歸納推理在商不變規律教學中的應用

鄭素珍

【摘要】2011年版課標指出：推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果，有歸納推理、類比推理、統計推理，其中歸納推理是從特殊到一般的思維方式。小學數學中的許多概念、公式、法則和規律等，通常都是通過對個別具體事例的觀察分析、抽取出其本質屬性而概括出來的。本文以歸納推理在商不變規律的教學中應用為例，應用歸納推理發現規律；總結規律；遷移規律；完善規律。

【關鍵詞】歸納推理 發現規律 總結規律 遷移規律 完善規律

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）18-0175-01

2011年版課標指出：推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果，有歸納推理、類比推理、統計推理，其中歸納推理是從特殊到一般的思維方式。小學數學中的許多概念、公式、法則和規律等，通常都是通過對個別具體事例的觀察分析、抽取出其本質屬性而概括出來的。本文以商不變規律教學為例，談談歸納推理的應用。

一、應用歸納推理發現規律

教學時，借助具體例子的計算、觀察、分析，引導學生發現商不變規律。通常是這樣教學的，出示教材例題：先按要求算一算、填一填，再比較并算出結果。

被除數 除數 除法算式 商

100 20 100÷20 5

100×2 20×2 200÷40

100×4 20×4

100×5 20×5

100÷2 20÷2

100÷4 20÷4

100÷5 20÷5

完成表格的填寫后，引導學生觀察表格，教師提出問題：以第一行100÷20為標準，被除數和除數是怎樣變化的？它們的商怎樣？你從中發現了什么？引導學生借助具體的例子，從分開具體說，被除數和除數同時乘2或4或5，商不變，被除數和除數同時除以2或除以4或5，商不變，到合起來抽象說，被除數和除數同時乘或除以同一個數，商不變，直到最后完整說，被除數和除數同時乘或除以一個相同的數（0除外），商不變。教學時以100÷20為載體，通過舉例計算被除數和除數同時乘或除以2或4或5的6道算式，觀察被除數、除數的變化，發現商始終不變，進而從分開說到合起來說再到完整說隱含的商不變規律，充分發揮了歸納推理從特殊到一般的思維魔力。

二、應用歸納推理總結規律

解決問題中蘊涵的規律，可以通過歸納推理引導學生發現并加以總結。如，解決問題：甲、乙兩地之間的公路長336千米。已知自行車每小時行14千米，中巴車每小時行56千米，摩托車每小時行42千米，小轎車每小時行84千米。使用上面的交通工具，從甲地到乙地各需要多少小時？

336÷14=24（小時）

336÷42=8（小時）

336÷56=6（小時）

336÷84=4（小時）

在學生列式計算后，引導學生觀察上面四個算式，被除數、除數、商之間的變化。依托具體的算式，學生總結出了路程不變，速度乘或除以幾，時間反而除以或乘幾，進而抽象出：被除數不變，除數乘或除以幾，商反而除以或乘幾的規律。又如，一輛三輪車每次可以運20箱蘋果，用這輛三輪車運100箱蘋果，幾次能運完？如果運200箱蘋果呢？運400箱、500箱呢？

待學生填寫完表格后，引導學生觀察，總結出：每次運的箱數不變，總箱數乘或除以幾，運的次數也隨著乘或除以幾，進而抽象歸納出：除數不變，被除數乘或除以幾，商也隨著乘或除以幾的規律。

最后把這三個規律對接起來：

被除數不變，除數乘或除以幾，商反而除以或乘幾；

除數不變，被除數乘或除以幾，商也乘或除以幾；

商不變，被除數乘或除以幾，除數也乘或除以幾。

由商不變規律引申到被除數不變、除數不變規律，從點到面，完善學生的認知結構。

三、應用歸納推理遷移規律

計算中，可以引導學生運用歸納推理遷移規律。比如，想一想，下面的題目應用了什么規律來計算的？

400÷25=（400×4）÷（25×4）=1600÷100=16

3000÷125=（3000×8）÷（125×8）=24000÷1000=24

通過觀察被除數、除數的變化，學生發現是運用歸納推理進行計算的。借此教師問道：這里的除數有什么特點？引導學生發現25×4=100，125×8=1000，除數是個特殊的數，本組題正是利用數的特殊性，再應用商不變規律，使計算簡便的。此時教師乘機出示下列問題：

800÷25 625÷25 2000÷125 8000÷125

有了前兩題的依托，學生能自如地遷移規律進行計算：

800÷25 =（800×4）÷（25×4）=3200÷100=32

625÷25 =（625×4）÷（25×4）=2500÷100=25

2000÷125=（2000×8）÷（125×8）=16000÷1000=16

8000÷125=（8000×8）÷（125×8）=64000÷1000=64

接著，再次拋出問題，請你設計類似這樣的計算題，至少兩題，除數不重復。有的學生設計了700÷25和4000÷125；還有的學生設計了800÷50和780÷20；更有學生設計了1400÷35和1800÷45等等。通過想規律、用規律到設計規律的練習，學生自覺地實現了規律的遷移。

四、應用歸納推理完善規律

商不變規律應用于劃0簡算，遇到有余數的除法時，引起了余數的變化，而這個認知點，成為了學生學習的一個難點，練習中常出錯，于是對商不變規律要進行完善。據此，可以設計題組，比如，出示下列3道題：

1. 240÷50=4……40

2.（240×10）÷（50×10）=4……400

3. （240÷10）÷（50÷10）=4……4

引導學生觀察，被除數、除數怎樣變化？商呢？余數呢？從而完善原有的商不變規律，歸納出：被除數和除數同時乘或除以一個相同的數（0除外），商不變，余數也同時乘或除以一個相同的數。至此，擴展了商不變規律的含義，澄清了學生應用商不變規律計算時對余數的模糊認知。

總之，歸納推理是從特殊到一般的推理，它分為完全歸納推理和不完全歸納推理。以上幾例都是應用不完全歸納推理，它的結論具有或然性，小學階段沒有要求證明。以上僅例舉了歸納推理在規律教學中的應用，它不僅能夠有效培養學生觀察、分析、綜合、判斷、歸納的思維能力，還可以有效地解決實際問題。因此，要奠定為數學思想而教的理念，讓數學的學習因思想思想的照耀而光芒，因數學思想的熏陶而有內涵，因思想思想的滲透而頓悟。