以形助數 化難為易

王國俊

以形助數 化難為易

王國俊

數形結合思想是非常重要的數學思想方法，在初中數學中大量存在，借助數形結合的思想，特別是以形助數，往往能夠化難為易，豁然開朗.

1.利用線段圖找數量關系

例1 強強的舅舅來看他，強強問舅舅多少歲了，舅舅說：“我像你這么大時，你才4歲；你到我這么大時，我就37歲了.”問強強和舅舅現在各多少歲？

【分析】若A點表示強強現在的年齡，B點表示舅舅現在的年齡，設他們年齡相差x歲，如圖1.

圖1

由“我像你這么大時，你才4歲”可知，當舅舅的年齡在A點位置時，強強的年齡位置如圖2所示，且AB=A′B′，因為強強和舅舅的年齡差不變．此時點A′表示強強的年齡為4歲．

圖2

由“你到我這么大時，我就37歲了”可知，當強強的年齡在B點位置時，舅舅的年齡位置如圖3所示，同理AB=A″B″，此時點B″表示舅舅的年齡為37歲．

圖3

由題意可得方程4+3x=37，解之得x=11，故強強的年齡為15歲，舅舅的年齡為26歲.

2.構造符合題意的幾何圖形解題

【分析】如圖4，若大正方形的面積為1，首先構造大正方形面積的一半，得到面積為，

圖4

例3 請根據下圖計算：1+3+5+7+…+ 99=______.

圖5

圖6

圖7

圖8

【分析】結合圖形，圖6比圖5多3個小正方形，因此圖6可以看成1+3=22，

依此類推，圖7可以看成1+3+5=32，

圖8可以看成1+3+5+7=42，

……

故1+3+5+7+…+99=502.

例4 如圖9所示，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x.

（1）用含x的代數式表示AC+CE的長；

（2）請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小？

圖9

（2）當點C運動到點A、C、E在同一條直線上時，AC+CE的值最小，圖10中點C′的位置.

圖10

圖11

3.借助圖像解決函數問題

例5 若點A（x1，1）、B（x2，2）、C（x3，－3）在雙曲線y=-上，則（ ）.

A.x1＞x2＞x3B.x1＞x3＞x2

C.x3＞x2＞x1D.x3＞x1＞x2

圖12

【分析】本題可以代入求值比較大小，亦可構建該函數的圖像，分別畫出y=1，2，-3的點的位置，根據圖像可以直觀看出x1，x2，x3的大小，結果為x3＞x2＞x1.

例6 用min｛a，b，c｝表示a，b，c三個數中的最小值，若y=min｛x2，x+2，10-x｝（x≥0），則y的最大值為 .

【分析】分別畫出函數的圖像，如圖13，分別求出當x≥0的交點坐標，觀察圖像可知，當0≤x≤2時，y=x2；當2≤x≤4時，y=x+2；當x＞4時，y=10-x.

圖13

因此滿足條件的圖形如下圖14所示，

則當x=4時y的最大值為6.

圖14

（作者單位：江蘇省常州市金壇區直溪初級中學）