關于n階冪指函數求導和取對數的探索

陳旌

【摘要】本文就冪指函數的求導和取對數進行了相關探索。關于求導先討論3階冪指函數，然后擴展到n階。然后對冪指函數取對數次數進行了討論。

【關鍵詞】冪指函數 求導 對數

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）18-0211-01

一、引言

n階冪指函數指的是形如的函數，關

于冪指函數的求導已經有部分研究，而高等數學對冪指函數求導的要求限制在2階以內。

本文對階冪指函數求導進行了進一步推廣和延拓，推導出 階冪指函數求導時的相關公式和取對數的次數.

二、推導定理

引理1[2] 一元冪指函數的求導公式為

.

定理1若，則同樣有

證明：當時，由引理1可知

因為且可導，由引理1可知

綜合以上步驟，當無論正負，且它們均可導時，有

說明： （1）定理1弱化了引理的條件，對階冪指函數 且且均可導

時，的正負不影響的求導.

（2）由定理1給出了3階冪指函數的求導公式。對一般的n階冪指函數，都可以應用此定理來求導。當時，借助整體代換思想，將視作一個整體，先求出導數，再對使用同

樣的方法，依次代換，最后可以求出導數。

定理2對冪指函數，其中，

，（1）當不含的冪指函數，則至少經過次取對數，有，中沒有的冪指函數；

（2）當含有的冪指函數，即，

當其不為0時最少經過次取對數，使中不含關于 的冪指函數.

證明 ：（1） 當時，由數學歸納法.

當=1時，顯然不是的冪指函數.

設當時，至少經過次取對數，使階冪指函數中冪指形式消失.

則當時，，兩邊同時取對數得

右邊即為關于的階冪指函數.由歸納假設，還得經過取對數次來消除冪指形式.故當時，一共需要取對數次消除冪指形式.

即當時，需要取對數次來消除冪指形式.

當時，，

由且其導數非0，可經次取對數消除的

冪指形式.

綜上，的正負性與取對數的次數無關，即證.

（2）中含的冪指函數時，對作次對數有：

其中為階冪指函數，由之前推導，要消去等號右邊的冪指函數，需進行次取對數.

即證.

參考文獻：

[1]賈曉峰.微積分與數學模型.上冊[M].3版.北京：高等教育出版社.2015.9.

[2]張勇軍.一類冪指函數求導公式的推導[J].海南大學學報：自然科學版，2012，30（二）：107-109.

[3]B. Wu， Y. Lin， Application of the reproducing kernel space， Science Press， 2012.