陳旌
【摘要】本文就冪指函數的求導和取對數進行了相關探索。關于求導先討論3階冪指函數,然后擴展到n階。然后對冪指函數取對數次數進行了討論。
【關鍵詞】冪指函數 求導 對數
【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089(2017)18-0211-01
一、引言
n階冪指函數指的是形如的函數,關
于冪指函數的求導已經有部分研究,而高等數學對冪指函數求導的要求限制在2階以內。
本文對階冪指函數求導進行了進一步推廣和延拓,推導出 階冪指函數求導時的相關公式和取對數的次數.
二、推導定理
引理1[2] 一元冪指函數的求導公式為
.
定理1若,則同樣有
證明:當時,由引理1可知
因為且可導,由引理1可知
綜合以上步驟,當無論正負,且它們均可導時,有
說明: (1)定理1弱化了引理的條件,對階冪指函數 且且均可導
時,的正負不影響的求導.
(2)由定理1給出了3階冪指函數的求導公式。對一般的n階冪指函數,都可以應用此定理來求導。當時,借助整體代換思想,將視作一個整體,先求出導數,再對使用同
樣的方法,依次代換,最后可以求出導數。
定理2對冪指函數,其中,
,(1)當不含的冪指函數,則至少經過次取對數,有,中沒有的冪指函數;
(2)當含有的冪指函數,即,
當其不為0時最少經過次取對數,使中不含關于 的冪指函數.
證明 :(1) 當時,由數學歸納法.
當=1時,顯然不是的冪指函數.
設當時,至少經過次取對數,使階冪指函數中冪指形式消失.
則當時,,兩邊同時取對數得
右邊即為關于的階冪指函數.由歸納假設,還得經過取對數次來消除冪指形式.故當時,一共需要取對數次消除冪指形式.
即當時,需要取對數次來消除冪指形式.
當時,,
由且其導數非0,可經次取對數消除的
冪指形式.
綜上,的正負性與取對數的次數無關,即證.
(2)中含的冪指函數時,對作次對數有:
其中為階冪指函數,由之前推導,要消去等號右邊的冪指函數,需進行次取對數.
即證.
參考文獻:
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