大學生數學建模能力差異化培養與模塊化教學實踐

戴曉琴

摘要：本文主要介紹了數學建模的特點及作用，大學生數學建模能力差異化培養的必要性與方法。同時，結合筆者自身的教學實踐，本文提出了數學建模方法的模塊化與典型案例相結合的教學方法。數學建模典型案例的教學可以使學生了解數學建模的過程，數學建模方法的模塊化教學可以減少學生迷惘的時間，提高其解決實際問題的效率。

關鍵詞：數學建模；差異化培養；模塊化教學

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）25-0160-04

一、前言

自黨的“十八大”以及十八屆三中全會召開以來，我國經濟、教育等各項事業的發展邁入了一個嶄新的歷史時期。面對經濟體制轉軌、政治體制改革、國際國內形勢復雜多變等環境，大學生作為社會新技術、新思想的前沿群體、國家培養的高級專業人才，在一定層面上代表著國家未來的發展與創新潛力，這就要求大學生在參加社會主義建設之前需要具備自我決策能力、適應社會能力、創新與實踐能力、社交與團隊協作能力等。尤其是隨著互聯網技術的快速發展，社會各領域極需具有邏輯思維能力強、演繹能力突出以及能夠將數學方法與計算機技術相結合的創新性人才。眾所周知，任何來自于自然科學與工程實踐的問題都可以歸結為數學問題，而數學建模就是通過計算得到的結果來解釋實際問題，并接受檢驗，來建立數學模型的全過程，這也是利用數學方法解決實際問題的一種實踐。因此，培養與提高大學生的數學建模能力，對于提高大學生的抽象思維能力、分析與解決實際問題能力、創新與實踐能力以及計算機應用能力等方面具有十分重要的意義。根據當前大學生數學建模教學的發展趨勢，結合筆者自身指導大學生參加數學建模競賽的經歷，本文提出了大學生數學建模能力差異化培養以及開展模塊化教學實踐的探索。

二、數學建模的特點與作用

1.數學建模的特點。為了激發大學生對數學建模的興趣以及培養與提高大學生的數學建模能力，必須要大學生首先認識數學建模的特點。數學建模就是通過抽象、簡化、假設、引入變量等方式將實際問題用一定的數學方式進行表達，從而建立一定的數學模型，并用優化后的數學方法及計算機技術進行求解的全過程。因此，從數學模型建立的實踐中，我們可以歸納出數學模型主要存在以下特點：（1）目的性。數學建模的目的是利用數學模型來分析特定對象的有關現象及其規律，對事物的運行與發展趨勢進行一定的預測與分析判斷，然后做出控制與決策。（2）多樣性。對于相同的實際問題，出于不同目的，使用不同的方法與假設，可以建立出不同的數學模型。因此，判斷數學模型好壞的唯一標準是看其能否解決實際問題。（3）逼真性與可行性。數學模型的建立需要盡可能與實際問題接近，也就是數學模型的逼真性。而一個逼真的模型往往達不到預期的建模目的，即不可行。因此，數學建模只要達到預期的應用目的，可行就夠了，不必追求完全逼真。（4）漸近性與強健性。對于較為復雜的實際問題，往往需要多次由簡到繁、由繁到簡的反復迭代才能建立可行的數學模型。同時，隨著科技的發展與人們實踐能力的提高，數學建模也是一個不斷完善與更新的過程。另外，模型的結構與參數隨著觀測數據的微小改變也會表現出微小的變化，從而表現出數學建模的強健性。（5）可移性。數學模型是在原型的基礎上進行理想化、簡化與抽象化處理之后的結果，它也可以從一個研究對象轉移到另一個其他的研究對象。（6）局限性。①數學建模過程中常常會忽略一些次要因素，因此數學模型得出結論的精確性是近似的，通用性也是相對的。②由于人們認識與技術的局限性以及數學發展本身的限制，導致大量實際問題很難得到有實用價值的數學模型。③還存在一些特殊領域的實際問題至今未能建立有效的數學模型進行解決。

2.數學建模的作用。大學生對需要解決的實際問題的認識與理解，可以直接通過大學生的數學模型能力來加以體現。因此，大學生需要有很強的數學邏輯思維力、數學觀念以及對數學模型的把控與構建能力，才能運用可行的數學語言表達客觀事物或需要解決問題的本質特征。所以，數學建模在很大程度上反映了大學生的數學觀念、意識和能力。

隨著互聯網、云計算以及智能制造等技術的快速發展，提出了許多需要用數學方法解決的新問題，同時也使過去一些即便有了數學模型也無法求解的課題（如天氣預報、大型水壩應力計算等問題）迎刃而解；建立在數學模型和計算機模擬基礎上的計算機輔助設計技術，以其快速、經濟、方便等優勢，大量地替代了傳統工程設計中的現場實驗、物理模擬等手段。尤其是將數學建模、數值計算和計算機圖形學等相結合形成的計算機軟件，已經被固化于產品中。因此，數學建模在許多高新技術領域，如電子與信息技術、生物工程與新醫藥技術、先進制造技術、空間科學與航空航天技術、海洋工程技術等領域具有十分廣闊的應用前景。

此外，隨著數學向其他學科領域的逐漸滲透，尤其是用數學方法研究這些學科領域中的各種定量關系時，數學建模就成為首要的、關鍵的步驟以及這些學科發展與應用的動力。因此，一些交叉學科，如計量經濟學、人口控制論、數學生態學、數學地質學等得了快速發展，在經濟社會發展的各個領域正發揮著越來越重要的作用，同時也為數學建模的發展及應用提供了無限的空間。因此，數學建模必將與其他學科相互滲透與融合，迎來快速發展的新時期。

目前，大學工科教學中普遍存在內容多、學時少的情況，導致教學中重理論輕應用，使學生對數學的重要性認識不夠，使得很多學生在進入到專業課學習階段時，不能有效地理解與學習專業課程里的基本原理與數學推導過程，以致其看到繁雜的數學公式而望而生畏，造成其理論水平停滯不前，為其以后的進一步學習、知識更新與創新能力的突破留下了極大隱患。而指導大學生參加數學建模競賽就是使大學生親自參加與體會社會、經濟與生產實踐中經過適當簡化的實際數學問題，不僅體現了數學應用的廣泛性，而且也使大學生感受到數學的魅力與力量，激發了他們學習數學的興趣，同時也提高了他們運用數學方法進行分析、推演與計算的能力，為其后續的進一步學習打下了夯實的基礎。

三、大學生數學建模能力差異化培養

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020）》對高校人才培養工作明確指出：關心每個學生，促進每個學生主動地、生動活潑地發展，尊重教育規律和學生身心發展規律，為每個學生提供適合的教育。所以，在大學生培養過程中，必須牢固樹立“以人為本與以學生為中心”的意識。實際上，人的思維與認識世界的方式是多元的，人類至少擁有包括語言、數學、音樂、繪畫、運動等多種天賦秉性，每個人都有自己的優勢潛能。大學如果能根據學生的個性差異及能力差異，遵循教育規律，根據大學生的學習需求及學習效果，設計出多元化的培養方案與教育模式，發掘出每個大學生的優勢潛能，將極大地提高教育效率與人才培養質量，真正做到人盡其才。大學生數學建模能力差異化培養就是結合數學建模的特點，根據大學生個體的優勢潛能，有針對性地對其開展多樣化的教育教學工作的一種教育模式，勢必打破千人一面的標準化、規模化教育模式，其最終目的是發掘大學生的學習潛能，培養大學生的數學邏輯思維能力，提高大學生分析問題與解決實際問題的能力以及實踐動手能力與科技創新能力。那么，該如何實現大學生數學建模能力差異化培養呢？下面筆者主要從兩個方面展開論述。

1.以學生為中心，為其選擇合適的數學建模課程與授課教師，實現課程與教師的差異化。數學建模課程的差異化，就是以學生自身的素質與能力等為基礎，根據學生的個性差異及能力差異設計數學建模課程教學方案與評價標準的一種教學模式。該模式的優點如下：在數學建模教學過程中，能夠最大限度地進行因材施教，提高數學建模的教學效率與教學質量，最終促進數學建模人才培養質量及學校辦學水平的整體提高。此外，教師是各種教育理念與培養方案的直接執行者。執行者的學術能力與個人素養決定了目標實現的質量差異。根據大學生差異化的專業背景與數學基礎，設定差異化的培養目標與課程，并選擇與之相配套的教師隊伍。根據差異化教學的需要，就是把有意愿、有能力的教師組織起來，引導學生自發地從事數學建模的學習及開展創新實踐活動，以達到個性化、多元化數學建模的目的。

2.在數學建模教學過程中，教師應根據學生自身的學習基礎、學習能力以及學生的創新能力等方面的差異，制定出不同層次的教學任務，使大學生的潛力得到最大程度地提高，筆者主要是從以下幾方面著手：（1）學生分層。教師要對學生的學習情況十分了解，這樣教師就可以把學生進行一定的分層。例如，將班里的學生以4人為一組，每組要包括學習能力好、中、差的學生，或者由學生個人進行自行分組。之所以采取將學生分組進行數學建模教學，主要是因為學習的過程是一個對話交流、相互幫助與相互競爭的過程，采取分組教學的形式能更快、更好地激發大學生對數學建模的學習興趣和學習積極性。同時，這個分層是動態的，教師可以根據學生平時完成數學建模的任務情況進行實時調整。（2）任務分層。教師在實際的教學過程中，應考慮到學生的個體差異，兼顧整體和弱、優勢群體的發展。針對不同層次的學生，教師可以設置不同難度的任務，如基礎類、提高類和創新類，由學生個人根據其自身的能力與水平，自主選擇相應的數學建模任務。（3）學生反饋。每次數學建模課結束前，教師要求學生提交一份數學建模報告。提交數學建模報告是教學過程中非常重要的一個環節，數學建模報告顯示了學生對任務的完成情況、對知識點和方法的學習情況等。教師要求學生下課之前提交數學建模報告，一方面提高了學生學習數學建模的積極性，保證了數學建模報告的質量；另一方面提高了學生課余時間參與數學建模課的熱情，沒有完成數學建模報告的學生，可以利用自習課等課余時間到實驗室繼續進行數學建模的學習。（4）教師分層解答。教師根據輔導過程中遇到的問題和學生在數學建模報告中提出的問題，進行分類歸納總結。對出現同樣或相似知識點疑問的學生，單獨召集學生進行講解；對有不同疑問的學生，教師要分別給他們進行講解。

四、數學建模模塊化教學實踐

數學建模需要依靠功能強大的Matlab與SAS等軟件來實現，因此學習自己設計程序與熟練應用這些軟件對于提高大學生的數學建模能力具有十分重要的意義。傳統數學建模軟件的教學，都是教學基本菜單和常用工具的使用，這種方法和使用環境相脫節，導致學生在具體實踐中，面對大量的菜單和工具，不知如何下手、如何運用，教學效果并不理想。如果追求大而全，要求學生掌握數學建模軟件所有的基本菜單和常用工具的使用方法，是不可能做到的。那么怎樣把這樣一個功能強大的數學建模軟件教給學生，并讓學生靈活應用呢？筆者結合自己多年的教學實踐，提出了數學建模方法的模塊化與典型案例相結合的教學方法。

1.數學建模方法的模塊化。數學建模方法總體而言可以分為六大模塊：綜合評價、預測與預報、分類與判別、關聯與因果分析、優化與控制、實驗設計。其中，綜合評價又可以分為三個小模塊：方案選擇、類別分析、排序。預測可分為三個小模塊：灰色系統、ARIMA時間序列分析、回歸預測；預報可分為三個小模塊：按樣本關聯性分類、按距離分類、按動態聚類分類。分類與判別可分為兩個小模塊：模糊識別與貝葉斯判別。關聯與因果分析可以分為三個小模塊：兩個變量的關聯性、一個對多個變量的關聯性、多個對多個變量的關聯性。優化與控制則可以分為四個小模塊：線性規劃、非線性規劃、目標規劃、網絡優化。實驗設計在方法方面則可以分為三個小模塊：方差分析、LOGISTIC回歸、正交設計。數學建模方法眾多，通過對數學建模方法的模塊化進行分類，有助于學生面對具體實際問題時，做到腦中有法、心中不亂，快捷地建立出數學模型并解決實際問題。

2.典型案例教學?？茖W實踐中的數學問題形形色色、無以窮盡。如何讓大學生在有限的學習時間內，學好數學建模，為他們今后在科研實踐中用數學建模解決實際問題打下良好的基礎，這就對教師的數學建模教學方法提出了更高的要求。例如：假設某?；鸬玫搅艘还P數額為M=5000萬元的基金，打算將其存入銀行，?；饡媱澰?年內每年用部分本息獎勵優秀學生，要求每年的獎金額相同，且在5年末仍保留原基金數額，其中，收益比a=（本金+利息）/本金，銀行存款稅后年利息與各存款年限對應的最優收益比如表1與表2所示。

若將M分成5+1份，xi表示每年的份額，S表示每年用于獎勵優秀學生的獎金額，ai表示第i年的最優收益比，建立數學模型的過程如下：

max S，

s.t.a■x■=S，i=1，2，…，5■x■=Ma■x■=M

運用LINGO編程如下：

·MAX=S；

·1.018*x1=S；

·1.0432*x2=S；

·1.07776*x3=S；

·1.07776*1.018*x4=S；

·1.144*x5=S；

·1.144*x6=M；

·M=5000；

·x1+x2+x3+x4+x5+x6=M.

程序運行結果如下：

該例子充分體現了數學建模的三大步驟：第一步，把實際問題通過一定的方法處理成數學問題；第二步，學習數學軟件，用計算機語言來解釋數學問題；第三步，結果分析，把整個數學建模的過程用實驗報告的形式闡述出來，即寫作過程。通過這個典型案例（基金的使用）的教學，有助于學生了解與認識數學建模的基本步驟，為其后續數學建模的學習打下了夯實的基礎。古人云：“授人以魚，不如授人以漁”。在數學建模的教學過程中，針對某一個具體數學建模的案例，結合實際問題由現象的直觀描述到數學的抽象提煉，教師除了要講解數學概念和求解方法這些基本知識之外，還需要組織學生就該案例中使用的數學思想展開討論。同時，教師自身也需要有扎實的科研能力以及豐富的科研實踐，真正做到結合案例講基礎，依托基礎講應用，使學生在實踐中認識到數學建模的強大功能與魅力，在實踐中培養大學生學習數學建模的興趣，充分調動學生與教師的主觀能動性，變滿堂灌為主動學，真正做到“教學相長”。

五、結語

采用數學建模方法的模塊化與典型案例相結合的教學方法，具有以下優勢：通俗點講，類似于一個藥劑師拿著單子去拿藥，他可以很快地找到他所需要的藥。對于一個學生而言，遇到實際問題時，他可以找到最簡便與快捷的方法建立數學模型。數學建模方法的模塊化與典型案例相結合的教學方法就是如此，即通過將實際問題進行模塊化分類，并找到與之對應的數學建模方法，從而達到迅速建立該問題的數學模型的效果。當然，實際問題可能包含好幾個模塊，但是針對某一個具體模塊，學生可以很快地找到與之對應的數學建模方法。因此，數學建模典型案例的教學可以使學生了解數學建模的過程，而數學建模方法的模塊化教學則可以減少學生迷惘的時間，提高解決實際問題的效率。

參考文獻：

[1]宋麗雅.大學生數學建模能力培養途徑探討[J].吉林農業科技學院學報，2016，25（3）：110-113.

[2]王慧群.淺談數學建模及其特點[J].晉東南師范?？茖W校學報，2001，18（3）：29-30.

[3]裘哲勇，郝麗萍.數學建模教育在培養大學生素質中的作用[J].杭州電子工業學院學報，2001，21（5）：34-36.

[4]朱斌.2014交叉學科數學建模學生論壇[J].高等數學研究，2015，18（3）：50-54.

[5]趙春暉，董宇艷.差異化教育與人才競爭優勢[J].黑龍江高教研究，2008，（7）：92-94.

[6]汪曉銀，唐鐵軍.提高大學生統計建模能力的探索與實踐[J].湖北師范學院學報（自然科學版），2009，29（3）：112-115.

Differential Culture of Mathematical Modeling Ability and Practice of Modular Teaching for Undergraduate

DAI Xiao-qin

（School of Computer Science & Software Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

Abstract：This paper introduced the characteristics and effects of mathematical modeling as well as the necessity and methods on the differential culture of mathematical modeling ability for undergraduate. Meanwhile，combining with author' own teaching practice，the teaching method of combining the modular of mathematical modeling methods with the typical cases of mathematical modeling was put forward in the paper. The teaching of the typical cases of mathematical modeling can help the undergraduate to understand the process of mathematical modeling，and the modular of mathematical modeling methods can help them to reduce the lost time and improve the efficiency of solving practical problems.

Key words：mathematical modeling；differential culture；modular teaching