高中輔助角公式的教學

李興波

摘 要：輔助角公式是對高中數學三角函數、三角恒等變換章節的一個拓展和延伸，新課標高中數學必修4中以習題的形式出現，并未單獨作為教材章節，以致于教師在教學中通常直接給出公式，學生記憶時常混淆或不知道怎么來的。本文試圖通過自然的推導來闡釋教材編寫者的意圖。

關鍵詞：探析 輔助角公式 推導 教學

一、教材中隱藏的輔助角公式模型

1. 輔助角公式在教材中的出現

《高中數學必修4人教A版》教材P132練習第6題以化簡的形式出現，使得形如（是明確給出的實數）的4個式子都能化簡成一個角的三角函數形式，繼而教材在P144習題3.2 B組第6題，提出：是否能用表示函數的最大值和最小值？其本質就是問：形如能否化為一個角的三角函數形式？下面引用教材中的P132練習第6題（2）式，稍作探討。[1]

例1

化簡：（1）；（2）

分析：在剛學習了兩角和與差的正弦公式之后，觀察（1）式的結構，注意到兩個數值比較特殊，容易想到將，，從而拼湊成之和的正弦公式；再者，只需（2）式提個2倍出來便得（1）式，所以可做如下解答.

解：

（2）

可見， （1）、（2）式都可以化為一個角的三角函數形式.

那么，一般地，形如是否都可以化為一個角的三角函數形式呢？

二、形如可化為一個角的一個三角函數的形式的理論證明

思考輔助角公式在教材的位置，觀察非常符合的結構，那么自然而然想到兩個向量的數量積.推理如下：

證明：構造，則有：

，

（）

即 （為之間的夾角） （I）

由（I）式可得一定可以化成一個角的三角函數形式.考慮到三角變換。

則 （II）

說明：構造是考慮到可以利用單位圓的性質，先定再定。

三、確定的值（數形結合）

1.在平面直角坐標系中，設，如示意圖1所示，點在單位圓上；則總有一個角且，它的終邊經過點.依據必修4中P13右上角的小知識，可設，由三角函數的定義知：[2]

可令

所以

.（其中） （III）

此時對比（II）式可設 .

說明：（III）式與教材必修四P125—P125利用向量法推導兩角差的余弦公式的過程非常符合。

2.在平面直角坐標系中，注意到點與到原點的距離相等.因此一定有一個角且的終邊經過點，依據必修4中P13右上角的小知識，同樣可設，由三角函數的定義知：

令

所以

.（其中） （IV）

此時對比（II）式可設 .

四、輔助角的范圍

前面論述當中，首先設定了，主要是基于三角函數誘導公式的性質，這為我們的研究帶來了便利.在中，通過示意圖2可知點的位置決定了角所在的象限，的具體位置由和共同決定，并可由計算出值.

類似地，中，通過示意圖1可知點的位置決定了角所在的象限，的具體位置由和共同決定，并可由計算出值.注意：通常.

五、一點實用技巧

實際使用中由于教材對正弦函數著墨較多，學生更喜歡或更習慣選擇使用這種形式.但在計算過程中容易忽視的象限由確定，而直接套用計算出值，另外考慮到學生對特殊角三角函數值的記憶要求.可先對常數的正負進行處理，即將的系數調整成正值后再化簡，因為確保的范圍限制在區間上，而在該區間上是單調遞增的，所以值可以唯一確定，方便運算和的取值。

結語

引入輔助角公式的主要目的是化簡三角函數式.在實際中結果是化為正弦還是化為余弦要具體問題具體分析，有時也需結合兩角和與差的正弦、余弦公式靈活應用.本文旨在說明推導輔助角公式的方式方法在教材中早有隱藏，而不是憑空而來.

參考文獻

[1]人民教育出版社，數學4必修A版11-14，44，103-104，124-129，132，142-144.

[2]鄭傳根，輔助角公式教學應注意的的幾個問題.