基于能量有限元法的損傷板結構振動分析

王 迪， 朱 翔,2， 李天勻,2， 高 雙， 衡 星

(1. 華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074； 2. 船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074)

基于能量有限元法的損傷板結構振動分析

王 迪1， 朱 翔1,2， 李天勻1,2， 高 雙1， 衡 星1

(1. 華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074； 2. 船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074)

工程結構在服役期間會出現各種形式的損傷，其結構動力學參數和能量傳播形式也會隨之產生變化，因此基于振動的結構損傷識別得到了廣泛的研究并在工程運用中具有重要的意義。采用能量有限元法對含有損傷的平板和耦合板結構的振動特性進行分析，算例分析中分別采用能量有限元法和有限元法對平板的能量密度進行了計算和對比，驗證了能量有限元法的準確性。在此基礎上提出了基于能量密度變化和結構聲強變化的兩個損傷指標，并對損傷識別指標進行了可視化分析，隨后通過算例對比進一步確定基于能量有限元得到的結構聲強變化能夠有效地識別板結構的損傷部位，并對含有損傷的耦合板的結構聲強進行了研究，為今后將能量有限元法進一步應用到結構損傷識別中提供了基礎。

結構損傷；能量有限元法；能量密度；結構聲強

通常來講，結構可以看成是由剛度、質量和阻尼矩陣組成的一個力學系統。因此，如果結構出現損傷，其相應的結構參數也會隨之發生變化，從而表現出系統的靜動態特性，比如剛度、位移等參數的改變，因此結構的靜動態特性參數的變化可以作為結構損傷識別的標志[1]。一般情況下，結構中損傷的出現，會導致結構剛度變小，同時結構的阻尼會增大，從而降低了結構固有頻率，并且改變了結構的振動模態，利用這些特性可以用來進行損傷識別。近年來對損傷結構振動特性的研究得到了廣泛的關注，并產生了很多基于不同指標和方法的損傷識別方法。

由于結構中的損傷會改變結構的剛度和阻尼等特性，從而也會影響結構中振動波的傳播和振動能量的傳播，近些年來基于振動能量的損傷識別方法也得到了較多的關注。朱翔等[2]利用有限元法對裂紋損傷結構的功率流進行了相關研究并且引入結構聲強的概念,并應用到結構聲強流線的可視化中。陳曉強等[3]提出改進的動能密度指標損傷識別法,并將其應用于一連續梁的數值模型和一鋼框架動力試驗的損傷識別中,結果表明該方法能夠有效識別損傷位置。薛剛等[4]通過結構損傷時每一單元的模態應變能耗散率與損傷前、后模態應變能變化之間的關系,推導出單元損傷變量的表達形式，該方法可準確識別出簡支鋼梁損傷單元的位置,并在一定程度上表征結構的損傷程度。Santos等[5]認為結構中的損傷改變了能量耗散的結構，他以能量流作為研究的基礎，將能量有限元法應用在研究梁結構的損傷識別和檢測中。Pang等[6]基于振動功率流理論，以呼吸裂紋板作為研究對象并對其輸入功率曲線進行分析，為識別結構損傷提供新的理論基礎。

在結構振動分析方法上，能量有限元法(EFEA)是近些年發展起來的一種用于解決結構中高頻振動分析的方法[7]，該方法主要是以能量密度[8]作為整個動力控制方程的變量，將能量看作是以波動的形式在結構中進行傳遞，以有限元的方式離散不同的結構，這樣既可以表達出結構的幾何特性，也可以充分展示結構的阻尼特性。它結合了統計能量法(SEA) 和傳統的有限元法( FEA) 的優點，是一種混合建模分析技術[9]。將子系統通過網格的形式表達出來，使得能量通過子系統時，也可以像傳統的有限元FEA一樣通過節點描述能量的衰減過程。而相對于SEA，EFEA 主要是基于波動理論，對于結構的模態并沒有太高的要求，那么分析結構的頻段可以涵蓋中高頻。

本文基于能量有限元法對含有損傷的平板以及耦合板結構的振動特性計算和分析。首先推導了板和耦合板的能量有限元方程，考慮板中的損傷，提出了基于能量密度變化和結構聲強變化的兩個損傷指標。算例分析中分別采用能量有限元法和有限元法對平板的能量密度進行了計算和對比，驗證了本文能量有限元法的正確性。通過改變損傷板和耦合板中的損傷區域的剛度、阻尼，計算了板在損傷前后的能量密度和結構聲強，并對損傷識別指標進行可視化研究。之后進一步確定基于能量有限元得到的結構聲強變化能夠有效地識別板結構的損傷部位。在此基礎上，推導了含有損傷的耦合板的能量有限元方程，并對含有損傷的耦合板的結構聲強進行了研究。

1 板的能量有限元方程

1.1 二維板結構的能量密度方程理論

對于有限大的薄板，其運動控制方程是：

(1)

式中：η為阻尼損耗因子；D為板的剛度；ρ為板的質量密度；h為板的厚度；u表示板的位移。

板的響應通?？梢酝ㄟ^板的遠場解來分析能量流，其遠場解可以通過兩正交波的線性疊加[10]：

uff=(Axe-ikxx+Bxeikxx)(Aye-ikyy+Byeikyy)eiωt

(2)

式中：kx和ky分別是兩個方向上與振動阻尼以及頻率相關的復波數；Ax,y和Bx,y分別表示為兩個方向上位移解的相關系數。

在任意一個封閉結構的表面，其能量流通常等于結構體積內總能量的變化率，其表達式為

(3)

式中：{σ}表示結構表面的應力矢量；e是結構的能量密度值；Πin和Πout分別是體積內流進和流出的能量密度。

板振動時的能量密度是動能密度和勢能密度的總和，根據板的微分控制體積內穩態時的能量平衡關系和耗散功率與能量密度之間的關系[11]，可以將有限大板的能量有限元方程推導出：

(4)

式中：cg為彎曲波在板中的群速度；ω表示圓頻率。

對方程采用Galerkin加權殘值法，并且利用Lagrange插值函數，將能量密度控制方程的加權殘值形式表示為

(5)

為了表達的方便，把上述式子寫成矩陣的形式：

(6)

式中：[Ke]表示每個板單元含單元剛度和質量的系數矩陣； {ee}則是需要求解的能量密度矩陣；{Pe}是在節點處輸入的激勵向量；{Qe}是每個板單元兩端能量流的進出。

利用上式，即可計算得到結構中各個單元中的能量密度，從而可以得到各個單元的振動響應。

1.2 耦合板的能量有限元方程

對于相對復雜的結構，比如耦合板的能量密度控制方程需要進一步的進行變化?？紤]兩個不同的平板水平連接，其中一個板受到橫向振動激勵。由于能量密度在耦合節點處通常是不連續的，因此在進行系數矩陣的組裝時，需要單獨建立節點，并通過連接矩陣的形式[12]來解決耦合結構的連接問題：

(7)

而每個板單元兩端能量流的進出可以表示為[13]：

(8)

(9)

則將能量流在耦合邊界上與能量密度的關系可以用矩陣來表示：

(10)

將關于能量流的項移到等式的左邊，因此系統的整體矩陣形式可以表示為

(11)

耦合板和普通平板的區別除了要增加一個連接矩陣以外，在系數矩陣的編排上也有所不同，是將兩個單一板的系數矩陣通過一定的順序組合在一起，其形式主要可以表示為

(12)

1.3 損傷板的能量有限元計算

當結構中出現損傷后，損傷區域的剛度、阻尼等會產生變化，從而也會引起結構中振動能量的變化。因此，基于能量有限元法得到損傷結構的能量變化特性，從而也可為損傷結構的損傷識別提供依據。這里提出兩個基于損傷板的能量有限元計算得到的損傷識別指標。

另一個是損傷前后基于能量有限元求解得到的結構中的結構聲強差值。將板的遠場位移解，通過一個波長間的積分可以得到在時間和空間上平均的能量密度和結構聲強之間的關系[15]：

(13)

式中：cg=2(Dω2/ρh)1/4為彎曲波的群速度。

兩種損傷指標都是基于能量有限元的方法，在后文中將采用能量有限元法對裂紋損傷板的能量密度和結構聲強進行計算并對比兩個指標。

2 不同工況下損傷板結構的振動能量分析

2.1 能量有限元的算例及驗證

選取一塊正方形板，板的四邊是自由支撐，如圖1所示。邊長L為2 m，板厚為0.02 m，材料密度ρ為7 800 kg/m3，彈性模量E為2.1×1011Pa，結構的阻尼損耗因子η為0.02。在板的正中心作用一輸入功率為1×10-2W的激勵。其中，將EFEA模型劃分的單元數為10×10，形函數取四節點的Lagrange插值函數，利用 Galerkin加權殘值法和Lagrange插值函數對能量密度控制方程進行求解。

圖1 受到激勵作用下的板模型

圖2 兩種方法沿板寬度方向L/2處能量密度分布的結果對比

Fig.2 Energy Density Distribution along the width 1/2

將EFEA計算 的計算結果和 FEA 的較密網格模型計算結果進行對比，由于兩種方法的單元數量不同,同時能量有限元方法求得的能量密度是對時間和空間平均后得到的相對平滑的解，因此我們將有限元法得到的解也進行平均，來比較兩種方法得到的結果，如表1所示。從均值上的量化結果來分析，兩種方法吻合度較好，從而說明本文的EFEA分析結果是準確的。

表1 EFEA和FEA(均值)結果量化對比分析

2.2 損傷板的振動分析

2.2.1 損傷單元阻尼增大

結構中出現損傷后，一方面會降低結構的局部剛度，同時也會增大局部的阻尼特性。在本節中僅假設損傷引起了局部單元阻尼的增大。

和之前算例中的板類似，將板分為10×10的單元，并且按圖3的單元順序編排每個板單元的編號，方便對系數矩陣[Ke]的組裝，其中有損傷的單元編號為23(標灰色)，并假設該單元的阻尼增大原有的1%或5%。并對損傷前后的能量密度按第一種損傷指標的處理方式分析該工況下損傷的情況。

損傷單元的阻尼增加0.05，將能量密度變化的這個損傷指標Err1的分布通過三維圖和二維圖表示出來，如圖4所示。

圖3 板的損傷分析模型

從圖4中可以看出，當某個單元的阻尼發生變化時會引起局部的能量密度發生變化，但是在損傷單元附近的能量密度變化并不是特別明顯，因此為了更好地體現能量密度在識別結構損傷的作用，同時采用第二種損傷指標即結構聲強前后的差值進行表示。

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從圖5和圖6的比較中可以看出，即使是某個單元的阻尼發生較小的變化時，也會引起損傷結構周圍的結構聲強產生明顯的變化，進而能夠清晰地識別出損傷部位。并且從圖7中可以看出，隨著損傷單元阻尼的增大，損傷指標也會明顯上升。

2.2.2 損傷單元剛度減小

本算例中假設損傷引起了局部單元的剛度的減小。假設算例中損傷單元的剛度分別減小1%和5%，通過改變損傷單元的彈性模量來實現。采用能量有限元法計算板的能量密度及結構聲強，然后計算結構聲強變化這一損傷指標，并將其分布通過三維圖和二維圖表示出來，如圖8和圖9所示。

圖7 不同阻尼變化下的損傷指標Err2比較

圖10 不同剛度變化下的損傷指標Err2比較

從圖8和圖9的比較中可以看出，當某個單元的剛度發生變化時，會引起周圍結構聲強明顯的突變現象，也能夠比較清晰地識別出板的損傷部位，從圖10中可以看出，隨著損傷單元剛度的減小，損傷指標會有明顯的上升。

2.3 耦合板的損傷分析

如圖11所示，在2.1的基礎上，將平板1與另外一塊平板水平耦合在一起，并忽略能量在板間傳遞的損失。平板2的參數除了楊氏模量外，其他與平板1相同。在第一塊板的邊緣作用一輸入功率為1×10-4W的激勵，計算頻率為3 000 Hz。損傷單元的剛度下降為原來的95%，其位置分別在兩塊板的連接區域附近和第二塊板的右上方。根據上一章有關能量有限元的耦合板理論，可以將耦合板的建模過程看成是兩塊平板模型的耦合過程，主要是分別將兩塊板分成10×10個單元，分別建立系數矩陣，再將兩個系數矩陣通過連接矩陣組合起來形成總體的系數矩陣進行運算。

圖11 耦合板的區域損傷分析模型

將板的損傷指標Err2分布通過三維圖和二維圖表示出來，如圖12所示。

從圖12中可以看出，對于耦合板來說，當某個單元的剛度發生變化時，利用能量密度這一變量也能夠明顯地識別出板的損傷部位。特別是在兩塊板的耦合處，雖然能量密度并不是連續的，但是損傷單元屬性前后帶來的變化也可以通過能量密度的變化得到體現。

3 總 結

本文基于能量有限元法對含有損傷的平板和耦合板的振動特性進行了分析。推導了板和耦合板的能量有限元法基本方程。將EFEA的結果和傳統有限元FEM的結果進行了對比和驗證，表明EFEA的方法是將能量密度在空間和時間上做了一次平均，因此得到相對平穩的解，而FEA結果的平均值和EFEA的結果相對吻合的較好，證明了EFEA是一種高效可行的分析方法。

在驗證EFEA方法合理性的基礎上，將其應用于分析損傷結構之中，通過對各種工況下板和耦合板結構的分析，將單元彈性模量的損耗和阻尼的變化來表現結構損傷的程度，利用能量有限元法計算板中單元的能量密度和結構聲強。通過能量密度差值和基于能量有限元的結構聲強差值兩個損傷指標的比較，發現能量密度變化和結構聲強差值均能通過圖像識別出損傷位置，其中結構聲強差值對損傷要更為敏感。

與傳統的基于振動的損傷識別方法相比，本文提出的方法避開了繁瑣的模態參數求解，且對結構微小的缺陷十分敏感，有一定的優勢。實際工程中，需要通過測試得到結構表面結構聲強，并針對基于結構聲強變化的損傷指標建立結構在線的實時監測系統和基于能量密度的損傷模式庫，這部分工作還有待進一步深入。

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Vibration analysis of damaged plates based on energy finite element method

WANG Di1， ZHU Xiang1,2， LI Tianyun1,2， GAO Shuang1， HENG Xing1

(1. School of Naval Architecture & Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China；2. Hubei Key Lab of Naval Architecture, Ocean Engineering Hydrodynamics, Wuhan 430074, China)

Cracks and other forms of damage may appear during engineering structures’ service. Their structural dynamic parameters and energy transmission form also change subsequently, so the identification of structural damages based on vibration is studied extensively and has very important significance in engineering application. Here, the energy finite element method was adopted to analyze vibration characteristics of both planar plates and coupled plates with damages. In example analyses, the energy finite element method and the finite element one were used, respectively to compute and compare a planar plate’s energy density. The correctness of the energy finite element method was verified. Furthermore, the two damage identification indexes based on the energy density variation and the structural acoustic intensity one, respectively were proposed. Their visualized analyses were conducted. Through examples comparative study, it was determined that the structural acoustic intensity changes obtained with the energy finite element method can effectively identify the damage position of plate structures. The structural acoustic intensity changes of coupled plates were studied with the same method. The results provided a foundation for further application of the energy finite element method in structural damage identification.

structure damage； energy finite element； energy density； structural acoustic intensity

國家自然科學基金(51479079)；船舶預研支撐技術基金(13J1.3.2)

2016-01-29 修改稿收到日期：2016-04-10

王迪 男，碩士生，1991年11月

朱翔 男，博士，副教授，1980年月

U661.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.011