基于線性規劃模型的教學比賽人員安排決策

王茜

【摘要】本文主要討論了如何選派教師參加教學比賽，使團體總分最高的問題，通過設置0-1變量，建立線性規劃模型，利用lingo軟件進行求解，獲得最優方案。

【關鍵詞】線性規劃 人員安排 團體總分 lingo

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）18-0222-02

教學工作是學校的中心工作，教學質量是學校的生命線。學校經常舉辦和參加各級各類的教學比賽活動是提升教師個人能力以及提高學校教學質量的重要途徑。然而，怎么合理選派人員代表學校參加更高級別的教學比賽為校爭光，取得更好的成績是值得我們思考的問題。本文針對這一問題，建立0-1變量的線性規劃模型，使用lingo軟件進行了優化求解，給出合理的決策方案。

1. 問題的提出

某校將從甲、乙、丙、丁、戊五名教師中選派若干人組成代表隊，去參加該地區各學校之間的教學比賽。每項比賽只能選派一人參加，比賽結果將以團體總分計名次（不計個人名次）。下表是四名教師選拔時的成績。

（1）如何安排才能使團體總分最高？

（2）如果四項比賽在同一時間進行，要求每人最多參加一項比賽，由于鼓勵新人參加，乙必須參賽，安排方案有無變化？

（3）在問題（2）基礎上，為兼顧每個人的特長，說課比賽必須由甲或乙完成，教學設比賽計必須由甲或丙或戊完成，安排方案如何制定？

2. 問題的分析

對于如何選派教師參加教學比賽使得所得團體總分最多的問題，所得團體總分是決定因素，而其最關鍵就是選擇哪名教師參加哪一項比賽。這是一個尋求最佳方案的優化問題，我們選用線性規劃進行求解。首先假設決策變量，設用i=1，2，3，4，5分別表示甲、乙、丙、丁、戊五名教師，j=1，2，3，4分別表示教學設計、說課、課堂教學、微課這四個比賽項目。由于每位老師是否參加每項比賽只有兩種選擇：參加或者不參加，像這樣只有是與否兩種選擇的問題，我們考慮用0-1變量進行假設，即

設表示第i名人員參加第j項比賽的得分，Z表示該校代表隊完成所有四項比賽的總得分。

其次確定目標函數，以總分數最多為目標，最后根據每一問的不同要求列出約束條件。

3. 模型建立與求解

題目中三個問題始終以團體總分最高為目標，因此三問中的目標函數均為求完成所有四項比賽總分數的最大值：。下面針對三問中不同的約束條件分別討論：

問題一：每項比賽只能選派一人參加，但并未限制每人只能參加一項比賽，約束條件為：

利用lingo軟件進行求解，得到如下結果：x11=1，x32=1，x43=1，x44=1。

即應派甲參加教學設計比賽，丙參加說課比賽，丁參加課堂教學和微課比賽，此時團體總分最高，為362分。

問題二：由于每人最多參加一項比賽，且乙必須參賽，約束條件為：

利用lingo進行求解，得到如下結果：x11=1，x24=1，x32=1，x53=1。

即應派甲參加教學設計比賽，乙參加微課比賽，丙參加說課比賽，戊參加課堂教學比賽，此時團體總分最高，為356分。

問題三：在問題（2）的基礎上，即就是限制每人最多參加一項比賽，乙必修參賽，且說課比賽必須由甲或乙完成，教學設比賽計必須由甲或丙或戊完成，約束條件為：

利用lingo進行求解，程序如下：

model：

sets：

person/1..5/；

task/1..4/；

link（person，task）：a，x；

endsets

data：

a=92，94，76，81，

84，87，73，80，

91，95，87，79，

79，83，84，86，

89，84，89，78；

enddata

max=@sum（link：c*x）；

@for（person（i）：@sum（task（j）：x（i，j））<=1）；

@for（task（j）：@sum（person（i）：x（i，j））=1）；

@sum（task（j）：x（2，j））=1；

x（1，2）+x（2，2）=1；

x（1，1）+x（3，1）+x（5，1）=1；

@for（link（i，j）：@bin（x（i，j）））；

end

得到如下結果：x11=1，x22=1，x44=1，x53=1。

即應派甲加教學設計比賽，乙參加說課比賽，丁參加微課比賽，戊參加課堂教學，此時團體總分最高，為354分。

3. 模型評價與推廣

本文較好的解決了在保證團體總分數最高的情況下，如何選派參賽人員的決策問題，建立線性規劃模型，利用lingo軟件進行求解，得到了具體合理的方案。由于這三個問題的lingo程序較為相似，本文中只給出第三問的lingo程序，前兩問只需根據約束條件刪去對應部分即可。本模型稍作修改可以應用于企業、商業的員工排班問題及員工技能大賽的安排等問題，有較為廣泛的應用。

參考文獻：

[1] 韓中庚. 數學建模方法及其應用[M].高等教育出版社，2009.

[2] 姜啟源，謝金星，葉俊. 數學模型[M].高等教育出版社，2003.

[3] 肖華勇.實用數學建模與軟件應用[M].西北工業大學出版社，2008.