù)的實(shí)用性非常強(qiáng)，因此教師在教學(xué)中可以用三角函數(shù)來(lái)舉例講解函數(shù)的周期性，但是很多教師僅僅是給學(xué)生展示一些正弦或余弦函數(shù)的圖象，然后再根據(jù)sin（x+2kπ）=sinx（k∈z）讓學(xué)生觀察函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的圖象規(guī)律，從而引出函數(shù)周期性的概念，最后讓學(xué)生課外練習(xí)的都是三角函數(shù)的相關(guān)題目。這明顯是錯(cuò)誤的教學(xué)方法，教師應(yīng)該在確定學(xué)生明白三角函數(shù)具有周期性的前提下，繼續(xù)向?qū)W生提問(wèn)：請(qǐng)大家列舉出其他的具有周期性的函數(shù)。不管學(xué)生是否能答的上來(lái)，在提問(wèn)之后繼續(xù)向?qū)W生提出類似“f（x）=cosx，x∈[0，8]這個(gè)函數(shù)是否有周期性”這樣的問(wèn)題，通過(guò)這樣的問(wèn)題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到并不是所有的三角函數(shù)都有周期性。

綜上所述，教師能否有效地教是決定高中函數(shù)教學(xué)效果的主要因素，作為引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)的人，教師應(yīng)該借助多媒體﹑實(shí)體數(shù)學(xué)模型﹑數(shù)形結(jié)合法等教學(xué)方式由淺入深﹑循序漸進(jìn)地向?qū)W生講解函數(shù)知識(shí)，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)遇到的困難和畏難情緒。通過(guò)在教學(xué)方式上加以創(chuàng)新，幫助學(xué)生掌握函數(shù)概念，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有教師用心教，學(xué)生用心學(xué)，才能讓學(xué)生順利地掌握高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)。

[1]湯勇，修建偉.高中數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)研究——以函數(shù)教學(xué)為例[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師教育），2015.

[2]顧國(guó)華.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的設(shè)計(jì)思路及其教學(xué)策略分析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2014.

[3]趙毅菊.高中函數(shù)教學(xué)研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2008.

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